Bất phương trình bậc nhất biến đổi đặc biệt lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Bất phương trình bậc nhất biến đổi đặc biệt lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bất phương trình bậc nhất biến đổi đặc biệt.

Bất phương trình bậc nhất biến đổi đặc biệt lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Bất phương trình dạng đặc biệt: $\frac{x+a}{b}+\frac{x+c}{d}<\frac{x+e}{f}+\frac{x+g}{h}$.

• Phương pháp giải:

- Nếu a + b = c + d = e + f = g + h = k. Ta cộng mỗi phân thức thêm 1.

- Nếu a – b = c – d = e – f = g – h = k. Ta cộng mỗi phân thức thêm −1.

- Sau khi quy đồng từng phân thức, chuyến vế nhóm nhân tử chung đưa về dạng (x – k) $\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}-\frac{1}{f}-\frac{1}{h}\right)$< 0.

Chú ý:

- Cần xét thêm $\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}-\frac{1}{f}-\frac{1}{h}\right)$ là số âm hay dương để đưa ra và đánh giá về dấu của (x – k).

- Có thể mở rộng số phân thức nhiều hơn và tùy bài toán ta sẽ cộng hoặc trừ đi hằng số thích hợp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải bất phương trình sau: $\frac{x+2}{6}+\frac{x+5}{3}>\frac{x+3}{5}+\frac{x+6}{2}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{x+2}{6}+\frac{x+5}{3}>\frac{x+3}{5}+\frac{x+6}{2}$

Suy ra $\frac{x+2}{6}+1+\frac{x+5}{3}+1>\frac{x+3}{5}+1+\frac{x+6}{2}+1$

$\frac{x+8}{6}+\frac{x+8}{3}>\frac{x+8}{5}+\frac{x+8}{2}$

$\frac{x+8}{6}+\frac{x+8}{3}-\frac{x+8}{5}-\frac{x+8}{2}>0$

(x + 8)$\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}\right)$ > 0

Nhận thấy $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{5}<0$.

Do đó để thỏa mãn bất phương trình thì x + 8  < 0 hay x < −8.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < −8.

Ví dụ 2. Giải bất phương trình sau: $\frac{x-2}{1007}+\frac{x-1}{1008}<\frac{2x-1}{2017}+\frac{2x-3}{2015}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

Ta có: $\frac{x-2}{1007}+\frac{x-1}{1008}<\frac{2x-1}{2017}+\frac{2x-3}{2015}$

$\frac{x-2}{1007}-1+\frac{x-1}{1008}-1<\frac{2x-1}{2017}-1+\frac{2x-3}{2015}-1$

$\frac{x-1009}{1007}+\frac{x-1009}{1008}<\frac{2x-2018}{2017}+\frac{2x-2018}{2015}$

$\frac{x-1009}{1007}+\frac{x-1009}{1008}-\frac{2x-2018}{2017}-\frac{2x-2018}{2015}<0$

(x – 1009) $\left(\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}-\frac{2}{2017}-\frac{2}{2018}\right)$ < 0.

Nhận thấy $\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}-\frac{2}{2017}-\frac{2}{2018}$ > 0 .

Nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 1009 < 0 hay x < 1009.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 1009.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho bất phương trình $\frac{x+1}{35}+\frac{x+3}{33}\ge \frac{x+5}{31}+\frac{x+7}{29}$. Biết rằng nghiệm của bất phương trình là x ≤ a. Giá trị của a là

A. 36.

B. −36.

C. 35.

D. 34.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{x+1}{35}+\frac{x+3}{33}\ge \frac{x+5}{31}+\frac{x+7}{29}$

Suy ra $\frac{x+1}{35}+1+\frac{x+3}{33}+1\ge \frac{x+5}{31}+1+\frac{x+7}{29}+1$

$\frac{x+36}{35}+\frac{x+36}{33}\ge \frac{x+36}{31}+\frac{x+36}{29}$

$\frac{x+36}{35}+\frac{x+36}{33}-\frac{x+36}{31}-\frac{x+36}{29}\ge 0$

(x + 36)$\left(\frac{1}{35}+\frac{1}{33}-\frac{1}{31}-\frac{1}{29}\right)$  ≥ 0.

Nhận thấy $\frac{1}{35}+\frac{1}{33}-\frac{1}{31}-\frac{1}{29}$ < 0.

Nên x + 36 ≤ 0 hay x ≤ −36.

Suy ra nghiệm của bất phương trình là x ≤ −36.

Vậy a = −36.

Bài 2. Cho bất phương trình $\frac{x+6}{1999}+\frac{x+8}{1997}\ge \frac{x+10}{1995}+\frac{x+12}{1993}$. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình trên là

A. −2005.

B. 2005.

C. 0.

D. −2004.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{x+6}{1999}+\frac{x+8}{1997}\ge \frac{x+10}{1995}+\frac{x+12}{1993}$

Suy ra $\frac{x+6}{1999}+1+\frac{x+8}{1997}+1\ge \frac{x+10}{1995}+1+\frac{x+12}{1993}+1$

$\frac{x+2005}{1999}+\frac{x+2005}{1997}\ge \frac{x+2005}{1995}+\frac{x+2005}{1993}$

$\frac{x+2005}{1999}+\frac{x+2005}{1997}-\frac{x+2005}{1995}-\frac{x+2005}{1993}\ge 0$

(x + 2005)$\left(\frac{1}{1999}+\frac{1}{1997}-\frac{1}{1995}-\frac{1}{1993}\right)$  ≥ 0

Nhận thấy $\frac{1}{1999}+\frac{1}{1997}-\frac{1}{1995}-\frac{1}{1993}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x + 2005 ≤ 0 hay x ≤ −2005.

Do đó, nghiệm nguyên của bất phương trình là x ≤ −2005.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là −2005.

Bài 3. Bất phương trình $\frac{x-10}{1994}+\frac{x-8}{1996}+\frac{x-6}{1998}>\frac{x-1998}{6}+\frac{x-1996}{8}+\frac{x-1994}{10}$ có nghiệm là x < a. Tính giá trị biểu thức T = a – 904.

A. 2004.

B. 2003.

C. 2002.

D. 2001.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{x-10}{1994}+\frac{x-8}{1996}+\frac{x-6}{1998}>\frac{x-1998}{6}+\frac{x-1996}{8}+\frac{x-1994}{10}$

Có $\frac{x-10}{1994}-1+\frac{x-8}{1996}-1+\frac{x-6}{1998}-1>\frac{x-1998}{6}-1+\frac{x-1996}{8}-1+\frac{x-1994}{10}-1$

$\frac{x-2004}{1994}+\frac{x-2004}{1996}+\frac{x-2004}{1998}>\frac{x-2004}{6}+\frac{x-2004}{8}+\frac{x-2004}{10}$

$\frac{x-2004}{1994}+\frac{x-2004}{1996}+\frac{x-2004}{1998}-\frac{x-2004}{6}-\frac{x-2004}{8}-\frac{x-2004}{10}>0$

(x – 2004)$\left(\frac{1}{1994}+\frac{1}{1996}+\frac{1}{1998}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}-\frac{1}{10}\right)>0$

Nhận thấy $\frac{1}{1994}+\frac{1}{1996}+\frac{1}{1998}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}-\frac{1}{10}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 2004 < 0 hay x < 2004.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 2004.

Vậy a = 2004.

Do đó, giá trị biểu thức T = a – 902 = 2004 – 904 = 1100.

Bài 4. Cho bất phương trình $\frac{x-1009}{1001}+\frac{x-4}{1003}+\frac{x+2010}{1005}\ge 7$. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là

A. 2010.

B. 2011.

C. 2009.

D. 2012.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{x-1009}{1001}+\frac{x-4}{1003}+\frac{x+2010}{1005}\ge 7$

$\frac{x-1009}{1001}-1+\frac{x-4}{1003}-2+\frac{x+2010}{1005}-4\ge 7-1-2-4$

$\frac{x-1009-1001}{1001}+\frac{x-4-2.1003}{1003}+\frac{x+2010-4.1005}{1005}\ge 0$

$\frac{x-2010}{1001}+\frac{x-2010}{1003}+\frac{x-2010}{1005}\ge 0$

(x – 2010)$\left(\frac{1}{1001}+\frac{1}{1003}+\frac{1}{1005}\right)$  ≥ 0

Nhận thấy $\frac{1}{1001}+\frac{1}{1003}+\frac{1}{1005}$ > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì

 x – 2010 ≥ 0 hay x ≥ 2010.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≥ 2010.

