Xác định tọa độ các phép toán vectơ, tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định tọa độ các phép toán vectơ, tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định tọa độ các phép toán vectơ, tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng.

Xác định tọa độ các phép toán vectơ, tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$. Ta có:

+) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(x+x^{\text{'}};y+y^{\text{'}};z+z^{\text{'}}\right)$;

+) $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(x-x^{\text{'}};y-y^{\text{'}};z-z^{\text{'}}\right)$;

+) $k\overrightarrow{a}=\left(kx;ky;kz\right)$ với k là một số thực.

• Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B) và C(x_C; y_C; z_C). Khi đó:

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

- Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{p}=\left(3;-2;1\right)$, $\overrightarrow{q}=\left(6;-4;2\right)$, $\overrightarrow{r}=\left(2;1;-3\right)$

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{p}-3\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}$.

b) Tìm hai vectơ cùng phương trong các vectơ đã cho.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $2\overrightarrow{p}=\left(6;-4;2\right),-3\overrightarrow{q}=\left(-18;12;-6\right),\overrightarrow{r}=\left(2;1;-3\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{p}-3\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}=\left(-10;9;-7\right)$.

b) Ta có $2\overrightarrow{p}=\left(6;-4;2\right)=\overrightarrow{q}$ suy ra hai vectơ $\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}$ cùng phương.

Do $\frac{3}{2}\ne \frac{-2}{1}$ nên $\overrightarrow{p},\overrightarrow{r}$ không cùng phương. Tương tự hai vectơ $\overrightarrow{q},\overrightarrow{r}$ không cùng phương.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm B(1; 2; −3), C(7; 4; −2). Tìm tọa độ điểm E thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EB}$.

Hướng dẫn giải:

Gọi E(x;y;z).

Ta có $\overrightarrow{CE}=\left(x-7;y-4;z+2\right)$; $2\overrightarrow{EB}=\left(2-2x;4-2y;-6-2z\right)$.

Khi đó $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EB}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x-7=2-2x\\ y-4=4-2y\\ z+2=-6-2z\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{8}{3}\\ z=-\frac{8}{3}\end{array}\right.$.

Vậy tọa độ của điểm E thỏa mãn hệ thức là $E\left(3;\frac{8}{3};-\frac{8}{3}\right)$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −1; 2) và B(2; 1; 1). Độ dài đoạn thẳng AB bằng

A. 2;

B. $\sqrt{6}$;

C. $\sqrt{2}$;

D. 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có AB = $\sqrt{{\left(2-1\right)}^2+{\left(1-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(1-2\right)}^2}=\sqrt{6}$.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; −3) và B(0; −2; 1). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là

A. M(1; 2; −1);

B. $N\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2};-1\right)$;

C. $P\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};1\right)$;

D. K(3; −1; −2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $\left(\frac{3+0}{2};\frac{1-2}{2};\frac{-3+1}{2}\right)$ = $\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2};-1\right)$.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(4;-3;-1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$. Tìm tọa độ của $2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$.

A. (11; 0; 1);

B. (5; −1; 0);

C. (11; 0; −1);

D. (5; −1; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $2\overrightarrow{a}=\left(8;-6;-2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ => $\overrightarrow{b}=\left(1;2;1\right)$ => $3\overrightarrow{b}=\left(3;6;3\right)$.

Do đó $2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=\left(8+3;-6+6;-2+3\right)$ = (11;0;1).

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-2;6;2\right)$, vectơ $\frac{3}{2}\overrightarrow{a}$ có tọa độ là

A. (−6; 9; 6);

B. (−3; 9; 3);

C. (6; 9; 6);

D. (−3; 6; 3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\frac{3}{2}\overrightarrow{a}=\left(-3;9;3\right)$.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; −3; 5). Tìm tọa độ A' là điểm đối xứng với A qua trục Oy.

