Cách tính cạnh và tính góc trong tam giác vuông lớp 9 (cực hay)

Bài viết Cách tính cạnh và tính góc trong tam giác vuông lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tính cạnh và tính góc trong tam giác vuông.

Cách tính cạnh và tính góc trong tam giác vuông lớp 9 (cực hay)

A. Phương pháp giải

Nhắc lại kiến thức

Trong một tam giác vuông, nếu cho trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của nó.

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền a và các cạnh góc vuông b, c.

1. Định lý: Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng

- Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

- Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhân với cot góc kề.

2. Như vậy, trong tam giác ABC vuông tại A, ta có hệ thức

• b = a.sinB = a.cosC = c.tanB = c.cotC

• c = a.sinC = a.cosB = b.tanC = b.cotB

A. Phương pháp giải

• Kẻ thêm đường cao xuống cạnh kề của góc đã biết.

• Chuyển bài toán về giải tam giác vuông biết một cạnh và một góc.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, . Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Hãy tính

a) Độ dài đoạn thẳng AN.

b) Độ dài cạnh AC.

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác vuông ANB có: AN = BN.tan40^o

Xét tam giác vuông ANC có: AN = CN.tan30^o

⇒ AN = BN.tan40^o = CN.tan30^o

Mà BN = BC – CN = 11 – CN

⇒ (11 - CN). tan40^o = CN.tan30^o

⇔ (11 - CN).0,84 = CN.0,58

⇔ 9,24 - 0,84.CN = 0,58CN

⇔ 1,42.CN = 9,24

⇔ CN ≈ 6,51 (cm)

⇒ AN = CN.tan30^o ≈ 6,51.0,58 ≈ 3,78 (cm)

b) Xét tam giác vuông ANC có:

Ví dụ 2: Tính cạnh huyền và diện tích của một tam giác vuông cân nếu a là cạnh góc vuông.

Hướng dẫn giải:

+) Xét tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a.

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

Ví dụ 3: Tính chiều cao và diện tích của một tam giác đều cạnh a.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC đều có cạnh AB = AC = BC = a và có đường cao AH.

Do ΔABC là tam giác đều nên đường cao AH đồng thời cũng là đường trung tuyến tại đỉnh A

Ví dụ 4: Cho tam giác đều ABC cạnh 5cm và góc = 40^o Hãy tính

a) Độ dài đoạn AD.

b) Độ dài đoạn DB.

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác ABC đều cạnh AB = AC = BC = 5cm

Suy ra độ dài đường cao AH của tam giác đều ABC là AH =

b) Xét tam giác ABC đều có cạnh AB = AC = BC = a và có đường cao AH.

Do ΔABC là tam giác đều nên đường cao AH đồng thời cũng là đường trung tuyến tại đỉnh A

⇒ BH = CH = = 2,5 (cm)

⇒ DB = HD - BH = 5,16 - 2,5 = 2,66 (cm)

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Biết HB = 25cm, HC = 64cm. Tính , .

Hướng dẫn giải:

+) Xét ΔABC vuông tại A có đường cao AH nên:

AH² = BH.CH (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇔ AH² = 25.64 = 1600

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB = AC = 50cm, BC = 60cm. Các đường cao AD và CE cắt nhau tại H.

a) Tính độ dài CE.

b) Tính độ dài CH.

Hướng dẫn giải:

a) Tam giác ABC có AB = AC = 50cm ⇒ ΔABC cân tại A có AD là đường cao nên AD đồng thời là đường trung tuyến và phân giác tại đỉnh A

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho ∆DEF vuông tại D, có góc $\hat{E}={30}^o;$ EF = 6cm. Tính độ dài DE?

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác DEF vuông tại D

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc: DE = EF . cosE = 6 . cos30° = $3\sqrt{3}$ (cm)

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại B. Biết AB = 3cm, BC = 4cm. Số đo góc A?

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông tại B:

Áp dụng hệ thức lượng: $\tan A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}.$

Vậy số đo góc $\widehat{BAC}\approx 53°7\text{'}$

Bài 3. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5m, các tia sang mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ 44⁰. Tính chiều cao của cột đèn.

Hướng dẫn giải:

Ta có chiều cao của cột đèn là AC

Bóng của đèn trên mặt đất dài 7,5m nghĩa là AB = 7,5.

Các tia sang mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ 42⁰ nghĩa là $\widehat{ABC}=42°$

Xét tam giác ABC vuông tại A, có

AC = AB. tanB = 7,5 . tan 42° ≈ 6,753 (m)

Bài 4. Cho tam giác ABC có $\widehat{ABC}=60°$. Hình chiếu của cạnh trên BC có độ dài là 4cm, AB dài gấp đôi AC. Tính độ dài AB, AC và $\widehat{ABC}$.

Hướng dẫn giải:

Tạo đường cao AH, HB là hình chiếu của AB trên BC

Xét tam giác AHB có $\widehat{AHB}=90°$, có:

HB = AB.cosB $\Rightarrow AB=\frac{HB}{\cos B}=\frac{4}{\cos 40°}=8\left(cm\right)$

AH = AB.sinB = 8. sin60° = $8.\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\left(cm\right)$

Theo đề bài ta có: AC = 2AB nên AC = 2.8 = 16 (cm)

Xét tam giác AHC có:

AH = AC.sinC $\Rightarrow \sin C=\frac{AH}{AC}=\frac{4\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(cm\right)\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 25°39\text{'}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC > AB và đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

a) Chứng minh AD.AB = AE.AC và tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED;

b) Cho BH = 2 cm, HC = 4,5 cm. Tính độ dài đoạn thẳng DE, số đo góc và diện tích ADE

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác AHC vuông tại H có: AH² = AE . AC

Xét tam giác AHB vuông tại H có: AH² = AD . AB

Suy ra AD.AB = AE.AC (=AH²)

- Xét ∆ABC và ∆AED

Có góc A chung

AD.AB = AE.AC

⇒ ∆ABC và ∆AED (c – g – c)

b) - Xét tứ giác ADHE có

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên hai đường chéo DE = AH.

Mà AH là đường cao trong tam giác ABC

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC: AH² = HB . HC = 2 . 4,5 = 9

Vậy AH = 3cm = DE.

- Xét tam giác AHB vuông tại H

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc: $\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{3}{2}.$

Vậy số đo góc $\widehat{ABC}\approx 56°$

Bài 6. Một cầu trượt trong công viên có độ dài mặt cầu trượt là 4,5m và độ cao là 1,8m. Hãy tính cầu trượt có độ dốc là bao nhiêu độ? (làm tròn đến phút)

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B}=60°$ và đường cao AH. Khi đó hãy tính CH - $\sqrt{3}$AH.

Bài 8. Cho tam giác ABC có đường cao CH, BC = 12 cm:

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC có đường cao AH = 12 cm, canh huyền BC = 25 cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AB và AC;

b) Vẽ trung tuyến AM. Tìm số đo của góc $\widehat{AMH};$

c) Tính diện tích tam giác AHM.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3 cm, AC = 4cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC và AH;

b) Tính số đo các góc B và C;

c) Cho đường phân giác trong góc A cắt BC tại E. Tính độ dài các đoạn thẳng BE và CE.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

• Cách tính độ dài cạnh góc vuông trong tam giác vuông cực hay
• Cách dựng cạnh huyền, dựng đoạn trunh bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước
• Cách chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông cực hay
• Công thức, cách tính tỉ số lượng giác của góc nhọn cực hay
• Dụng góc nhọn alpha khi biết tỉ số lượng giác sin, cos, tan của góc đó

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---