Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất lớp 9 (cực hay)

Bài viết Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất lớp 9 (cực hay)

A. Phương pháp giải

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất sau đó giải hệ phương trình tìm nghiệm (x;y) theo tham số m.

Bước 2: Thế x và y vừa tìm được vào biểu thức điều kiện, sau đó giải tìm m.

Bước 3: Kết luận.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c \left(1\right)\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'} \left(2\right)\end{array}\right.$

Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước, x và y gọi là ẩn số.

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm

chung của hai đường thẳng 𝑑: ax + by = c và d’: a’x + b’y= c’.

Trường hợp: $d\cap d\text{'}=A(x_0;y_0)$⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; y₀)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình (m là tham số).

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x² + y² = 5.

Hướng dẫn:

Vì nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y).

Vậy m = 1 hoặc m = –2 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình (a là tham số).

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là số nguyên.

Hướng dẫn:

Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) = (a;2).

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: (I) (m là tham số).

Tìm m đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho 2x – 3y = 1.

Hướng dẫn:

Ví dụ 1. Dựa vào các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ để xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x-3y=-7\\ -3x+2y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x-3y=-7\\ -3x+2y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$có a = – 2; b = – 3; a’ = – 3; b = 2.

Xét $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3};\frac{b}{b\text{'}}=\frac{-3}{2}\Rightarrow \frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ mx+y=2m\end{array}\right.$. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ mx+y=2m\end{array}\right.$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$

$\frac{1}{m}\ne \frac{1}{1}\Rightarrow 1.1\ne m.1\Rightarrow m\ne 1.$

Vậy $m\ne 1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

C. Bài tập trắc nghiệm

Sử dụng hệ sau trả lời câu 1, câu 2, câu 3.

Cho hệ phương trình sau (I):

Câu 1: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x = y + 1.

 A. m = 0

 B. m = 1

 C. m = 0 hoặc m = –1

 D. m = 0 hoặc m = 1

Lời giải:

Vậy với m = 0 hoặc m = –1 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn đáp án C.

Câu 2: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y > 0.

 A. m > 0

 B. m < 0

 C. m < 1

 D. m > 1

Lời giải:

• 1 – m² < 0 ⇒ (1 – m)(1 + m) < 0 ⇒ m < –1 hoặc m > 1.(*)

• 2m > 0 ⇒ m > 0.(**)

Kết hợp điều kiện hai trương hợp trên, suy ra m > 1.

Vậy m > 1 thì thỏa mãn x < 0, y> 0.

Chọn đáp án D.

Câu 3: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 1.

 A. m > 0

 B. với mọi m khác 0

 C. không có giá trị của m

 D. m < 1

Lời giải:

Vậy với mọi m khác 0 thì thỏa mãn điều kiện đề bài: x < 1.

Chọn đáp án B.

Sử dụng hệ sau trả lời câu 4, câu 5.

Cho hệ phương trình: .(m là tham số).

Câu 4: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x – 1 > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

 A. với mọi m thì hệ có nghiệm duy nhất.

 B. với m > 2 thì hệ có nghiệm thỏa mãn x – 1 > 0.

 C. với m > –2 thì hệ có nghiệm thỏa mãn x – 1 > 0.

 D. Cả A, B, C đều sai.

Lời giải:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Vậy m > – 4 thì thỏa mãn điều kiện x – 1 > 0.

Chọn đáp án D.

Câu 5: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

 A. với m = 0 hoặc m = 1 thì hệ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 B. với m = 0 thì hệ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 C. với m = 1 thì hệ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Sử dụng hệ sau trả lời câu 6.

Cho hệ phương trình: .(m là tham số).

Câu 6: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho 3x – y = 5.

 A. m = 2,

 B. m = – 2

 C. m = 0,5

 D. m = - 0,5

Lời giải:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Vậy với m = ½ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn đáp án C.

Câu 7: Cho hệ phương trình: .(m là tham số).

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x² – 2y² = –2.

