Vận dụng nguyên hàm vào giải bài toán thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vận dụng nguyên hàm vào giải bài toán thực tế lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng nguyên hàm vào giải bài toán thực tế.

Vận dụng nguyên hàm vào giải bài toán thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Vận dụng linh hoạt kiến thức về nguyên hàm vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng $N^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{2000}{1+2t}$ và lúc đầu đám vi trùng có 300000 con. Kí hiệu L là số lượng vi trùng trong 10 ngày. Tìm L.

Hướng dẫn giải:

Ta có N(t) = $\int N^{\text{'}}\left(t\right)dt=\int \frac{2000}{1+2t}dt$ = 1000ln|1 + 2t| + C.

Vì N(0) = 300000 nên 1000ln1 + C = 300000 ⇒ C = 300000.

Do đó N(t) = 1000ln|1 + 2t| + 300000.

Suy ra N(10) = 1000ln|1 + 2.10| + 300000 ≈ 303044.

Ví dụ 2. Một ô tô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 19 – 2t (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 5 giây là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có s(t) = $\int v\left(t\right)dt=\int \left(19-2t\right)dt=19t-t^2+C$.

Ta có s(0) = 0 ⇒ C = 0.

Do đó s(t) = 19t – t².

Vậy sau 5 giây thì t = 5, quãng đường ô tô đi được là s(5) = 19.5 – 5² = 70 m.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một vật chuyển động có gia tốc là a(t) = 3t² + t (m/s²). Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là

A. 8 m/s;

B. 12 m/s;

C. 10 m/s;

D. 16 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có v(t) = $\int a\left(t\right)dt=\int \left(3t^2+t\right)dt=t^3+\frac{1}{2}{t}^2+C$.

Vì v(0) = 2 nên C = 2. Do đó v(t) = $t^3+\frac{1}{2}{t}^2+2$

Vậy v(2) = 12 m/s.

Bài 2. Một quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m với vận tốc được tính bởi công thức sau đây v(t) = −10t + 16 (m/s). Công thức nào sau đây tính độ cao của quả bóng theo thời gian t?

A. h(t) = −5t² + 16t + C;

B. h(t) = −5t² + 16t + 20;

C. h(t) = 5t² − 16t + 20;

D. h(t) = 5t² − 16t − 20.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t.

Suy ra h'(t) = v(t) do đó h(t) là một nguyên hàm của v(t).

Ta có $\int \left(-10t+16\right)dt=-5t^2+16t+C$.

Do quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m nên tại thời điểm t = 0 thì h = 20.

Hay h(0) = 20 ⇒ C = 20. Do đó h(t) = −5t² + 16t + 20.

Bài 3. Một ô tô đang chạy với vận tốc 70 km/h thì hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −10t + 30 (m/s). Tính quãng đường ô tô đi được sau 3 giây kể từ khi hãm phanh.

A. 51 m;

B. 43 m;

C. 54 m;

D. 45 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t giây kể từ khi hãm phanh.

Ta có s(t) = $\int \left(-10t+30\right)dt=-5t^2+30t+C$.

Do s(0) = 0 ⇒ C = 0.

Khi đó s(t) = −5t² + 30t ⇒ s(3) = −5.9 + 30.3 = 45 m.

Bài 4. Theo nghiên cứu thị trường, sau t năm từ năm đầu tiên vốn đầu tư của một doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận với tốc độ được tính xấp xỉ bởi công thức P'(t) = 125 + t² (triệu đồng/năm). Lợi nhuận của doanh nghiệp được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $P\left(t\right)=125t+\frac{t^3}{3}$;

B. P(t) = 125t + t³;

C. P(t) = 125 + t³;

D. P(t) = 125t + 2t³.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Lợi nhuận phát sinh của vốn sau t năm từ năm đầu tiên là

$P\left(t\right)=\int P^{\text{'}}\left(t\right)dt=125t+\frac{t^3}{3}+C$.

Vì P(0) = 0 ⇒ C = 0. Vậy $P\left(t\right)=125t+\frac{t^3}{3}$.

Bài 5. Một ô tô đang chạy với vận tốc 36 km/h, thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a(t) = $1+\frac{t}{3}$ (m/s²). Tính vận tốc của ô tô sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc.

A. 90 m/s;

B. 48 m/s;

C. 22 m/s;

D. 28 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đổi 36 km/h = 10 m/s.

Có $v\left(t\right)=\int \left(1+\frac{t}{3}\right)dt=t+\frac{t^2}{6}+C$.

Vì v(0) = 10 nên C = 10.

Do đó $v\left(t\right)=t+\frac{t^2}{6}+10$ => $v\left(6\right)=6+\frac{6^2}{6}+10=22$ (m/s).

Bài 6. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −2t + 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.

