Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) trung trực đoạn thẳng AB

+) Vectơ pháp tuyến của mặt (α) là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}$.

+) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.

+) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm I và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4; 0; 1) và B(−2; 2; 3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}=\left(-6;2;2\right)$ và đi qua trung điểm I(1; 1; 2) của đoạn thẳng AB.

Do đó, phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: −6(x – 1) + 2(y – 1) + 2(z – 2) = 0

⇔ 3x – y – z = 0.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−3; 2; 1) và B(5; −4; 1). Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên (Oxy) và N là điểm đối xứng với B qua (Oyz). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng MN.

Hướng dẫn giải:

Theo đề ta có M(−3; 2; 0), N(−5; −4; 1), $\overrightarrow{NM}=\left(2;6;-1\right)$

Gọi I là trung điểm MN. Ta có $I\left(-4;-1;\frac{1}{2}\right)$ .

Phương trình mặt phẳng cần tìm là 2(x + 4) + 6(y + 1) – 1( $z-\frac{1}{2}$) = 0

⇔ 4x + 12y – z + 29 = 0.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) và B(1; 3; −5). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

A. y – 2z + 2 = 0;

B. y – 3z + 4 = 0;

C. y – 2z – 6 = 0;

D. y – 3z – 8 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tọa độ trung điểm M của đoạn AB là M(1; 2; −2).

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua M và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=\left(0;2;-6\right)$có phương trình 2y – 6z – 16 = 0 hay y – 3z – 8 = 0.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 0; 1). Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên trục Ox và trên (Oyz). Viết phương trình mặt trung trực của đoạn AB.

A. 4x – 2z – 3 = 0;

B. 4x – 2y – 3 = 0;

C. 4x – 2z + 3 = 0;

D. 4x + 2z + 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Theo đề ta có A(2; 0; 0), B(0; 0; 1).

Gọi I là trung điểm AB. Ta có $I\left(1;0;\frac{1}{2}\right)$ .

Mặt phẳng trung trực đoạn AB đi qua I và nhận $\overrightarrow{BA}=\left(2;0;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $2\left(x-1\right)-\left(z-\frac{1}{2}\right)=0$ ⇔ 4x – 2z – 3 = 0.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−2; 2; 6). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng OA.

A. x – y – 3z + 11 = 0;

B. x – y – 3z + 9 = 0;

C. – x + y + 3z + 22 = 0;

D. x – y – 3z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(-2;2;6\right)$ .

Mặt phẳng (P) nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(1;-1;-3\right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua I(−1; 1; 3) trung điểm của OA nên có phương trình x – y – 3z + 11 = 0.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2; −1; 2) và N(2; 1; 4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.

A. 3x + y – 1 = 0;

B. y + z – 3 = 0;

C. x – 3y – 1 = 0;

D. 2x + y – 2z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Trung điểm I của đoạn MN có tọa độ I(2; 0; 3) và $\overrightarrow{MN}=\left(0;2;2\right)$ .

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN đi qua I và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(0;1;1\right)$ có phương trình là y + z – 3 = 0.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 0; 1). Gọi N là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oxy). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN.

A. 2z – 1 = 0;

B. 2z + 1 = 0;

C. z – 1 = 0;

D. 2z – 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Theo đề ta có N(2; 0; 0).

Gọi I là trung điểm MN nên I có tọa độ $I\left(2;0;\frac{1}{2}\right)$ .

Mặt phẳng trung trực đoạn MN đi qua I và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $-z+\frac{1}{2}=0$⇔ 2z – 1 = 0.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; −1) và B(−5; 4; 1). Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

A. E(−8; 2; 2);

B. F(0; −3; 4);

C. G(0; 0; 7);

D. H(−2; 6; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-8;2;2\right)$ và I(−1; 3; 0) là trung điểm của đoạn AB.

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB đi qua I(−1; 3; 0) và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-8;2;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

−8(x + 1) + 2(y – 3) + 2z = 0 ⇔ 4x – y – z + 7 = 0.

Thay tọa độ điểm G vào phương trình mặt phẳng ta được −7 + 7 = 0 (luôn đúng).

Bài 7. Trong không gian Oxyz cho điểm A(−2; 3; 2), điểm B thuộc trục Oy và có tung độ bằng 5. Viết phương trình mặt phẳng (α) là mặt phẳng trung trục của đoạn AB.

A. x + y – z – 2 = 0;

B. x + y – z + 6 = 0;

C. −x + 4y + z – 2 = 0;

D. 2x + 2y – 2z – 6 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có B(0; 5; 0), I là trung điểm AB Þ I(−1; 4; 1).

Có $\overrightarrow{AB}=\left(2;2;-2\right)$ .

Mặt phẳng trung trực của AB có dạng 2x + 2y – 2z – 4 = 0 ⇔ x + y – z – 2 = 0.

Bài 8. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 2; 5), B(2; −2; 1), gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng OG.

A. x + 2y – 5 = 0;

B. 2x + 4y – 5 = 0;

C. x – 2z + 5 = 0;

D. 2x + 4z – 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có G(1; 0; 2), I là trung điểm của OG nên $I\left(\frac{1}{2};0;1\right)$ .

Mặt phẳng trung trực của OG đi qua I và nhận $\overrightarrow{OG}=\left(1;0;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $x+2z-\frac{5}{2}=0$⇔ 2x + 4z – 5 = 0.

Bài 9. Trong không gian Oxyz cho điểm M(2; 7; −4), gọi A và B lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục tọa độ Ox và Oz. Mặt phẳng nào sau đây là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

A. x – 2z – 5 = 0;

B. x + 2z + 6 = 0;

C. x + 2z + 3 = 0;

D. 2x + 7y – 4z + 6 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Theo đề ta có A(2; 0; 0), B(0; 0; −4), I là trung điểm AB nên I(1; 0; −2).

Mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng đi qua I(1; 0; −2) và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-2;0;-4\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x + 2z + 3 = 0.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4; 0; 1) và B(−2; 2; 3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là ax + by − z = 0. Tính a + b.

A. 2;

B. −2;

C. 3;

D. −3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-6;2;2\right)$ và I là trung điểm của AB nên I(1; 1; 2).

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-6;2;2\right)$ là vectơ pháp tuyến có phương trình

−6(x – 1) + 2(y – 1) + 2(z – 2) = 0 ⇔−6x + 2y + 2z = 0 ⇔ 3x – y – z = 0.

Suy ra a + b = 2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
• Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế
• Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian

---