Chứng minh hai biểu thức tích bằng nhau lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh hai biểu thức tích bằng nhau lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh hai biểu thức tích bằng nhau.

Chứng minh hai biểu thức tích bằng nhau lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để chứng minh hai biểu thức tích bằng nhau, ta thường nghĩ đến chứng minh hai tam giác đồng dạng. Như vậy, để giải quyết dạng toán này, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Sử dụng nhận xét: “Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau” và “Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông” để chứng minh tam giác đồng dạng.

Bước 2. Lập tỉ số giữa các cạnh từ đó ta suy ra được hai tích bằng nhau.

Chú ý: Từ định lí “Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn”, ta có các khẳng định sau đối với các góc nội tiếp của một đường tròn hoặc của hai đường tròn bằng nhau:

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+ Các góc nội tiếp chắn cung nhỏ thì có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt BC ở D và cắt đường tròn ở E. Chứng minh rằng:

a) AB.AC = AD.AE;

b) BE² = AE.DE.

Hướng dẫn giải

a) Ta có AE là phân giác góc A nên $\widehat{BAE}=\widehat{CAE}$, do đó $\stackrel{⏜}{BE}=\stackrel{⏜}{CE}$.

Lại có $\widehat{BAC}=\widehat{CEA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, ∆ABD ᔕ ∆AEC  (g.g)

Suy ra $\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$ nên AB.AC = AD.AE.

b) Xét ∆ABE và ∆BDE có: $\widehat{AEB}$ chung, $\widehat{BAE}=\widehat{EBC}$ (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{BE}=\stackrel{⏜}{CE}$)

Do đó, ∆ABD ᔕ ∆AEC (g.g)

Suy ra $\frac{BE}{DE}=\frac{AE}{BE}$ hay BE² = AE.DE.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A nối tiếp đường tròn (O; R), qua A kẻ đường thẳng cắt cạnh BC tại D và cắt (O) tại E.

a) Chứng tỏ rằng AB² = AD.AE.

b) Chứng tỏ tích AD.AE không đổi (không phụ thuộc vào vị trí điểm E) hãy tính tích AD.AE theo R và đường cao h của tam giác kẻ từ A.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do đó, ta có: $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{AC}$, suy ra $\widehat{B_1}=\widehat{E_1}$ (góc nội tiếp chắn cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{AC}$).

Suy ra ∆ADB ᔕ ∆ABE (g.g)

Do đó, $\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$, suy ra AB² = AD.AE.

b) Kẻ đường kính AA' của đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của AA' và BC ta có AH là đường cao của ∆ABC.

Xét tam giác ABA' có đường cao BH. Áp dụng hệ thức b² = a.b', ta có:

AB² = AA'. AH = 2R.h (không đổi)

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho đường tròn (O) và điểm I nằm ngoài (O). Từ điểm I kẻ hai dây cung AB và CD (A nằm giữa I và B, C nằm giữa I và D). Tích IA.IB bằng

A. ID.CD.

B. IC.CB.

C. IC.CD.

D. IC.ID.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có tứ giác ABDC nội tiếp nên $\widehat{BAC}+\widehat{CDB}=180°$.

Mà $\widehat{BAC}+\widehat{CAI}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó, $\widehat{CAI}=\widehat{CDB}$.

Xét ∆IDB và ∆IAC, có:

$\widehat{CAI}=\widehat{CDB}$ (cmt)

$\widehat{AIC}=\widehat{BID}$

Do đó, ∆IDB ᔕ ∆IAC (g.g)

Suy ra $\frac{ID}{IA}=\frac{IB}{IC}$ nên IA.IB = IC.ID.

Câu 2. Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC và cắt (O) ở D và E. Khi đó AB² bằng:

A. AD.AE.

B. AD.AC.

C. AE.BE.

D. AD.BD.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ADC và ∆ACE, có:

$\widehat{EAC}$ chung (gt)

$\widehat{AEC}=\widehat{ACD}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Do đó, ∆ADC ᔕ ∆ACE (g.g)

Suy ra $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$ hay AC² = AD.AE.

Mà ta có AB = AC nên AB² = AC² = AD.AE.

Câu 3. Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt (O) ở E. Khi đó DE.DA bằng

A. DC².

B. DB².

C. DB.DC.

D. AB.AC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét ∆ADC và ∆ACE, có:

$\widehat{EAC}$ chung (gt)

$\widehat{AEC}=\widehat{ACD}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Do đó, ∆ADC ᔕ ∆ACE (g.g)

Suy ra $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$ hay AC² = AD.AE.