 A. m = 0

 B. m = 2

 C. m = 0 hoặc m = –2

 D. m = 0 hoặc m = 2

Lời giải:

Trừ vế theo vế của pt (1) với pt (2) ta được: 3y = 3m – 3 ⇔ y = m - 1

Thế y = m - 1 vào pt: x – 2y = 2 ⇔ x – 2(m – 1) = 2 ⇔ x = 2m

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x = 2m; y = m – 1

Theo đề bài ta có: x² – 2y² = –2 ⇒ (2m)² – 2 (m – 1)² = –2

⇔ 4m² – 2m² + 4m – 2 = –2 ⇔ m² + 2m = 0

Vậy với m = 0 hoặc m = –2 thì hệ thỏa mãn điều kiện: x² – 2y² = –2.

Chọn đáp án C.

Câu 8: Cho hệ phương trình: . (m là tham số), có nghiệm (x;y). Với giá trị nào của m để A = xy + x – 1 đạt giá trị lớn nhất.

 A. m = 1

 B. m = 2

 C. m = –1

 D. m = 3

Lời giải:

Trừ vế theo vế của pt (1) với pt (2) ta được: 2x = 2m + 4 ⇔ x = m + 2

Thế x = m + 2 vào pt: x + y = 5 ⇔ m + 2 + y = 5 ⇔ y = 3 – m

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x = m + 2; y = 3 – m

Theo đề bài ta có:

A = xy + x – 1

= (m + 2)(3 – m) + m + 2 – 1

= – m² + 2m – 1 + 8

= 8 – (m – 1)² 8

Vậy A_max = 8 ⇔ m = 1

Vậy với m = 1 thì A đạt giá trị lớn nhất.

Chọn đáp án A.

Câu 9: Cho hệ phương trình: . (m là tham số), có nghiệm (x;y). Tìm m nguyên để T = y/x nguyên.

 A. m = 1

 B. m = –2 hoặc m = 0

 C. m = -2 và m = 1

 D. m = 3

Lời giải:

Để T nguyên thì (m + 1) là ước của 1.⇒ (m + 1)

• m + 1 = –1 ⇒ m = –2.

• m + 1 = 1 ⇒ m = 0.

Vậy với m = –2 hoặc m = 0 thì T nguyên.

Chọn đáp án B.

Câu 10: Tìm số nguyên m để hệ phương trình: . (m là tham số), có nghiệm (x;y) thỏa mãn x > 0, y < 0.

 A. m ∈ Z

 B. m ∈ {-3;-2;-1;0}

 C. vô số.

 D. không có

Lời giải:

hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

vậy m ∈ {-3;-2;-1;0} thì hệ thỏa mãn x > 0, y < 0.

Chọn đáp án B.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho Cho hai đường thẳng: d₁: 7x + 2y = 8, d₂: 2x – 7y = 5. Hệ phương trình của hai đường thẳng d₁ và d₂ có nghiệm duy nhất. Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Từ hai hai đường thẳng: d₁: 7x + 2y = 8, d₂: 2x – 7y = 5.

Ta có hệ phương trình trình $\left\{\begin{array}{l}7x+2y=8\\ 2x-7y=5\end{array}\right.$có nghiệm duy nhất.

Vì hệ phương trình có a = 7; b = 2; a’ = 2; b = – 7.

Xét $\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{7}{2}; \frac{b}{b^{\text{'}}}=\frac{2}{-7}\Rightarrow \frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$

Vậy nên hệ phương trình của hai đường thẳng d₁ và d₂ có nghiệm duy nhất.

Bài 2. Cho hai hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x-y=\frac{1}{2}\\ -3x+\frac{3}{2}y=\frac{3}{4}\end{array}\right.$và $\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}x=4y+3\\ -\sqrt{2}x+2y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$. Hệ phương trình nào có nghiệm duy nhất?

Hướng dẫn giải:

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x-y=\frac{1}{2}\\ -3x+\frac{3}{2}y=\frac{3}{4}\end{array}\right.$có a = – 2; b = – 1; a’ = – 3; b = $\frac{3}{2}$

Xét $\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3};\frac{b}{b^{\text{'}}}=-1:\frac{3}{2}=\frac{-2}{3}\Rightarrow \frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}x=4y+3\\ -\sqrt{2}x+2y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}x-4y=3\\ -\sqrt{2}x+2y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Có $a=2\sqrt{2}$; b = – 4; $a^{\text{'}}=-\sqrt{2}$; b’ = 2.

