Xác định các yếu tố cơ bản liên quan đến mặt phẳng (vectơ pháp tuyến, điểm thuộc, không thuộc mặt phẳng) lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định các yếu tố cơ bản liên quan đến mặt phẳng (vectơ pháp tuyến, điểm thuộc, không thuộc mặt phẳng) lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định các yếu tố cơ bản liên quan đến mặt phẳng (vectơ pháp tuyến, điểm thuộc, không thuộc mặt phẳng).

Xác định các yếu tố cơ bản liên quan đến mặt phẳng (vectơ pháp tuyến, điểm thuộc, không thuộc mặt phẳng) lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

+) Mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$.

+) Nếu mặt phẳng (α) có vặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ thì (α) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$ .

+) Nếu $\overrightarrow{n}$  là một vectơ chỉ phương của (α) thì $k.\overrightarrow{n}$ cũng là một vectơ pháp tuyến của (α).

• Điểm thuộc và không thuộc mặt phẳng

Cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:

+) N₀(x₀; y₀; z₀) ∈ (α) ⇔ Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0.

+) N₀(x₀; y₀; z₀) ∉ (α) ⇔ Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D ≠ 0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) song song với giá của hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;3\right),\overrightarrow{b}=\left(3;0;5\right)$ . Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Hướng dẫn giải:

Gọi $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Ta có $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{b}$  nên chọn $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(-10;4;6\right)$ .

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2y + x + 3z – 1 = 0. Xác định một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Ta có (P): x + 2y + 3z – 1 = 0.

Do đó mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;2;3\right)$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho mặt phẳng (P): 2x – 3z – 1 = 0. Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow{n}=\left(2;-3;0\right)$ ;

B. $\overrightarrow{n}=\left(2;-3;1\right)$;

C. $\overrightarrow{n}=\left(2;0;-3\right)$ ;

D.$\overrightarrow{n}=\left(2;-3;-1\right)$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;0;-3\right)$ .

Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).

A. $\overrightarrow{n}=\left(1;1;0\right)$ ;

B. $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$ ;

C. $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$;

D. $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Do đó mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ .

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): x – 3y – 2z – 6 = 0. Vectơ nào không phải là vectơ pháp tuyến của (α).

A. $\overrightarrow{n}=\left(1;-3;-2\right)$ ;

B. $\overrightarrow{n}=\left(-1;3;2\right)$ ;

C. $\overrightarrow{n}=\left(1;3;2\right)$  ;

D. $\overrightarrow{n}=\left(-2;6;4\right)$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vectơ $\overrightarrow{n}=\left(1;3;2\right)$  không là vectơ pháp tuyến của (α).

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $\left(\alpha \right):\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1$ . Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

A. $\overrightarrow{n}=\left(3;6;2\right)$ ;

B. $\overrightarrow{n}=\left(2;1;3\right)$ ;

C. $\overrightarrow{n}=\left(3;-6;2\right)$;

D. $\overrightarrow{n}=\left(-2;-1;-3\right)$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\left(\alpha \right):\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1$ $\iff 3x+6y+2z-6=0$.

Suy ra $\overrightarrow{n}=\left(3;6;2\right)$  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (α) vuông góc với trục tung có một vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow{n}=\left(0;-8;0\right)$ ;

B. $\overrightarrow{n}=\left(-1;0;4\right)$  ;

C. $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$ ;

D. $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (α) vuông góc với trục tung nên nhận $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$  làm vectơ pháp tuyến nên $\overrightarrow{n}=\left(0;-8;0\right)=-8\overrightarrow{j}$  nên $\overrightarrow{n}=\left(0;-8;0\right)$  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Bài 6. Trong không gian Oxyz, điểm M(3; 4; −2) thuộc mặt phẳng nào dưới đây?

A. x + y + z + 5 = 0;

B. x – 1 = 0;

C. z – 2 = 0;

D. x + y – 7 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ở câu D, ta được:

3 + 4 – 7 = 0. Vậy điểm M thuộc mặt phẳng x + y – 7 = 0.

Bài 7. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (P): 2x – 2y + 3z + 6 = 0.

A. Q(3; −2; −3);

B. N(3; 0; 0);

C. P(2; −2; 3);

D. M(3; 3; −2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 2.3 – 2.3 + 3.(−2) + 6 = 0. Do đó M ∈ (P).

Bài 8. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$  không đi qua điểm nào dưới đây?

A. P(0; 2; 0);

B. N(1; 2; 3);

C. M(1; 0; 0);

D. Q(0; 0; 3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P), ta được $\frac{1}{1}+\frac{2}{2}+\frac{3}{3}=3\ne 1$ .

Do đó N ∉ (P).

Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + z – 5 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (P)?

A. P(0; 0; −5);

B. M(1; 1; 6);

C. Q(2; −1; 5);

D. N(−5; 0; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

1 – 2.1 + 6 – 5 = 0. Do đó M ∈ (P).

Bài 10. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độ?

A. x + 20 = 0;

B. x – 2024 = 0;

C. y + 2025 = 0;

D. 2x + 5y – 8z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Thay tọa độ O(0; 0; 0) vào phương trình mặt phẳng ở câu D ta được:

2.0 + 5.0 – 8.0 = 0 (luôn đúng).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ pháp tuyến
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có cặp vectơ chỉ phương
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng
• Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác

---