Xác định khoảng tứ phân vị và ý nghĩa của khoảng tứ phân vị trong việc đo mức độ phân tán lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định khoảng tứ phân vị và ý nghĩa của khoảng tứ phân vị trong việc đo mức độ phân tán lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định khoảng tứ phân vị và ý nghĩa của khoảng tứ phân vị trong việc đo mức độ phân tán.

Xác định khoảng tứ phân vị và ý nghĩa của khoảng tứ phân vị trong việc đo mức độ phân tán lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Xét mẫu số liệu ghép nhóm

Các bước thực hiện:

+) Tìm tứ phân vị Q₁ và Q₃ theo công thức:

$Q_r=a_p+\frac{\frac{r.n}{4}-\left(m_1+\mathrm{...}+m_{p-1}\right)}{m_p}\left(a_{p+1}-a_p\right)$, trong đó $\left[a_p;a_{p+1}\right)$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ r với r = 1; 2; 3 và n là cỡ mẫu.

+) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$.

Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Khoảng tứ phân vị cũng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho bảng số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh lớp 12A như sau:

Xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải:

Có n = 2 + 3 + 10 + 15 + 2 + 1 = 33.

Giả sử x₁; x₂; …; x₃₃ lần lượt là chiều cao của 33 học sinh lớp 12A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $Q_1=\frac{x_8+x_9}{2}$ mà x₈; x₉ ∈ [155; 160) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có $Q_1=155+\frac{\frac{33}{4}-5}{10}.5=\frac{1253}{8}$.

Có $Q_3=\frac{x_{24}+x_{25}}{2}$ mà  x₂₄ ; x₂₅ ∈ [160; 165) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có $Q_3=160+\frac{\frac{33.3}{4}-15}{15}.5=\frac{653}{4}$.

Suy ra ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{653}{4}-\frac{1253}{8}=\frac{53}{8}\approx \mathrm{6,63}$.

Ví dụ 2. Thời gian chạy bộ mỗi ngày của An trong thời gian gần đây được thống kê lại ở bảng sau:

Hãy tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng trên.

Hướng dẫn giải:

Cỡ mẫu n = 18.

Gọi x₁; x₂; ...; x₁₈ là thời gian 18 ngày chạy bộ của An được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có Q₁ = x₅ ∈ [20; 25) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có $Q_1=20+\frac{\frac{18}{4}-0}{6}.5=\frac{95}{4}$.

Có Q₃ = x₁₄ ∈ [30; 35) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có $Q_3=30+\frac{\frac{3.18}{4}-12}{4}.5=\frac{255}{8}$.

Do đó khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{255}{8}-\frac{95}{4}=\frac{65}{8}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một hãng xe ô tô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng đầu tiên ở bảng sau. Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này (làm tròn các kết quả đến hàng phần trăm).

A. 5,32;

B. 3,52;

C. 2,53;

D. 5,23.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu n = 100.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₀₀ lần lượt là số lần gặp sự cố của 100 chiếc xe cùng lại sau 2 năm sử dụng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_{25}+x_{26}\right)\in \left[\mathrm{2,5};\mathrm{4,5}\right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Suy ra $Q_1=\mathrm{2,5}+\frac{\frac{100}{4}-17}{33}\left(\mathrm{4,5}-\mathrm{2,5}\right)\approx \mathrm{2,98}$.

Có $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{75}+x_{76}\right)\in \left[\mathrm{2,5};\mathrm{4,5}\right)$.

Mà x₇₅ ∈ [4,5; 6,5); x₇₆ ∈ [6,5; 8,5) nên Q₃ = 6,5.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ∆_Q = Q₃ – Q₁ ≈ 6,5 – 2,98 = 3,52.

Bài 2. Bảng số liệu ghép nhóm tổng lượng mưa (đơn vị: mm) đo được vào tháng 7 từ năm 2005 đến 2024 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng

A. 375;

B. 170;

C. 225;

D. 200.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu n = 20.

Gọi x₁; x₂; ...; x₂₀ là tổng lượng mưa đo được vào tháng 7 từ năm 2005 đến 2024 được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)\in \left[225;300\right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có $Q_1=225+\frac{\frac{20}{4}-3}{5}\left(300-225\right)=255$.

Có $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{15}+x_{16}\right)\in \left[375;450\right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có $Q_3=375+\frac{\frac{20.3}{4}-11}{6}.75=425$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 425 – 255 = 170.

Bài 3. Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau. Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này? (Làm tròn các kết quả đến hàng phần trăm).

A. 0,06;

B. 0,08;

C. 0,07;

D. 0,09.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Cỡ mẫu n = 85.

Gọi x₁; x₂; ...; x₈₅ là điện lượng của 85 viên pin tiểu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_{21}+x_{22}\right)\in \left[\mathrm{0,95};\mathrm{1,0}\right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có $Q_1=\mathrm{0,95}+\frac{\frac{85}{4}-10}{20}\left(\mathrm{1,0}-\mathrm{0,95}\right)\approx \mathrm{0,98}$.

Có $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{64}+x_{65}\right)\in \left[\mathrm{1,0};\mathrm{1,05}\right)$.

Ta có $Q_3=\mathrm{1,0}+\frac{\frac{3.85}{4}-30}{35}.\left(\mathrm{1,05}-1\right)\approx \mathrm{1,05}$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ∆_Q = Q₃ – Q₁ ≈ 1,05 – 0,98 = 0,07.