Xét $\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{2\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=-2;\frac{b}{b^{\text{'}}}=\frac{-4}{2}=2\Rightarrow \frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{b}{b^{\text{'}}}$

Vậy hệ phương trình không có nghiệm duy nhất.

Bài 3. Cho phương trình: $5\sqrt{3}x+7y=-11-2\sqrt{3}$. Hãy viết thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để có được một hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Phương trình: $5\sqrt{3}x+7y=-11-2\sqrt{3}$ có $a=5\sqrt{3}$; b = 7.

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$

Khi đó $\frac{5\sqrt{3}}{a^{\text{'}}}\ne \frac{7}{b^{\text{'}}}$ ví dụ a’ = 1 và b’ = 3 nên phương trình cần tìm là x + 3y = 1.

Bài 4. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+5y=-2\\ -(m-1)x=6y-1\end{array}\right.$. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+5y=-2\\ -(m-1)x=6y-1\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}3x+5y=-2\\ -(m-1)x-6y=-1\end{array}\right.$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$

$\frac{3}{-(m-1)}\ne \frac{-2}{-6}\Rightarrow 3.-6\ne -2.-(m-1)\Rightarrow 2m-2\ne -18\Rightarrow m\ne -8.$

Vậy $m\ne -8$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 5. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2(m+3)x+my=1\\ -x+4y=5\end{array}\right.$. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; y₀) và điểm biểu diễn A(x₀; y₀) thuộc trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$

$\frac{2(m+3)}{-1}\ne \frac{m}{4}\Rightarrow 4(2m+6)\ne -1.m\Rightarrow 8m+24\ne -m\Rightarrow m\ne \frac{-8}{3}$

A(x₀; y₀) thuộc trục hoành nên y₀ = 0.

Vì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; 0) nên ta thay x = x₀ và y₀ = 0 phương trình – x + 4y = 5 ta được: – x₀ + 4 . 0 = 5 ⇔ x₀ = 1.

Thay x₀ = 1 và y₀ = 0 vào phương trình 2(m + 3)x + my = 1 ta được 2m + 6 = 1 $\Rightarrow m=\frac{-5}{2}$

Vậy $\Rightarrow m=\frac{-5}{2}$ thì hệ có nghiệm duy nhất thuộc trục hoành.

Bài 6. Cho phương trình: 3x – 4y = – 19. Hãy viết thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để có được một hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 7. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3mx+y=-2m\\ -3x-my=-1+3m\end{array}\right.$. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 8. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2mx+my=1\\ -3x+2y=5\end{array}\right.$. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; y₀) và điểm biểu diễn A(x₀; y₀) thuộc trục tung.

Bài 9. Các hệ phương trình dưới đây có nghiệm duy nhất. Vì sao?

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-4y=3\\ -3x+y=5\end{array}\right.$;	b) $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ -x+y=1\end{array}\right.$;
c) $\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}+1x-\frac{1}{3}y=0\\ -2\sqrt{2}-1x+\frac{1}{3}y=0\end{array}\right.$;	c) a) $\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}+1}{3}x+\frac{\sqrt{3}-1}{3}y=1\\ 0x-y=1\end{array}\right.$;

 Bài 10. Cho ba đường thẳng: d₁: 2x + y = 3, d₂: x – 4y = 6 và d₃: (2m + 1)x + my = 2m – 3. Tìm các giá trị của tham số m để ba đường thẳng d₁, d₂ và d₃ đồng quy

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án chi tiết hay khác:

• Giải HPT bằng phương pháp thế.

• Giải HPT bằng phương pháp cộng đại số.

• Giải HPT bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

• HPT bậc nhất hai ẩn chứa tham số.

• Tìm điều kiện của m để HPT có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y – không phụ thuộc vào m

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---