A. A'(2; 3; 5);

B. A'(2; −3; −5);

C. A'(−2; −3; 5);

D. A'(−2; −3; −5).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A(2; −3; 5) lên Oy. Suy ra H(0; −3; 0).

Vì A' đối xứng với A qua trục Oy nên H là trung điểm đoạn AA'.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_{A^{\text{'}}}=2x_H-x_A=-2\\ y_{A^{\text{'}}}=2y_H-y_A=-3\\ z_{A^{\text{'}}}=2z_H-z_A=-5\end{array}\right.$ => A'(−2; −3; −5).

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; 2) và B(3; −1; 4). Tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OB}$ là

A. $\overrightarrow{u}=\left(-7;7;-8\right)$;

B. $\overrightarrow{u}=\left(-7;3;-8\right)$;

C. $\overrightarrow{u}=\left(-7;5;-8\right)$;

D. $\overrightarrow{u}=\left(-7;9;-8\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{BA}=\left(-2;4;-2\right)$ và $\overrightarrow{OB}=\left(3;-1;4\right)$ suy ra $2\overrightarrow{BA}=\left(-4;8;-4\right)$.

Vậy $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OB}=\left(-7;9;-8\right)$.

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm E(1; 3; 2), F(0; −1; 5), K(2; 4; −1) và tam giác ABC thỏa mãn $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{0}$. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. G(1; 2; 2);

B. G(−1; −4; 3);

C. G(2; 2; 1);

D. G(1; 1; −3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{0}$ ⇔ $\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GF}-\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GK}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GK}-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}$ ⇔ $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GK}=\overrightarrow{0}$.

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác EFK.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{1+0+2}{3}=1\\ y_G=\frac{3-1+4}{3}=2\\ z_G=\frac{2+5-1}{3}=2\end{array}\right.$. Vậy G(1; 2; 2).

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành MNPQ có M(−4; 3; 3), N(4; −4; 2) và P(3; 6; −1). Biết chu vi của hình bình hành MNPQ bằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ với a, b ∈ ℕ* và a > b. Tính a – b.

A. 4;

B. 8;

C. 16;

D. 32.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(8;-7;-1\right)$ và $\overrightarrow{NP}=\left(-1;10;-3\right)$.

Suy ra $MN=\sqrt{8^2+{\left(-7\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{114}$ và $NP=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{10}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{110}$.

Chu vi của hình bình hành MNPQ là 2(MN + NP) = $\sqrt{114}+2\sqrt{110}=\sqrt{456}+\sqrt{440}$.

Khi đó a = 456; b = 440. Vậy a – b = 16.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;0;1\right)$ và $\overrightarrow{c}=\left(1;1;0\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$?

A. $\overrightarrow{b}=\left(-1;2;-1\right)$;

B. $\overrightarrow{b}=\left(-2;1;-1\right)$;

C. $\overrightarrow{b}=\left(1;-2;1\right)$;

D. $\overrightarrow{b}=\left(1;2;1\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ ⇔ $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}=\left(1;-2;1\right)$.

Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(−2; −4; 9). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB. Độ dài đoạn thẳng OM là

A. 5;

B. 3;

C. $\sqrt{54}$;

D. $\sqrt{17}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x;y;z). Khi đó $\overrightarrow{MA}=\left(1-x;2-y;3-z\right)$ và $\overrightarrow{MB}=\left(-2-x;-4-y;9-z\right)$.

Ta có MA = 2 MB => $\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MB}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}1-x=-2\left(-2-x\right)\\ 2-y=-2\left(-4-y\right)\\ 3-z=-2\left(9-z\right)\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2\\ z=7\end{array}\right.$

=> M(−1; −2; 7). Khi đó $\overrightarrow{OM}=\left(-1;-2;7\right)$. Vậy OM = $\sqrt{54}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tích vô hướng và ứng dụng
• Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế
• Xác định khoảng biến thiên và ý nghĩa của khoảng biến thiên trong việc đo mức độ phân tán
• Xác định khoảng tứ phân vị và ý nghĩa của khoảng tứ phân vị trong việc đo mức độ phân tán
• Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và vận dụng đo mức độ rủi ro

---