Xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ.

Xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Tọa độ của điểm trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M.

• Tọa độ của vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}$ tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ hoặc $\overrightarrow{a}\left(x;y;z\right)$.

Nhận xét:

- Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ cũng là tọa độ của điểm M sao cho $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}$.

- Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$. Khi đó, $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ nếu và chỉ nếu $\left\{\begin{array}{l}x=x^{\text{'}}\\ y=y^{\text{'}}\\ z=z^{\text{'}}\end{array}\right.$.

• Tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(x_M; y_M; z_M) và N(x_N; y_N; z_N). Khi đó: $\overrightarrow{MN}=\left(x_N-x_M;y_N-y_M;z_N-z_M\right)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho tọa độ A(4; 5; 3) và vị trí các điểm L; K; H; A₁; A₂; A₃ như hình vẽ bên. Xác định tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{A_{1}A};\overrightarrow{A_{2}A}$.

Hướng dẫn giải:

Từ hình vẽ ta có A₁(4; 5; 0); A₂ (0; 5; 3).

Do đó $\overrightarrow{A_{1}A}=\left(0;0;3\right);\overrightarrow{A_{2}A}=\left(4;0;0\right)$.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1; 3; −2), B(3; −2; 4), D(5; 2; 4), D'(4; 1; 2). Tìm tọa độ đỉnh C'.

Hướng dẫn giải:

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai điểm M(1; −2; 3) và N(3; 4; −5). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{NM}$ là

A. (−2; 6; 8);

B. (2; 6; −8);

C. (−2; 6; −8);

D. (−2; −6; 8).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\overrightarrow{NM}=\left(1-3;-2-4;3+5\right)=\left(-2;-6;8\right)$.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$. Tọa độ của điểm A là

A. (−1; 2; −3);

B. (2; −3; −1);

C. (−3; 2; −1);

D. (2; −1; −3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$ => $\Rightarrow \overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}$ => A(−1; 2; −3).

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A thỏa mãn $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$ và B(2; 1; 4). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$ là

A. (0; −4; 0);

B. (4; −2; 8);

C. (−1; −1; 2);

D. (−2; −2; 4).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có A(2; −3; 4) => $\overrightarrow{BA}=\left(0;-4;0\right)$.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, tọa độ hình chiếu của M(2; 1; 4) lên trục Ox là

A. (2; 0; 0);

B. (0; 1; 0);

C. (0; 0; 4);

D. (0; 1; 4).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tọa độ hình chiếu của M(2; 1; 4) lên trục Ox là (2; 0; 0).

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; −2; 3). Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là

A. (1; 0; 3);

B. (1; 0; 0);

C. (1; −2; 0);

D. (0; −2; 3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là (0; −2; 3).

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình bình hành ABCD và các đỉnh có tọa độ lần lượt là A(3; 1; 2), B(1; 0; 1), C(2; 3; 0). Tọa độ đỉnh D là

A. (1; 1; 0);

B. (0; 2; −1);

C. (4; 4; 1);

D. (1; 3; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình bình hành suy ra $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}_D-3=1\\ y_D-1=3\\ z_D-2=-1\end{array}\right.$ ⇔  $\left\{\begin{array}{l}{x}_D=4\\ y_D=4\\ z_D=1\end{array}\right.$.

Vậy D(4; 4; 1).

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=\left(2x-4\right)\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+\left(y-1\right)\overrightarrow{k}$. Khi điểm M ∈ Oy thì giá trị x + 2y bằng

A. 2;

B. 4;

C. 1;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{OM}=\left(2x-4\right)\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+\left(y-1\right)\overrightarrow{k}$ => M(2x – 4; −4; y – 1).

Vì M ∈ Oy nên $\left\{\begin{array}{l}2x-4=0\\ y-1=0\end{array}\right.$ => $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$. Vậy x + 2y = 4.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{j}-\overrightarrow{i}$. Tọa độ $\overrightarrow{b}$ bằng

A. (−1; 4; 0);

B. (1; 4; 0);

C. (0; −1; 4);

D. (4; −1; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{j}-\overrightarrow{i}$ => $\overrightarrow{b}=\left(-1;4;0\right)$

Bài 9. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; −1), $\overrightarrow{AB}=\left(3;-1;5\right)$. Tọa độ của $\overrightarrow{OB}$ là

A. $\overrightarrow{OB}=\left(-2;4;-6\right)$;

B. $\overrightarrow{OB}=\left(2;-4;6\right)$;

C. $\overrightarrow{OB}=\left(-4;-2;-4\right)$;

D. $\overrightarrow{OB}=\left(4;2;4\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(3;-1;5\right)$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B-x_A=3\\ y_B-y_A=-1\\ z_B-z_A=5\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B-1=3\\ y_B-3=-1\\ z_B+1=5\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B=4\\ y_B=2\\ z_B=4\end{array}\right.$.

Vậy B(4; 2; 4) hay $\overrightarrow{OB}=\left(4;2;4\right)$.

Bài 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có điểm A trùng với gốc tọa độ O, điểm B nằm trên tia Ox, điểm D nằm trên tia Oy, điểm A' nằm trên tia Oz. Biết AB = 2; AD = 4; AA' = 3. Gọi tọa độ của C' là (a; b; c) khi đó biểu thức a + b – c có giá trị là

A. −4;

B. 9;

C. 3;

D. 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Theo giả thiết ta có $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{i};\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{j};\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=3\overrightarrow{k}$.

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$.

Do đó C'(2; 4; 3). Vậy a + b – c = 2 + 4 – 3 = 3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế
• Xác định tọa độ các phép toán vectơ, tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng
• Tích vô hướng và ứng dụng
• Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế
• Xác định khoảng biến thiên và ý nghĩa của khoảng biến thiên trong việc đo mức độ phân tán

---