15 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai lớp 9 (có đáp án)

Với 15 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai lớp 9 có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

15 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai lớp 9 (có đáp án)

1. Phương pháp giải 

Bước 1: Vận dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết làm xuất hiện căn thức cùng loại;

+ Đưa thừa số A² ra ngoài dấu căn: $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B}$ với B ≥ 0;

+ Đưa thừa số vào tròn dấu căn: ;

+ Khử căn ở mẫu: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A.B}{B^2}}=\frac{1}{\left|B\right|}\sqrt{A.B}$ với B ≠ 0, AB ≥ 0;

+ Trục căn thức ở mẫu: $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A.\sqrt{B}}{B}$; $\frac{m}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{m\left(\sqrt{A}\pm \sqrt{B}\right)}{A-B}$.

Bước 2: Cộng, trừ, các căc thức bậc hai cùng loại.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{32}+\sqrt{50}-2\sqrt{8}+\sqrt{18}$;

b) $\sqrt{{\left(1-2\sqrt{3}\right)}^2}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2. Cho biểu thức P = $\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\right)$.

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của P khi x = $\frac{2}{2+\sqrt{3}}$;

c) Tìm x thỏa mãn $P\sqrt{x}=6\sqrt{x}-3-\sqrt{x-4}$.

Hướng dẫn giải:

a) Rút gọn biểu thức

b) Ta có: x = $\frac{2}{2+\sqrt{3}}$ = $\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$ = $4-2\sqrt{3}$

Thay x = $4-2\sqrt{3}$ vào biểu thức P, ta được:

P = .

Giá trị của P khi x = $\frac{2}{2+\sqrt{3}}$ là $\frac{3}{\sqrt{3}-1}$.

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức là?

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 2: Giá trị của biểu thức

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 3: Rút gọn biểu thức với a > 0 ta được

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 4: Giá trị của biểu thức

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 5: Rút gọn biểu thức với a > 0 ta được

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 6: Rút gọn biểu thức :

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 7: Rút gọn biểu thức

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 8: Rút gọn biểu thức: (với a ≥ 0;a ≠ 1)

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 9: Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 1

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 10: Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 1

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 11: Giá trị biểu thức là:

A. 6            

B. 4            

C. 2            

D. 3

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 12: Rút gọn biểu thức với a > 0 ta được:

Lời giải:

Với a > 0, ta có

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13: Rút gọn biểu thức ta được:

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14: Đẳng thức nào dưới đây là đúng:

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15: Với a, b > 0, đẳng thức nào dưới đây là đúng?

Lời giải:

Ta có:

Đáp án cần chọn là: A

4. Bài tập tự luyện

Bài 1. Thực hiện rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\mathrm{4,5}}+\sqrt{\mathrm{12,5}}$;

b) $\sqrt{96}-6\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{3}{3+\sqrt{6}}-\sqrt{10-4\sqrt{6}}$.

Hướng dẫn giải:

Bài 2. Rút gọn biểu thức:

a) $2\sqrt{\frac{27}{4}}-\sqrt{\frac{48}{9}}-\frac{2}{5}\sqrt{\frac{75}{16}}$;

b) $\left(\sqrt{99}-\sqrt{18}-\sqrt{11}\right).\sqrt{11}+3\sqrt{22}$;

c) $\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{8-2\sqrt{15}}$;

d) $\left(\sqrt{48}-2\sqrt{3}+2\sqrt{4}\right).\sqrt{5}-2\sqrt{45}:\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải:

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\left(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\frac{\sqrt{216}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{-3}{2}$;

b) $\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right){\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)}^2$ = 1 với a ≥ 0, a ≠ 1.

Hướng dẫn giải:

Bài 4. Với a > 0, các biểu thức sau được rút gọn:

a) $5\sqrt{a}+6\sqrt{\frac{a}{4}}-a\sqrt{\frac{4}{a}}+\sqrt{5}$;

b) $2\sqrt{a}-\sqrt{9a^3}+a^2\sqrt{\frac{a}{4}}+\frac{2}{a^2}\sqrt{25a^5}$.

