Cách chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9 (cực hay)
Bài viết Cách chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Cách chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9 (cực hay)
A. Phương pháp giải
1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức. Tính các đoạn thẳng đó nhờ các hệ thức về cạnh và đường cao.
2. Liên kết các giá trị trên và rút ra hệ thức phải chứng minh.
Cho ΔABC, = 900, AH ⊥ BC, BC = a, AB = c, AC = b, AH = h thì:
+) BH = c’ được gọi là hình chiếu của AB trên cạnh huyền BC
+) CH = b’ được gọi là hình chiếu của AC trên cạnh huyền BC
Khi đó ta có các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông:
1) b2 = ab'; c2 = ac'
2) h2 = b'c'
3) ha = bc
4)
5) a2 = b2 + c2( Định lý Pytago)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng:
BH2 + CH2 = AB2 + AC2 - 2AH2
Bài giải:
+) Áp dụng hệ thức lượng cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH ta có:
AH2 = BH.CH (1)
+) Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác ABC có:
AB2 + AC2 = BC2
⇔ AB2 + AC2 = (BH + CH)2
⇔ AB2 + AC2 = BH2 + CH2 + 2.BH.CH (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
⇔ AB2 + AC2 = BH2 + CH2 + 2AH2
⇔ BH2 + CH2 = AB2 + AC2 - 2AH2
Vậy BH2 + CH2 = AB2 + AC2 - 2AH2
Ví dụ 2: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Hãy chứng minh
3AH2 + BD2 + CE2 = BC2
Bài giải:
+) Xét ΔBHD vuông tại D, áp dụng định lý Py – ta – go ta có: BD2 = BH2 - DH2
+) Xét ΔCHE vuông tại E, áp dụng định lý Py – ta – go ta có: CE2 = CH2 - EH2
+) Xét ΔABC vuông tại A, áp dụng định lý Py – ta – go ta có: BC2 = AB2 + AC2
+) Xét ΔAHE vuông tại E, áp dụng định lý Py – ta – go ta có: AH2 = AE2 + EH2
Ta có:
3AH2 + BD2 + CE2 = BC2
⇔ 3AH2 + (BH2 - DH2) + (CH2 - EH2) = AB2 + AC2 ( Định lý Py – ta – go cho ba tam giác vuông ΔBHD, ΔCHE và ΔABC )
⇔ 3AH2 + BH2 + CH2 - (EH2 + DH2) = AB2 + AC2 (*)
+) Xét tứ giác ADHE có:
= 900 (gt)
⇒ Tứ giác ADHE là hình chữ nhật ⇒ DH = AE
Thay DH = AE vào (*) ta có:
(*) ⇔ 3AH2 + BH2 + CH2 - (EH2 + AE2) = AB2 + AC2
⇔ 3AH2 + BH2 + CH2 - AH2 = AB2 + AC2 (do AH2 = AE2 + EH2)
⇔ BH + CH + 2AH = AB + AC (luôn đúng theo ví dụ 1)
Vậy 3AH2 + BD2 + CE2 = BC2.
Ví dụ 3: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Chứng minh rằng:
a) AM.AB = AN. AC
b) HB.HC = MA.MB + NA.NC
Bài giải:
a) Xét ΔABH có: AH ⊥ BC ⇒ = 900
⇒ ΔABH vuông tại H
Mà HM AB ⇒ AM.AB = AH2 ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Chứng minh tương tự: AN.AC = AH2
Vậy suy ra AH2 = AM.AB = AN.AC (đpcm)
b)
+) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC (gt)⇒ AH2 = BH.CH( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Chứng minh tương tự:
Xét tam giác vuông ABH ta có: MH2 = BM.AM
Xét tam giác vuông ACH có: NH2 = AN.CN
+) Xét tứ giác AMHN có:
= 900 (gt)
⇒ Tứ giác AMHN là hình chữ nhật ⇒ NH = AM
+) Xét tam giác vuông AMH có:
AH2 = AM2 + MH2 ( Định lý Py – ta – go)
⇔ AH2 = MH2 + NH2 ( do AM = NH – cmt)
⇔ BH.CH = BM.AM + AN.Cn (đpcm)
Vậy HB.HC = MA.MB + NA.NC.