Mà ta có AB = AC nên AB² = AC² = AD.AE = AB.AC.

Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. EH.EC = EA.EB.

B. EH.EC = AE².

C. EH.EC = AE.AF.

D. EH.EC = AH².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét hai tam giác vuông ∆EBH và ∆ECA, có:

$\widehat{EBH}=\widehat{ECA}$ (cùng phụ với $\widehat{BAC}$)

Do đó, ∆EBH ᔕ ∆ECA (g.g)

Suy ra $\frac{EB}{EC}=\frac{EH}{EA}$ suy ra EB.EA = EC.EH.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Câu 5,6.

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.

Câu 5.  Gọi M là trung điểm BC. Khi đó

A. AH = 2OM.

B. AH = 3OM.

C. AH = 2HM.

D. AH = 2FM.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó, AH ⊥ BC (1)

Lại có M là trung điểm của BC nên OM ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra OM ∕∕ AH.

Mà O là trung điểm của AF nên OM là đường trung bình của tam giác AHF.

Suy ra AH = 2OM.

Câu 6. Tính DA.DC bằng

A. DH².

B. DH.DB.

C. HE.HC.

D. HC².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét hai tam giác vuông ∆HDC và ∆ADB có $\widehat{EBH}=\widehat{ECA}$ (cùng phụ với $\widehat{BAC}$).

Do đó, ∆HDC ᔕ ∆ADB (g.g)

Suy ra $\frac{DH}{DA}=\frac{DC}{DB}$ hay HD.DB = DA.DC.

Câu 7. Cho tam giác ABC đường cao AH và nội tiếp trong đường tròn (O), đường kính AD. Khi đó tích AB.AC bằng

A. AH.HD.

B. AH.AD.

C. AH.HB.

D. AH².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét ∆HBA và ∆CDA, có:

$\widehat{BHA}=\widehat{DCA}=90°$

$\widehat{ABH}=\widehat{ADC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, ∆HBA ᔕ ∆CDA (g.g)

Suy ra $\frac{AB}{AD}=\frac{AH}{AC}$ hay AB.AC = AH.AD.

Câu 8. Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 3 cm đường cao AH và nội tiếp trong đường tròn tâm (O), đường kính AD. Khi đó tích AH.AD bằng

A. 15 cm².

B. 8 cm².

C. 12 cm².

D. 30 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ∆HBA và ∆CDA, có:

$\widehat{BHA}=\widehat{DCA}=90°$

$\widehat{ABH}=\widehat{ADC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, ∆HBA ᔕ ∆CDA (g.g)

Suy ra $\frac{AB}{AD}=\frac{AH}{AC}$ hay AB.AC = AH.AD.

Câu 9. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ⊥ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Tích AH.AB bằng

A. 4AO².

B. AD.BD.

C. BD².

D. AD².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: ∆ABC vuông tại C, có HC là đường cao.

Ta có ∆HAC ᔕ ∆CAB (g.g)

Do đó, ta được $\frac{AH}{AC}=\frac{AC}{AB}$ hay AH.AB = AC².

Mà AB là đường trung trực của CD nên AC = AD.

Do đó, AH.AB = AD².

Câu 10. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF (D ∈ BC; E ∈AC; F ∈ AB) cắt nhau tại H. Khi đó, ta có:

A. BH.BE = BC.BD.

B. CH.CF = CD.CB.

C. A, B đều đúng.

D. A, B đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do AD, BE là các đường cao nên $\widehat{HDC}=\widehat{HEC}=90°$.

Vì ∆HDC vuông tại D nên ba điểm H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính HD.

∆HEC vuông tại E nên ba điểm H, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HE.

Suy ra H, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.

Các góc $\widehat{HCD},\widehat{HED}$ cùng chắn cung HD nên $\widehat{HCD}=\widehat{HED}$ (1).

Xét hai tam giác ∆BDE và ∆BHC, có:

$\widehat{HCD}=\widehat{HED}$ và $\widehat{EBC}$ chung.

Do đó, ∆BDE ᔕ ∆BHC.

Từ đó ta nhận được $\frac{BD}{BH}=\frac{BE}{BC}$ suy ra BH.BE = BC.BD.

Chứng minh tương tự ta có CH.CF = CD.CB.

Suy ra CH.CF = CD.CB.

Do đó, chọn đáp án C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác đều
• Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông
• Tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau
• Tính số đo góc của một tứ giác nội tiếp đường tròn
• Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---