Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có cặp vectơ chỉ phương lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có cặp vectơ chỉ phương lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có cặp vectơ chỉ phương.

Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có cặp vectơ chỉ phương lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ thì ta thực hiện như sau:

+) Tìm một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$ .

+) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; −1; 0) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(2;1;3\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;2\right)$ .

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(2;1;3\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;2\right)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(-1;-1;1\right)$ .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; −1; 0) có vectơ pháp tuyến là  có dạng –(x – 2) – (y + 1) + 1(z – 0) = 0 ⇔ −x – y + z + 1 = 0.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cặp vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;0;2\right)$  có giá song song với mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua C(1; 1; 3).

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(2;-6;-1\right)$ .

Mặt phẳng (P) qua C(1; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-6;-1\right)$ nên có phương trình 2(x – 1) – 6(y – 1) – (z – 3) = 0 ⇔ 2x – 6y – z + 7 = 0.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua M(0; −2; 1) và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;1;-2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;0;3\right)$ .

A. 3x – 5y – z – 9 = 0;

B. 3x – 5y – z + 9 = 0;

C. 3x + 5y – z + 9 = 0;

D. 3x – 5y + z – 9 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(3;-5;-1\right)$ .

Mặt phẳng (P) đi qua M(0; −2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-5;-1\right)$ nên có phương trình 3(x – 0) – 5(y + 2) – (z – 1) = 0 ⇔ 3x – 5y – z – 9 = 0.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 4; 1), B(−1; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

A. 2y + 3z – 11 = 0;

B. 2x – 3y – 11 = 0;

C. x – 3y + 2z – 5 = 0;

D. 3y + 2z – 11 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3;2\right)$ , vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-3;2\right)$ .

Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_P}\right]=\left(0;8;12\right)$  là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(2; 4; 1) suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) là 0(x – 2) + 8(y – 4) + 12(z – 1) = 0 ⇔ 2y + 3z – 11 = 0.

Bài 3. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; −1), B(−1; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P).

A. 2x – y + 3 = 0;

B. x + z = 0;

C. −x + y + z = 0;

D. 3x – y + z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-2;-2;2\right)$ , $\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;-1\right)$ .

Khi đó $\overrightarrow{n_Q}=-\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_P}\right]=\left(1;0;1\right)$ .

Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: (x – 1) + (z + 1) = 0 ⇔ x + z = 0.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – z = 0 có phương trình là

A. 4x – 3y + 2z + 3 = 0;

B. 4x – 3y – 2z + 3 = 0;

C. 2x + y – 3z – 1 = 0;

D. 4x + y – 2z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;2;1\right)$ , vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q): $\overrightarrow{n_Q}=\left(1;2;-1\right)$ .

Có $\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{n_Q},\overrightarrow{AB}\right]=\left(4;-3;-2\right)$ .

Phương trình mặt phẳng (P): 4x – 3(y – 1) – 2z = 0 ⇔ 4x – 3y – 2z + 3 = 0.

Bài 5. Cho hai mặt phẳng (α): 3x – 2y + 2z + 7 = 0, (β): 5x – 4y + 3z + 1 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả (α) và (β) là:

A. 2x – y – 2z = 0;

B. 2x – y + 2z = 0;

C. 2x + y – 2z = 0;

D. 2x + y – 2z + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (α), (β) lần lượt là <.

Có $\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{n_{\alpha }},\overrightarrow{n_{\beta }}\right]=\left(2;1;-2\right)$ .

Suy ra mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 2z = 0.

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 4; 1), B(−1; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz – 11 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a + b + c = 5;

B. a + b +c = 15;

C. a + b + c = −5;

D. a + b + c = −15.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3;2\right)$  và $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-3;2\right)$ .

Khi đó $\overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{n},\overrightarrow{AB}\right]=\left(0;8;12\right)$ .

Phương trình mặt phẳng (Q): 0(x + 1) + 8(y – 1) + 12(z – 3) = 0 ⇔ 2y + 3z – 11 = 0.

Do đó a = 0; b = 2; c = 3. Do đó a + b + c = 5.

Bài 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): ax + by + cz – 9 = 0 chứa hai điểm A(3; 2; 1), B(−3; 5; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x + y + z + 4 = 0. Tính tổng S = a + b + c.

A. S = −12;

B. S = 2;

C. S = −4;

D. S = −2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-6;3;1\right)$ ; $\overrightarrow{n_Q}=\left(3;1;1\right)$ .

Có  $\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(2;9;-15\right)$.

Phương trình mặt phẳng (P): 2(x – 3) + 9(y – 2) – 15(z – 1) = 0

⇔ 2x + 9y – 15z – 9 = 0.

Suy ra a = 2; b = 9; c = −15. Do đó a + b + c = 2 + 9 + (−15) = −4.

Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) và hai mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 1 = 0, (Q): y = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

A. 3x – y + 2z – 4 = 0;

B. 3x + y – 2z – 2 = 0;

C. 3x – 2z = 0;

D. 3x – 2z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;3\right)$ , $\overrightarrow{n_Q}=\left(0;1;0\right)$ .

Suy ra $\overrightarrow{n_R}=\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(-3;0;2\right)$ .

Mặt phẳng (R) có phương trình là −3x + 2z + 1 = 0 ⇔ 3x − 2z – 1 = 0.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 1 = 0 là:

A. x – y + z – 1 = 0;

B. x + y – z + 1 = 0;

C. x – y – z – 1 = 0;

D. x + y – z  – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow{AB}=\left(2;-1;1\right)$ . Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-1;0\right)$ .

Có $\overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_P}\right]=\left(1;1;-1\right)$ .

Phương trình mặt phẳng cần tìm là 1(x – 0) + 1(y – 1) – 1(z – 0) = 0

⇔ x + y – z – 1 = 0.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(−1; 3; 1), B(1; −1; 2), C(2; 1; 3), D(0; 1; −1). Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có phương trình là:

A. 8x + 3y – 4z + 3 = 0;

B. x + 2y + 6z – 11 = 0;

C. x + 2z – 4 = 0;

D. 2x + y – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;-4;1\right),\overrightarrow{CD}=\left(-2;0;-4\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]=\left(16;6;-8\right)$ .

Phương trình mặt phẳng (P): 16(x + 1) + 6(y – 3) – 8(z – 1) = 0

⇔ 8x + 3y – 4z + 3 = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ pháp tuyến
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng
• Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

---