Hướng dẫn giải:

a) $5\sqrt{a}+6\sqrt{\frac{a}{4}}-a\sqrt{\frac{4}{a}}+\sqrt{5}$

= $5\sqrt{a}+3\sqrt{a}-2\sqrt{a}+\sqrt{5}$

= $6\sqrt{a}+\sqrt{5}$;

b) $2\sqrt{a}-\sqrt{9a^3}+a^2\sqrt{\frac{4}{a}}+\frac{2}{a^2}\sqrt{25a^5}$

= $2\sqrt{a}-3a\sqrt{a}+a^2\frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{2}{a^2}.5a^2\sqrt{a}$

= $2\sqrt{a}-3a\sqrt{a}+2a\sqrt{a}+10\sqrt{a}$

= $12\sqrt{a}-a\sqrt{a}$.

Bài 5. Cho biểu thức N = $\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$

a) Rút gọn biểu thức N;

b) Tính giá trị của N khi x = $11-6\sqrt{2}$;

c) Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên.

Hướng dẫn giải:

a) Rút gọn biểu thức N:

b) Ta có: $x=11-6\sqrt{2}={\left(3-\sqrt{2}\right)}^2$ => $\sqrt{x}=\sqrt{{\left(3-\sqrt{2}\right)}^2}=3-\sqrt{2}$

Thay $\sqrt{x}=3-\sqrt{2}$ vào biểu thức N, ta được:

N = $\frac{3-\sqrt{2}+1}{3-\sqrt{2}-3}=\frac{4-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}$ = $\frac{-\sqrt{2}\left(-2\sqrt{2}+1\right)}{-\sqrt{2}}$ = $-2\sqrt{2}+1$

Giá trị của N khi x = $11-6\sqrt{2}$ là $-2\sqrt{2}+1$.

c) N = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}$ = $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}+\frac{4}{\sqrt{x}-3}$ = $1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}$

Để N nguyên khi $1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\in \mathbb{Z}$ => $\frac{4}{\sqrt{x}-3}\in \mathbb{Z}$

Suy ra $\sqrt{x}-3$ ∈ Ư(4) = {–1; –2; –4; 1; 2; 4}.

$\sqrt{x}-3$	– 1	– 2	– 4	1	2	4
$\sqrt{x}$	2	1	– 1	4	5	7
x	4	1	Loại	16	25	49
	(TM)	(TM)		(TM)	(TM)	(TM)

Vậy x ∈ {1; 4; 16; 25; 49} để N nguyên

Bài 6. Nối cột A với cột B

Bài 7. Với $a\ge \mathrm{0,}b\ge 0$ hãy rút gọn biểu thức A = $5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^3}+5a\sqrt{16a{b}^2}-\sqrt{9a}$.

Bài 8. Các đẳng thức dưới đây được chứng minh đúng hay sai?

Đẳng thức	Đúng/ Sai
$\frac{a+b}{b^2}\sqrt{\frac{a^2{b}^4}{a^2+2ab+b^2}}=\left|a\right|$ với a + b < 0, b ≠ 0
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}$ - $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$ - $\frac{2b}{b-a}$ = $\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ với a ≠ b; a, b ≥ 0

Bài 9. Với a > 0, cho hai biểu thức A = $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ và B = $\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$.

a) Tính giá trị của A khi x = 4;

b) Tìm các giá trị thực của x để B = $\frac{1}{3}$;

c) So sánh B với 1;

d) Đặt P = A : B. Tìm x thỏa mãn $P\sqrt{x}+\left(2\sqrt{5}-1\right).\sqrt{x}$ = $3x-3\sqrt{x-4}+3$.

Bài 10. Cho biểu thức:

P = $\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-x+\sqrt{x}-1}\right)$ : $\left(\frac{x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x+1}\right)$ với x ≥ 0, x ≠ 1

a) Rút gọn P;

b) Tìm x để P < $\frac{1}{2}$;

c) Tìm x nguyên để P nguyên;

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Xem thêm lý thuyết và các dạng bài tập Toán lớp 9 có lời giải hay khác:

• Lý thuyết Bài 9: Căn bậc ba (hay, chi tiết)
• Trắc nghiệm Bài 9 (có đáp án): Căn bậc ba
• Tổng hợp Lý thuyết Chương 1 Đại Số 9 (hay, chi tiết)
• Tổng hợp Trắc nghiệm Chương 1 Đại Số 9 (có đáp án)
• Lý thuyết Bài 1: Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số (hay, chi tiết)
• Trắc nghiệm Bài 1 (có đáp án): Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---