Cách tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m của hệ phương trình

Bài viết Cách tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m của hệ phương trình lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m của hệ phương trình.

Cách tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m của hệ phương trình

A. Phương pháp giải

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất.

Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc thế để làm mất tham số m.

Bước 3: Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình  (m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Khi đó, hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy với m ≠ ± 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Ta có:

Cộng hai vế của hai phương trình ta khử được tham số m. Hệ thức cần tìm là x + y = -3.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình sau: .(m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Khi đó, hệ thức liên hệ giữa x (x > 0) và y không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

Vậy x² + xy – 1 – y = 0 là hệ thức không phụ thuộc vào m.

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: (I) .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn:

Vì nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.

Trừ vế theo vế của pt (1) với pt (2) ta được: 3y = 3m – 3 ⇔ y = m - 1

Thế y = m - 1 vào pt: x – 2y = 2 ⇔ x – 2(m – 1) = 2 ⇔ x = 2m

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x = 2m; y = m – 1

hay . Lấy (3) trừ (4) ta được: x – 2y = 2 ⇒ x – 2y – 2 = 0

Vậy: x – 2y – 2 = 0 là biểu thức liên hệ không phụ thuộc vào m.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hệ phương trình: (I) . (m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

 A. 3x + 8y – 7 = 0

 B. 3x – 8y – 7 = 0

 C. x + 8y – 7 = 0

 D. 2x – 8y + 7 = 0

Lời giải:

Vì nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.

Thế m = x + y vào pt: 2x – 3y = 5m – 7 ta được:

⇒ 2x – 3y = 5(x + y) – 7

⇔ 2x – 3y = 5x + 5y – 7

⇔ 3x + 8y – 7 = 0.

Vậy 3x + 8y – 7 = 0.là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m.

Chọn đáp án A.

Câu 2: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

 A. x + y – 7 = 0

 B. x – y – 16 = 0

 C. 2x + y – 16 = 0

 D. x – 16y + 16 = 0

Lời giải:

Vì nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.

Từ pt: x + y = m + 4 ⇒ m = x + y – 4. Thế m vào pt: 2x + 3y = 4m ta được:

⇒ 2x + 3y = 4(x + y – 4)

⇔ 2x + 3y = 4x + 4y – 16

⇔ 2x + y – 16 = 0.

Vậy 2x + y – 16 = 0.là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m.

Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

 A. x + 3y – 30 = 0

 B. 2x – y – 6 = 0

 C. 2x + 6y – 30 = 0

 D. 3x + 12y – 32 = 0

Lời giải:

Vì , nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.

Từ pt: x + y = m + 6 ⇒ m = x + y – 6. Thế m vào pt: 2x – 7y = 5m – 2 ta được:

⇒ 2x – 7y = 5(x + y – 6) – 2

⇔ 2x – 7y = 5x + 5y – 30 – 2

⇔ 3x + 12y – 32 = 0.

Vậy 3x + 12 y – 32 = 0.là biểu thức giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Chọn đáp án D.

Câu 4: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? (x, y > 0).

 A. Hệ phương trình có nghiệm với mọi m và biểu thức liên hệ x và y: 5x + y + 10 = 0

 B. Hệ phương trình có nghiệm với mọi m và biểu thức liên hệ x và y: 6x – y – 9 = 0

 C. Hệ phương trình có nghiệm với m và biểu thức liên hệ x và y: 2x + 6y – 30 = 0

 D. Hệ phương trình có nghiệm với m và biểu thức liên hệ x và y: 4x² – y² – 2x - y = 0

Lời giải:

Vậy 4x² - y² - y - 2x = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m.

Chọn đáp án D.

Câu 5: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. (x, y > 0).

 A. 3x² – 5y – 2x + 5 = 0

 B. x² – y – 2x + 5 = 0

 C. x² – y² – 2x + 8 = 0

 D. 2x² – 8y² – 6y – 3x = 0

Lời giải:

Vậy 2x² - 8y² - 6y - 3x = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m.

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, hệ thức (P) liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. tìm hệ thức 2P ? (x, y > 0).