A. 16 m;

B. 25 m;

C. 50 m;

D. 55 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có s(t) = $\int \left(-2t+10\right)dt=-t^2+10t+C$.

Vì s(0) = 0 nên C = 0.

Ô tô dừng hẳn thì v(t) = −2t + 10 = 0 ⇔ t = 5.

Vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô chạy với vận tốc 10 m/s và 5 giây cuối ô tô chạy với vận tốc chậm dần đều v(t) = −2t + 10 (m/s).

Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây chạy với vận tốc 10 m/s là 3.10 = 30 m.

Quãng đường ô tô đi được trong 5 giây kể từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là s(5) = −5² + 10.5 = 25 (m).

Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quãng đường 30 + 25 = 55 (m).

Bài 7. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc $v^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{3}{t+1}$ (m/s²). Vận tốc ban đầu của vật là 6 m/s. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn đến kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 5 m/s;

B. 13,2 m/s;

C. 8 m/s;

D. 7 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử tại thời điểm ban đầu t = 0; v(0) = 6 m/s.

Ta có v(0) = 6 m/s => $v\left(t\right)=\int \frac{3}{t+1}dt=3\ln \left|t+1\right|+C$.

Vì v(0) = 6 ⇒ C = 6.

Do đó v(t) = 3ln|t + 1| + 6 ⇒ v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13,2 (m/s).

Bài 8. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) = 25 – 9,8t (m/s). Độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất) đạt giá trị lớn nhất là

A. $\frac{125}{49}$;

B. $\frac{3125}{98}$;

C. $\frac{2375}{392}$;

D. $\frac{1125}{98}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi h(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó h(t) = $\int v\left(t\right)dt=\int \left(25-\mathrm{9,8}t\right)dt=25t-\mathrm{4,9}{t}^2+C$ (m).

Do h(0) = 0 nên C = 0 ⇒ h(t) = −4,9t² + 25t (m).

Vậy viên đạn đạt độ cao lớn nhất là h = $-\frac{\Delta }{4a}=\frac{3125}{98}$ (m) khi t = $-\frac{b}{2a}=\frac{125}{49}$ giây.

Bài 9. Một vật đang chuyển động đều với vận tốc v₀ =15 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = t² + 4t (m/s²). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây từ lúc bắt đầu tăng tốc.

A. 96,57 m/s;

B. 69,75 m;

C. 96,75 m/s;

D. 69,57 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t) = $\int \left(t^2+4t\right)dt=\frac{t^3}{3}+2t^2+C$.

Vì v(0) = 15 nên C = 15.

Khi đó v(t) = $\frac{t^3}{3}+2t^2+15$.

Có s(t) = $\int \left(\frac{t^3}{3}+2t^2+15\right)dt=\frac{t^4}{12}+\frac{2t^3}{3}+15t+C_1$.

Vì s(0) = 0 nên C₁ = 0.

Vậy s(3) = 69,75 m.

Bài 10. Một vật chuyển động với gia tốc phụ thuộc vào thời gian theo công thức $a\left(t\right)=\sin \left(2t+\frac{\pi }{3}\right)$. Biết tại thời điểm t = 0 thì vận tốc và quãng đường đi được của vật đều bằng 0, công thức tính quãng đường đi được vủa vật đó theo thời gian là:

A. $s\left(t\right)=\frac{1}{4}\sin \left(2t+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{4}t-\frac{\sqrt{3}}{8}$;

B. $s\left(t\right)=-\frac{1}{4}\sin \left(2t+\frac{\pi }{3}\right)-\frac{1}{4}t+\frac{\sqrt{3}}{8}$;

C. $s\left(t\right)=-\frac{1}{4}\sin \left(2t+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{8}$;

D. $s\left(t\right)=-\frac{1}{4}\sin \left(2t+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{4}t+\frac{\sqrt{3}}{8}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = $\int \sin \left(2t+\frac{\pi }{3}\right)dt=-\frac{1}{2}\cos \left(2t+\frac{\pi }{3}\right)+C$.

Mà v(0) = 0 nên C = $\frac{1}{4}$.

Do đó v(t) = $-\frac{1}{2}\cos \left(2t+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{4}$.

Có s(t) = $\int \left(-\frac{1}{2}\cos \left(2t+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{4}\right)dt$ = $-\frac{1}{4}\sin \left(2t+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{4}t+C_1$.

Vì s(0) = 0 nên C₁ = $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

Do đó s(t) = $-\frac{1}{4}\sin \left(2t+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{4}t+\frac{\sqrt{3}}{8}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Áp dụng định nghĩa và tính chất tích phân
• Tích phân của các hàm số cơ bản
• Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức
• Vận dụng tích phân để giải bài toán thực tế

---