Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác.

Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) qua M(x₀; y₀; z₀) và song song (β): Ax + By + Cz + D = 0.

Cách 1:

+) Vectơ pháp tuyến (α) là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{n_{\beta }}=\left(A;B;C\right)$.

+) Mặt phẳng (α) đi qua M.

Cách 2:

+) Do (α) // (β) nên (α): Ax + By + Cz + D' = 0 (D ≠ D')

+) Thay điểm M vào (α) để tìm D'.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(−1; 1; 2) và song song với mặt phẳng (α): 2x – 2y + z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Vì (P) // (α) nên (P): 2x – 2y + z + D' = 0 (D' ≠ −1).

Do (P) đi qua điểm A(−1; 1; 2) nên −2 – 2 + 2 + D' = 0 ⇔ D' = 2 (thỏa mãn).

Vậy (P): 2x – 2y + z + 2 = 0.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên (Q) có dạng 2x – y – 2z + d = 0 (d ≠ −1).

Vì O ∈ (Q) nên d = 0 (thỏa mãn).

Do đó (Q): 2x – y – 2z = 0.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(1; 3; −2) và song song với mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 4 = 0 là

A. 2x + y + 3z + 7 = 0;

B. 2x + y – 3z + 7 = 0;

C. 2x – y + 3z + 7 = 0;

D. 2x – y + 3z – 7 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

Vì (α) // (P) nên $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;3\right)$ .

Ta có (α) đi qua A(1; 3; −2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(2;-1;3\right)$.

Do đó phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) là: hay 2x – y + 3z + 7 = 0.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; −1; −3) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 4z – 5 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình:

A. 3x – 2y + 4z – 4 = 0;

B. 3x – 2y + 4z + 4 = 0;

C. 3x – 2y + 4z + 5 = 0;

D. 3x + 2y + 4z + 8 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do (Q) song song với (P) nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;-2;4\right)$ .

Phương trình mặt phẳng (Q): 3(x – 2) – 2(y + 1) + 4(z + 3) = 0

⇔ 3x – 2y + 4z + 4 = 0.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + z – 3 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song với (P). Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng (Q).

A. K(3; 1; −8);

B. N(2; 1; −1);

C. I(0; 2; −1);

D. M(1; 0; −5).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do (Q) // (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng 2x – y + z + C = 0 (C ≠ −3).

Mặt phẳng (Q) đi qua A(−1; 2; 1) nên 2.(−1) – 2 + 1 + C = 0 ⇔ C = 3.

Suy ra phương trình mặt phẳng (Q): 2x – y + z + 3 = 0.

Suy ra điểm không nằm trên mặt phẳng (Q) là N(2; 1; −1) vì 2.2 – 1 – 1 + 3 = 5 ≠ 0.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; −1; −2) và mặt phẳng (α): 3x – y + 2z + 4 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với (α).

A. 3x + y – 2z – 14 = 0;

B. 3x – y + 2z + 6 = 0;

C. 3x – y + 2z – 6 = 0;

D. 3x – y – 2z + 6 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng qua M và song song với (α) có phương trình là:

3(x – 3) – (y + 1) + 2(z + 2) = 0 hay 3x – y + 2z – 6 = 0.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua I(1; −2; 0) và song song với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là:

A. y + 1 = 0;

B. y – 2 = 0;

C. y + 2 = 0;

D. x + z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxz) có dạng y + D = 0, qua I(1; −2; 0) nên D = 2.

Vậy mặt phẳng cần tìm là y + 2 = 0.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(1; 3; −2) và song song với mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 4 = 0 là

A. 2x – y + 3z + 7 = 0;

B. 2x + y – 3z + 7 = 0;

C. 2x + y + 3z + 7 = 0;

D. 2x – y + 3z – 7 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 4 = 0 có dạng:

2x – y + 3z + D = 0 (D ≠ 4).

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1; 3; −2) nên ta có:

2.1 – 3 + 3.(−2) + D = 0 ⇔ D = 7 (thỏa mãn).

Vậy phương trình mặt phẳng (Q): 2x – y + 3z + 7 = 0.

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P).

A. 2x – y + z – 3 = 0;

B. −x + 2y + z + 3 = 0;

C. 2x – y + z + 3 = 0;

D. −x + 2y + z + 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì (Q) // (P) nên (Q) có dạng: 2x – y + z + m = 0 (m ≠ −1).

Vì A ∈ (Q) nên 2.(−1) – 2 + 1 + m = 0 ⇔ m = 3.

Vậy (Q): 2x – y + z + 3 = 0.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng qua M(1; 1; 1) song song (Oxy) là

A. y – 1 = 0;

B. x + y – 2 = 0;

C. x + y + z – 3 = 0;

D. z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì (P) // (Oxy) nên (P): z + d = 0.

Mà M ∈ (P) nên d = −1 nên (P): z – 1 = 0.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua I(3; −3; 3) và song song với mặt phẳng (Oyz) có phương trình là:

A. y – 3 = 0;

B. x + 3 = 0;

C. x – 3 = 0;

D. z – 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) nên có dạng x + D = 0 và đi qua I nên D = −3.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là x – 3 = 0.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 5x – 3y + 2z – 3 = 0 có phương trình là

A. 5x + 3y – 2z = 0;

B. 5x – 3y – 2z = 0;

C. 5x – 3y + 2z = 0;

D. −5x + 3y + 2z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng: 5x – 3y + 2z + c = 0 (c ≠ −3).

Mà (P) đi qua O nên (P): 5x – 3y + 2z = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
• Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế
• Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ chỉ phương

---