Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay

Tải xuống

A. Phương pháp giải

1. Cho góc nhọn α, từ một điểm bất kì trên một cạnh của góc α, kẻ đường vuông góc với cạnh kia.

Công thức, cách tính tỉ số lượng giác của góc nhọn cực hay - Toán lớp 9

Khi đó:

Công thức, cách tính tỉ số lượng giác của góc nhọn cực hay - Toán lớp 9

2. Nếu hai góc phụ nhau (có tổng số đo bằng 900) thì: sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia

• Tính tỉ số lượng giác theo định nghĩa.

• Nhân hay chia theo vế các tỉ số lượng giác.

• Áp dụng hệ thức Py-ta-go.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9.

Hướng dẫn giải:

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Xét ΔABC vuông tại A có:

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9 = α ( với 0o < α < 900 ). Chứng minh các hệ thức lượng giác sau:

a) tanα . cotα = 1

b) sin2α + cos2α = 1

c) 1 + tan2α = Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

d) 1 + cot2α = Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Hướng dẫn giải:

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Xét ΔABC vuông tại A có:

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Ví dụ 3: Cho α là một góc nhọn bất kì.

a) Chứng minh rằng Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

b) Hãy tính giá trị của biểu thức M = Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9 với tanα = Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Vậy M = -4 .

Ví dụ 4: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào số đo của góc nhọn α:

a) A = cos4α + 2cos2αsin2α + sin4α

b) B = sin4α + cos2α.sin2α + cos2α

c) C = Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9 - 2tan2α

Hướng dẫn giải:

a) A = cos4α + 2cos2αsin2α + sin4α

= (cos2α)2 + 2cos2αsin2α + (sin2α)2

= (cos2α + sin2α)2 (do sin2α + cos2α = 1)

= 1

b) B = sin4α + cos2α.sin2α + cos2α

= (sin4α + cos2α . sin2α) + cos2α

= sin2α . (sin2α + cos2α) + cos2α (do sin2α + cos2α = 1)

sin2α . 1 + cos2α = 1

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Ví dụ 5: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4x - cos4x = sin2x - cos2x

b) sin4x + sin2x.cos2x + sin2x = 2sin2x

c) (1 + tanx)(1 + cotx) - 2 = Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Hướng dẫn giải:

a) sin4x - cos4x = sin2x - cos2x

⇔ (sin2x - cos2x)(sin2x - cos2x) = sin2x - cos2x

⇔ (sin2x - cos2x).1 - (sin2x - cos2x) = 0 (do sin2x + cos2x = 1)

⇔ 0 = 0 luôn đúng

b) sin4x + sin2x.cos2x + sin2x = 2sin2x

⇔ sin2x.(sin2x + cos2x + 1) = 2sin2x

⇔ sin2x.(1 + 1) = 2sin2x (do sin2x + cos2x = 1)

⇔ 2sin2x = 2sin2x (luôn đúng)

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Ví dụ 6: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào số đo của góc nhọn α

a) cos2α.cosβ2 + cos2α.sinβ2 + sin2α

b) 2(sinα - cosα)2 - (sinα + cosα)2 + 6sinα.cosα

c) (tanα - cotα)2 - (tanα + cotα)2

Hướng dẫn giải:

a) cos2α.cosβ2 + cos2α.sinβ2 + sin2α

= cos2α.(cosβ2 + sinβ2) + sin2α (do sin2β + cos2β = 1)

= cos2α.1 + sin2α (do sin2α + cos2α = 1)

= 1

b) 2(sinα - cosα)2 - (sinα + cosα)2 + 6sinα.cosα

= 2(sin2α - 2sinα.cosα + cos2α) - (sin2α + 2sinα.cosα + cos2α) + 6sinα.cosα

= 2sin2α - 4sinα.cosα + 2cos2α - sin2α - 2sinα.cosα + 6sinα.cosα

= (2sin2α - sin2α) + (2cos2α - cos2α) + (-4sinα.cosα - 2sinα.cosα + 6sinα.cosα)

= sin2α + cos2α (do sin2α + cos2α = 1)

= 1.

c) (tanα - cotα)2 - (tanα + cotα)2

= [(tanα - cotα) + (tanα + cotα)] . [(tanα - cotα) - (tanα - cotα)]

= (tanα - cotα + tanα + cotα)(tanα - cotα - tanα - cotα)

= 2tanα.(-2cotα)

= -4tanα.cotα ( do tanα.cotα = 1 )

= -4.1 = -4

Ví dụ 7: Chứng minh định lý sin: Trong tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các góc đối diện: Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Hướng dẫn giải:

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay - Toán lớp 9

Tải xuống

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-1-he-thuc-luong-trong-tam-giac-vuong.jsp

Nhóm học tập 2k7