Ví dụ 4: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Hãy chứng minh:
a)
b) AH3 = BC.BD.CE
Bài giải:
a) Áp dụng hệ thức lượng cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH ta có:
b)
+) Xét ΔABH có: AH ⊥ BC ⇒ = 900
⇒ ΔABH vuông tại H
Mà HD ⊥ AB ⇒ BH2 = BD.AB ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Chứng minh tương tự ta có: CH2 = EC.AC
+) Xét tam giác ABC có:
AH2 = BH.CH ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇔ AH4 = BH2.CH2
⇒ AH4 = BD.AB.AC.EC
⇔ AH4 = BD.CE.(AB.AC)
Mặt khác AB.AC = AH.BC ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇔ AH4 = BD.CE.AH.BC
Do AH > 0 nên chia cả hai vế cho AH ta được:
⇔ AH3 = BD.CE.BC (đpcm)
Vậy AH3 = BC.BD.CE.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E. Chứng minh: CD2 + BE2 = CB2 + DE2
Bài giải:
Áp dụng định lý Py – ta – go cho các tam giác ΔABC, ΔABE có:
(1)
Mặt khác áp dụng định lý Py – ta – go cho ΔABC và ΔADE có:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: CD2 + BE2 = CB2 + DE2 - đpcm
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cân tại A, ba đường cao AD, BE, CF. Đường thẳng qua B và song song với CF cắt đường thẳng AC tại H. Chứng minh rằng:
a) AC là trung bình nhân của AE và AH
b)
Bài giải:
a) Ta có
Xét ΔABH vuông tại B có BE là đường cao nên AB2 = AH.AE
Mà ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC do đó AC2 = AB2 = AH.AE
Vậy AC2 = AH.AE.
b)
+) Xét ΔABC cân tại A có AD là đường cao
⇒ AD cũng đồng thời là đường trung tuyến ⇒ BD = CD = BC
Từ D dựng DK ⊥ AB (K ∈ AB)
Mà CF ⊥ AB (gt) ⇒ KD // CF
+) Xét ΔBFC có:
DK là đường trung bình của ΔBFC ⇒ KD = CF
+) Xét ΔABD vuông tại D có: KD ⊥ AB (gt)
(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mặt khác nên ta được:
Ví dụ 7: Cho góc xOy và tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Từ điểm A trên tia Oz vẽ AH ⊥ Ox, AK ⊥ Oy. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H và K trên Oz, gọi B là giao điểm của HK và Oz. Chứng minh rằng:
Bài giải:
+) Xét ΔOHA vuông tại H có HE ⊥ OA (gt)
⇒ HE2 = EA.EO( Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
+) Xét ΔOKA vuông tại H có KF ⊥ OA (gt)
⇒ KF2 = FA.FO ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H lên CD, CE. Chứng minh:
a) CD.CM = CE.CN;
b) ∆CMN ∼ ∆CED.
Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B . Tia DI và tia CB cắt nhau ở K . Kẻ đường thẳng qua D , vuông góc với DI, cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh:
a) Tam giác DIL là tam giác cân;
b) Tổng không đổi khi I thay đổi trên AB.
Bài 3. Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết khoảng cách từ O tới mỗi cạnh hình thoi là h, AC = m, BD = n. Chứng minh: .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB, AC. Chứng minh
a) b) ;
c) MN3 = BM.CN.BC; d) .
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CK.
a) Biết AB = 10cm, AC = 8cm. Hãy tính BC, CK, BK, AK;
b) Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của K lên BC và AC. Chứng minh BC.CH = AC.IC.
c) Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ K xuống IH. Chứng minh
d) Chứng minh .
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:
- Công thức, cách tính tỉ số lượng giác của góc nhọn cực hay
- Dụng góc nhọn alpha khi biết tỉ số lượng giác sin, cos, tan của góc đó
- Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay
- Cho biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn a tính các tỉ số lượng giác còn lại của a
- Cách tính giá trị biểu thức lượng giác (không dùng máy tính) cực hay
Tủ sách VIETJACK shopee luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 9 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
- Lớp 9 Kết nối tri thức
- Soạn văn 9 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 9 (ngắn nhất) - KNTT
- Giải sgk Toán 9 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 9 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 9 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - KNTT
- Giải sgk Tin học 9 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 9 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 9 - KNTT
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - KNTT
- Lớp 9 Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 9 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 9 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 9 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 9 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 9 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - CTST
- Giải sgk Tin học 9 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 9 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 9 - CTST
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - CTST
- Lớp 9 Cánh diều
- Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều