Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông lớp 9 (cực hay)

Bài viết Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông lớp 9 (cực hay)

A. Phương pháp giải

1. Cho góc nhọn α, từ một điểm bất kì trên một cạnh của góc α, kẻ đường vuông góc với cạnh kia.

Khi đó:

2. Nếu hai góc phụ nhau (có tổng số đo bằng 90⁰) thì: sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia

• Tính tỉ số lượng giác theo định nghĩa.

• Nhân hay chia theo vế các tỉ số lượng giác.

• Áp dụng hệ thức Py-ta-go.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng .

Hướng dẫn giải:

Xét ΔABC vuông tại A có:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có = α ( với 0^o < α < 90⁰ ). Chứng minh các hệ thức lượng giác sau:

a) tanα . cotα = 1

b) sin²α + cos²α = 1

c) 1 + tan²α =

d) 1 + cot²α =

Hướng dẫn giải:

Xét ΔABC vuông tại A có:

Ví dụ 3: Cho α là một góc nhọn bất kì.

a) Chứng minh rằng

b) Hãy tính giá trị của biểu thức M = với tanα =

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Vậy M = -4 .

Ví dụ 4: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào số đo của góc nhọn α:

a) A = cos⁴α + 2cos²αsin²α + sin⁴α

b) B = sin⁴α + cos²α.sin²α + cos²α

c) C = - 2tan²α

Hướng dẫn giải:

a) A = cos⁴α + 2cos²αsin²α + sin⁴α

= (cos²α)² + 2cos²αsin²α + (sin²α)²

= (cos²α + sin²α)² (do sin²α + cos²α = 1)

= 1

b) B = sin⁴α + cos²α.sin²α + cos²α

= (sin⁴α + cos²α . sin²α) + cos²α

= sin²α . (sin²α + cos²α) + cos²α (do sin²α + cos²α = 1)

sin²α . 1 + cos²α = 1

Ví dụ 5: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin⁴x - cos⁴x = sin²x - cos²x

b) sin⁴x + sin²x.cos²x + sin²x = 2sin²x

c) (1 + tanx)(1 + cotx) - 2 =

Hướng dẫn giải:

a) sin⁴x - cos⁴x = sin²x - cos²x

⇔ (sin²x - cos²x)(sin²x - cos²x) = sin²x - cos²x

⇔ (sin²x - cos²x).1 - (sin²x - cos²x) = 0 (do sin²x + cos²x = 1)

⇔ 0 = 0 luôn đúng

b) sin⁴x + sin²x.cos²x + sin²x = 2sin²x

⇔ sin²x.(sin²x + cos²x + 1) = 2sin²x

⇔ sin²x.(1 + 1) = 2sin²x (do sin²x + cos²x = 1)

⇔ 2sin²x = 2sin²x (luôn đúng)

Ví dụ 6: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào số đo của góc nhọn α

a) cos²α.cosβ² + cos²α.sinβ² + sin²α

b) 2(sinα - cosα)² - (sinα + cosα)² + 6sinα.cosα

c) (tanα - cotα)² - (tanα + cotα)²

Hướng dẫn giải:

a) cos²α.cosβ² + cos²α.sinβ² + sin²α

= cos²α.(cosβ² + sinβ²) + sin²α (do sin²β + cos²β = 1)

= cos²α.1 + sin²α (do sin²α + cos²α = 1)

= 1

b) 2(sinα - cosα)² - (sinα + cosα)² + 6sinα.cosα

= 2(sin²α - 2sinα.cosα + cos²α) - (sin²α + 2sinα.cosα + cos²α) + 6sinα.cosα

= 2sin²α - 4sinα.cosα + 2cos²α - sin²α - 2sinα.cosα + 6sinα.cosα

= (2sin²α - sin²α) + (2cos²α - cos²α) + (-4sinα.cosα - 2sinα.cosα + 6sinα.cosα)

= sin²α + cos²α (do sin²α + cos²α = 1)

= 1.

c) (tanα - cotα)² - (tanα + cotα)²

= [(tanα - cotα) + (tanα + cotα)] . [(tanα - cotα) - (tanα - cotα)]

= (tanα - cotα + tanα + cotα)(tanα - cotα - tanα - cotα)

= 2tanα.(-2cotα)

= -4tanα.cotα ( do tanα.cotα = 1 )

= -4.1 = -4

Ví dụ 7: Chứng minh định lý sin: Trong tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các góc đối diện:

Hướng dẫn giải:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

• Cho biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn a tính các tỉ số lượng giác còn lại của a
• Cách tính giá trị biểu thức lượng giác (không dùng máy tính) cực hay
• Cách so sánh các tỉ số lượng giác không dùng máy tính
• Giải tam giác vuông biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn
• Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh cực hay

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---