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 2010.

Bài 5. Cho bất phương trình $\frac{x-85}{15}+\frac{x-74}{13}+\frac{x-67}{11}\le 6$. Biết rằng bất phương trình có dạng x ≤ a. Hỏi căn bậc hai số học của a là?

A. 100.

B. 10.

C. −10.

D.10 và −10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{x-85}{15}+\frac{x-74}{13}+\frac{x-67}{11}\le 6$

Suy ra $\frac{x-85}{15}-1+\frac{x-74}{13}-2+\frac{x-67}{11}-2\le 6-1-2-3$

$\frac{x-100}{15}+\frac{x-100}{13}+\frac{x-100}{11}\le 0$

(x – 100)$\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{13}+\frac{1}{11}\right)\le 0$

Nhận thấy  $\frac{1}{15}+\frac{1}{13}+\frac{1}{11}$> 0 nên để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì x – 100 ≤ 0 hay x ≤ 100.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≤ 100.

Suy ra a = 100 và có $\sqrt{100}=10$.

Vậy căn bậc hai số học của a là 10.

Bài 6. Bất phương trình $\frac{x-1}{13}-\frac{2x-13}{15}<\frac{3x-15}{27}-\frac{4x-27}{29}$ có nghiệm là x > a. Bình phương của a là

A. 14.

B. 169.

C. 196.

D. 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{x-1}{13}-\frac{2x-13}{15}<\frac{3x-15}{27}-\frac{4x-27}{29}$

Suy ra $\frac{x-1}{13}-1-\frac{2x-13}{15}-1<\frac{3x-15}{27}-1-\frac{4x-27}{29}-1$

$\frac{x-14}{13}-\frac{2x-28}{15}<\frac{3x-42}{27}-\frac{4x-56}{29}$

$\frac{x-14}{13}-\frac{2x-28}{15}-\frac{3x-42}{27}+\frac{4x-56}{29}<0$

$\frac{x-14}{13}-\frac{2\left(x-14\right)}{15}-\frac{3\left(x-14\right)}{27}+\frac{4\left(x-14\right)}{29}<0$

(x – 14)$\left(\frac{1}{13}-\frac{2}{15}-\frac{3}{27}+\frac{4}{29}\right)$ < 0.

Nhận thấy $\frac{1}{13}-\frac{2}{15}-\frac{3}{27}+\frac{4}{29}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 14 > 0 hay x > 14.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x > 14.

Suy ra a = 14 nên a² = 14² = 196.

Bài 7. Bất phương trình $\frac{x-3}{2011}+\frac{x-2}{2012}\le \frac{x-2012}{2}+\frac{x-2011}{3}$ có nghiệm là

A. x > 2014.

B. x < 2014.

C. x ≥ 2014.

D. x ≤ 2014.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{x-3}{2011}+\frac{x-2}{2012}\le \frac{x-2012}{2}+\frac{x-2011}{3}$

Suy ra $\frac{x-3}{2011}-1+\frac{x-2}{2012}-1\le \frac{x-2012}{2}-1+\frac{x-2011}{3}-1$

$\frac{x-2014}{2011}+\frac{x-2014}{2012}\le \frac{x-2014}{2}+\frac{x-2014}{3}$

$\frac{x-2014}{2011}+\frac{x-2014}{2012}-\frac{x-2014}{2}-\frac{x-2014}{3}\le 0$

(x – 2014)$\left(\frac{1}{2011}+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\le 0$

Nhận thấy $\frac{1}{2011}+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì

x – 2014 ≥ 0 và x ≥ 2014.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≥ 2014.

Bài 8. Bất phương trình $\frac{1909-x}{91}+\frac{1907-x}{93}+\frac{1905-x}{95}+\frac{1903-x}{97}>-4$ có

nghiệm là x < a. Hỏi nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là bao nhiêu?

A. 2000.

B. 1999.

C. 1998.

D. 2001.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{1909-x}{91}+\frac{1907-x}{93}+\frac{1905-x}{95}+\frac{1903-x}{97}>-4$

Nên $\frac{1909-x}{91}+\frac{1907-x}{93}+\frac{1905-x}{95}+\frac{1903-x}{97}+4>0$

Ta có: $\frac{1909-x}{91}+1+\frac{1907-x}{93}+1+\frac{1905-x}{95}+1+\frac{1903-x}{97}+1>0$

$\frac{2000-x}{91}+\frac{2000-x}{93}+\frac{2000-x}{95}+\frac{2000-x}{97}>0$

(2000 – x)$\left(\frac{1}{91}+\frac{1}{93}+\frac{1}{95}+\frac{1}{97}\right)>0$

Nhận thấy $\frac{1}{91}+\frac{1}{93}+\frac{1}{95}+\frac{1}{97}$ > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì

2000 – x > 0 hay x < 2000.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 2000.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1999.

Bài 9. Cho bất phương trình $\frac{21-x}{1978}-\frac{x-1978}{21}+\frac{19-x}{1980}-\frac{x-1980}{19}\ge 0$. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là

A. 1999.

B. 1998.

C. 1997.

D. 2000.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{21-x}{1978}-\frac{x-1978}{21}+\frac{19-x}{1980}-\frac{x-1980}{19}\ge 0$

Suy ra $\frac{21-x}{1978}+1-\frac{x-1978}{21}-1+\frac{19-x}{1980}+1-\frac{x-1980}{19}-1\ge 0$

$\frac{1999-x}{1978}-\frac{x-1999}{21}+\frac{1999-x}{1980}-\frac{x-1999}{19}\ge 0$

(x – 1999) $\left(-\frac{1}{1978}-\frac{1}{21}-\frac{1}{1980}-\frac{1}{19}\right)$ ≥ 0.

Nhận thấy $-\frac{1}{1978}-\frac{1}{21}-\frac{1}{1980}-\frac{1}{19}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 1999 ≤ 0 hay x ≤ 1999.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≤ 1999.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1999.

Bài 10. Cho bất phương trình:

$\frac{x-1995}{5}-\frac{x-5}{1995}+\frac{x-1997}{3}-\frac{x-3}{1997}+\frac{x-1999}{1}-\frac{x-1}{1999}<0$.

Nghiệm của bất phương trình trên là:

A. x < 2000.

B. x > 2000.

C. x ≤ 2000.

D. x ≥ 2000.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{x-1995}{5}-\frac{x-5}{1995}+\frac{x-1997}{3}-\frac{x-3}{1997}+\frac{x-1999}{1}-\frac{x-1}{1999}<0$

Suy ra $\frac{x-1995}{5}+\frac{5-x}{1995}+\frac{x-1997}{3}+\frac{3-x}{1997}+\frac{x-1999}{1}+\frac{1-x}{1999}<0$

$\frac{x-1995}{5}-1+\frac{5-x}{1995}+1+\frac{x-1997}{3}-1+\frac{3-x}{1997}+1+\frac{x-1999}{1}-1+\frac{1-x}{1999}+1<0$

$\frac{x-2000}{5}+\frac{2000-x}{1995}+\frac{x-2000}{3}+\frac{2000-x}{1997}+\frac{x-2000}{1}+\frac{2000-x}{1999}<0$

$\frac{x-2000}{5}-\frac{x-2000}{1995}+\frac{x-2000}{3}-\frac{x-2000}{1997}+\frac{x-2000}{1}-\frac{x-2000}{1999}<0$

(x – 2000)$\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{1995}+\frac{1}{3}-\frac{1}{1997}+\frac{1}{1}-\frac{1}{1999}\right)<0$

Nhận thấy $\frac{1}{5}-\frac{1}{1995}+\frac{1}{3}-\frac{1}{1997}+\frac{1}{1}-\frac{1}{1999}$ > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì a – 2000 < 0 hay x < 2000.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2000.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Chứng minh bất đẳng thức
• Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức
• Nhận biết bất phương trình bậc nhất một ẩn
• Giải bất phương trình bậc nhất cơ bản
• Một số bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---