Bài 4. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của dân cư của khu phố A như sau

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là (làm tròn đến hàng phần trăm)

A. 30,38;

B. 53,33;

C. 22,95;

D. 22,94.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có n = 100.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₀₀ là tuổi của 100 dân cư khu phố A được xếp theo thứ tự không giảm.

Có $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_{25}+x_{26}\right)\in \left[30;40\right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Có $Q_1=30+\frac{\frac{100}{4}-24}{26}.10=\frac{395}{13}$.

Có $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{75}+x_{76}\right)\in \left[50;60\right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Có .

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ∆_Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{160}{3}-\frac{395}{13}=\frac{895}{39}\approx \mathrm{22,95}$.

Bài 5. Lương tháng của một số nhân viên một văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng)

Tìm khoảng tứ phân vị của dãy số liệu trên.

A. 1,75;

B. 3,3;

C. 3,25;

D. 2,3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu n = 24.

Gọi x₁; x₂; …; x₂₄ là lương tháng của 24 nhân viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Có $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_6+x_7\right)\in \left[8;10\right)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là

$Q_1=8+\frac{\frac{24}{4}-3}{6}\left(10-8\right)=9$.

Có $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{18}+x_{19}\right)\in \left[12;14\right)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là

$Q_3=12+\frac{\frac{3.24}{4}-17}{7}\left(14-12\right)\approx \mathrm{12,3}$.

Khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 12,3 – 9 = 3,3.

Bài 6. Các bạn học sinh lớp 12A5 trả lời 40 câu hỏi trong một bài kiểm tra. Kết quả số câu trả lời đúng được thống kê ở bảng sau:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là

A. 9,375;

B. 8,625;

C. 10,15;

D. 7,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Cỡ mẫu n = 40.

Có $Q_1=\frac{x_{10}+x_{11}}{2}$. Do x₁₀; x₁₁ ∈ [21; 26) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Có $Q_1=21+\frac{\frac{40}{4}-4}{8}.5=\mathrm{24,75}$.

Có $Q_3=\frac{x_{30}+x_{31}}{2}$. Do x₃₀; x₃₁ ∈ [31;36) nên nhóm này chứa Q₃.

Có $Q_3=31+\frac{\frac{3.40}{4}-20}{16}.5=\mathrm{34,125}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 34,125 – 24,75 = 9,375.

Bài 7. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 25 cây cam giống như sau:

Từ một mẫu số liệu về chiều cao của cây xoài giống người ta tính được khoảng tứ phân vị bằng 13,94. Đối với các cây cam giống và xoài giống được khảo sát ở trên, khẳng định nào sau đây đúng

A. Chiều cao của các cây xoài giống phân tán hơn;             

B. Chiều cao của các cây cam giống phân tán hơn;

C. Các cây cam và xoài giống có chiều cao phân tán như nhau;    

D. Không so sánh được độ phân tán của các cây cam giống và xoài giống được khảo sát.

Hướng dẫn giải: B

Đáp án đúng là:

Cỡ mẫu n = 25.

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là $\frac{x_6+x_7}{2}$. Do x₆; x₇ đều thuộc nhóm [10; 20) nên nhóm này chứa Q₁.

Ta có: $Q_1=10+\frac{\frac{25}{4}-4}{6}.10=\mathrm{13,75}$.

Tứ phân vị thứ ba Q₃ là $\frac{x_{19}+x_{20}}{2}$. Do x₁₉; x₂₀ đều thuộc nhóm [30; 40) nên nhóm này chứa Q₃.

Ta có: $Q_3=30+\frac{\frac{3.25}{4}-17}{5}.10=\mathrm{33,5}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 33,5 – 13,75 = 19,75.

Vì 19,75 > 13,94 nên chiều cao của các cây cam giống được khảo sát phân tán hơn chiều cao của các cây xoài giống được khảo sát.

Bài 8. Bảng sau thống kê cân nặng của 30 quả đu đủ được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở vườn nhà Lan

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. 103,125;

B. 1728,125;

C. 250;

D. 750.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Cỡ mẫu n = 30.

Gọi x₁; x₂; ...; x₃₀ là số cân nặng của 30 quả đu đủ thu hoạch ở vường nhà Lan được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có Q₁ = x₈ ∈ [800; 850) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=800+\frac{\frac{30}{4}-5}{10}.50=\mathrm{812,5}$.

Ta có Q₃ = x₂₃ ∈ [900; 950) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Tứ phân vị thứ nhất là .

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 103,125.

Bài 9. Một mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị là Q₁ = 54; Q₂ = 61; Q₃ = 73. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. 19;

B. 12;

C. 7;

D. 61.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 73 – 54 = 19.

Bài 10. Trung tâm ngoại ngữ thống kê bảng điểm môn Tiếng Anh của một khóa học trong bảng dưới đây

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A. 3,93;

B. 3,92;

C. 2,93;

D. 2,92.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Cỡ mẫu n = 146.

Gọi x₁; x₂; ...; x₁₄₆ là điểm của 146 học viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có Q₁ = x₃₇ ∈ [2; 4) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có $Q_1=2+\frac{\frac{146}{4}-10}{30}.2=\frac{113}{30}$.

Ta có Q₃ = x₁₁₀ ∈ [6; 8) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có $Q_3=6+\frac{\frac{3.146}{4}-95}{42}.2=\frac{281}{42}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ∆_Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{281}{42}-\frac{113}{30}=\frac{307}{105}\approx \mathrm{2,92}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và vận dụng đo mức độ rủi ro
• Áp dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm
• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
• Nguyên hàm của hàm số lượng giác
• Nguyên hàm của hàm số mũ

---