Áp dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Áp dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Áp dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm.

Áp dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

+) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;

+) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x ∈ K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C (C ∈ ℝ) là họ các nguyên hàm của f(x) trên K,

+) kí hiệu bởi $\int f\left(x\right)dx$.

+) Viết $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$, C là hằng số.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh rằng F(x) = 2x³ – 5x + 4 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 6x – 5 trên ℝ.

Hướng dẫn giải:

Ta có F'(x) = (2x³ – 5x + 4)' = 6x² – 5 = f(x) với mọi x thuộc ℝ.

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ.

Ví dụ 2. Tìm $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

Hướng dẫn giải:

Vì ${\left(\tan x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ với mọi x thuộc $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

Nên F(x) = tanx là một nguyên hàm của $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

Vậy $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số f(x) = 3x² + 2x. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

A. F₁(x) = x³ + x² – 4;

B. $F_2\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}$;

C. F₃(x) = x³ − x² + 1;

D. F₄(x) = 3x³ + x².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì F₁'(x) = 3x² + 2x = f(x).

Do đó F₁(x) = x³ + x² – 4 là một nguyên hàm của f(x) = 3x² + 2x trên ℝ.

Bài 2. Cho hàm số $f\left(x\right)=x-\frac{1}{\sqrt{x}}$. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (0; +∞).

A. $F_1\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\sqrt{x}$;

B. $F_2\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\sqrt{x}$;

C. $F_3\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+2\sqrt{x}$;

D. $F_4\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-2\sqrt{x}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có ${F^{\text{'}}}_4\left(x\right)=x-\frac{1}{\sqrt{x}}=f\left(x\right)$.

Bài 3. Cho hàm số $f\left(x\right)=3+\frac{1}{x}$. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) trên (0; +∞).

A. $F_1\left(x\right)=3x-\frac{1}{x^2}$;

B. $F_2\left(x\right)=3x+\ln x$;

C. $F_3\left(x\right)=3x+\frac{1}{x^2}$;

D. F₄(x) = 3x – lnx.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có ${F^{\text{'}}}_2\left(x\right)=3+\frac{1}{x}=f\left(x\right)$.

Bài 4. Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A. F'(x) = −f(x), ∀x ∈ K;

B. f'(x) = F(x), ∀x ∈ K;

C. F'(x) = f(x), ∀x ∈ K;

D. f'(x) = −F(x), ∀x ∈ K.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa thì hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x), ∀x ∈ K.

Bài 5. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. F(x) = f'(x);

B. F'(x) = f(x);

C. ${\left(\int f\left(x\right)dx\right)}^{\text{'}}=F^{\text{'}}\left(x\right)$;

D. $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Theo định nghĩa suy ra A sai.

Bài 6. Cho $\int f\left(x\right)dx=F_1\left(x\right)$, $\int g\left(x\right)dx=F_2\left(x\right)$. Tính $I=\int \left[2g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx$.

A. 2F₁(x) – F₂(x) + C;

B. F₂(x) – F₁(x) + C;

C. 2F₂(x) – F₁(x) + C;

D. |F₁(x) + F₂(x)| + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

I = $\int \left[2g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx$ = $2\int g\left(x\right)dx-\int f\left(x\right)dx$ = $2F_2\left(x\right)-F_1\left(x\right)+C$.

Bài 7. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$;

B. $\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$;

C. $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx,\forall k\in ℝ$;

D. $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx,\forall k\in ℝ,k\ne 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx,\forall k\in ℝ,k\ne 0$ nên đáp án C sai.

Bài 8. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ. Số nguyên hàm của hàm số f(x) là

A. Vô số;

B. 0;

C. 2;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ thì có vô số nguyên hàm trên ℝ.

Bài 9. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x². Biểu thức F'(25) bằng

A. 5;

B. 625;

C. 25;

D. 125.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x² nên F'(x) = f(x) = x².

Do đó F'(25) = 25² = 625.

Bài 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. F(x) = cos²x + 24 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = −sin2x;

B. F(x) = tanx + 12 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + tan²x;

C. F(x) = 36^2x là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{{1296}^x}{\ln 1296}$;

D. F(x) = x(x – 2) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2\left(x^2-1\right)}{x+1}$ trên (−1; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có F(x) = 36^2x = 1296^x. Suy ra F'(x) = 1296^x.ln1296.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
• Nguyên hàm của hàm số lượng giác
• Nguyên hàm của hàm số mũ
• Nguyên hàm có điều kiện
• Vận dụng nguyên hàm vào giải bài toán thực tế

---