 A. 2x² - 8y² - 6y - 4x = 0

 B. 6x² - 8y² - 6y - 4x = 0

 C. 2x² + 4y² + 2y - 4x = 0

 D. x² + 2y² + y - 2x = 0

Lời giải:

Vậy (P) x² + 2y² + y - 2x = 0 là biểu thức giữa x và y không phụ thuộc vào m

hay (2P): 2x² + 4y² + 2y - 4x = 0

Chọn đáp án C.

Câu 7: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). Gọi hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là P. Tìm hệ thức 2P. (x, y > 0).

 A. 2x² - 8y² - 6y - 4x = 0

 B. 6x² - 8y² - 6y - 4x = 0

 C. 2x² + 4y² + 2y - 4x = 0

 D. x² + 2y² + y - 2x = 0

Lời giải:

Vậy (P) x² +2y² + y - 2x = 0 là biểu thức giữa x và y không phụ thuộc vào m

hay (2P): 2x² +4y² + 2y - 4x = 0.

Chọn đáp án C.

Câu 8: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). Gọi hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là P. tìm hệ thức (P) : 2 ? (x, y > 0).

 

Lời giải:

Vì nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất mọi m:

Từ pt (2) thế m = 2x – 3y vào pt (1) ta được :

⇒ 2x + 4y = 2(2x – 3y) + 6 ⇔ 2x – 10y + 6 = 0 (P)

Vậy (P) 2x – 10y + 6 = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m

hay (P) : 2 là x – 5y + 3 = 0.

Chọn đáp án D.

Câu 9: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Tìm hằng số tự do? (x, y > 0).

 A. 8

 B. 6

 C. 1

 D. 0

Lời giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

Từ pt (2) thế m = x + y – 1 vào pt (1) ta được :

⇒ 2x(x + y – 1) + 3y = x + y – 1

⇔ 2x² + 2xy – 2x + 3y = x + y – 1

⇔ 2x² + 2xy – 3x + 2y + 1 = 0 (P)

Vậy (P) 2x² + 2xy – 3x + 2y + 1 = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m

Vậy hằng số tự do là 1.

Chọn đáp án C.

Câu 10: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, hệ thức (P) liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Tìm bậc của hệ thức (P) ? (x, y > 0).

 A. 1

 B. 2

 C. 3

 D. 4

Lời giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

Từ pt (2) thế m = x – y vào pt (1) ta được :

⇒ x(x – y) – y = 1 ⇔ x² – xy – y – 1 = 0 (P)

Vậy (P) x² – xy – y – 1 = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m

hay bậc của (P) là: 2.

Chọn đáp án B.

Câu 11: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, hệ thức (P) liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. hằng số tự do của hệ thức (P) ? (x, y > 0).

 A. 0

 B. 2

 C. 1

 D. 3

Lời giải:

Vậy (P) x² - y² - x - y = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m

Hằng số tự do của (P) là: 0.

Chọn đáp án A.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(m-1)x+y=m\\ x+(m-1)y=2\end{array}\right.$(m là tham số). Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất (x; y):

a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc m;

b) Tìm các giá trị của m để x và y thỏa mãn 6x² – 19y = 5.

Bài 2. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=1\\ mx-y=-m\end{array}\right.$(m là tham số). Gọi hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là P.

a) Tìm hệ thức (P);

b)Tìm hằng số tự do? (x, y > 0);

Bài 3. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2mx+y=2\\ 2x+my=m+1\end{array}\right.$(m là tham số). Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất (x; y). Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc m;

Bài 4. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=m+1\\ mx+y=2m\end{array}\right.$(m là tham số). Gọi hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là P. Tìm bậc của (P)

Bài 5. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2\\ mx-y=m\end{array}\right.$(m là tham số). Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất (x; y):

a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc m;

b) Tìm điều kiện của m để x > 1 và y > 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án chi tiết hay khác:

• Giải HPT bằng phương pháp thế.

• Giải HPT bằng phương pháp cộng đại số.

• Giải HPT bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

• HPT bậc nhất hai ẩn chứa tham số.

• Tìm điều kiện của m để HPT có nghiệm duy nhất và thỏa mãn điều kiện T.

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---