Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác đều lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác đều lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác đều.

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác đều lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

– Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác đều có cạnh a là:

$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

(trong đó, R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, là đoạn thẳng nối tâm với một đỉnh của tam giác đều đó)

– Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác đều có cạnh a là:

$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

(trong đó, r là bán kính của đường tròn nội tiếp, là đoạn thẳng nối tâm với trung điểm của một cạnh của tam giác đều đó)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đều ABC thì O đồng thời là trọng tâm và trực tâm của tam giác.

Ta có: OA = OB = OC = $\frac{2}{3}$AH (H là chân đường cao kẻ từ A)

Do đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Mặt khác, xét tam giác AHB vuông tại H.

Theo định lí Pythagore, ta có AB² = AH² + HB², suy ra AH² = AB² – HB² = a² – ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2$

Suy ra $AH=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra AO = $\frac{2}{3}$AH = $\frac{2}{3}$.$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (Tính chất trọng tâm)

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm tam giác và có bán kính $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ví dụ 2. Xác định tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a.

Hướng dẫn giải

Ta có tam giác ABC đều.

Gọi O là trực tâm của tam giác đồng thời là giao điểm ba đường phân giác trong.

Vậy O là tâm của đường tròn nội tiếp của tam giác đều ABC.

Ta có: $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\frac{60°}{2}=30°$.

Xét tam giác AHB vuông tại H có cạnh huyền ABC = a, $\widehat{BAH}=30°$.

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AH = AB.cos$\widehat{BAH}$ = a.cos30° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

(Lưu ý: Có thể kết luận ngau AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ vì ∆ABC đều cạnh a)

Mặt khác tam giác ABC đều nên trực tâm O cũng là trọng tâm.

Suy ra $OH=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều cạnh a bằng $\frac{a\sqrt{3}}{6}$

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác đều PQR có cạnh bằng 5 cm, khi đó bán kính đường tròn tâm I bằng

A. $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ cm.

B. $\frac{5\sqrt{3}}{6}$ cm.

C. $5\sqrt{3}$ cm.

D. $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều cạnh 5 cm là: $\frac{5\sqrt{3}}{6}$ (cm).

Câu 2. Đường tròn tâm I' nội tiếp tam giác đều A'B'C' có cạnh bằng 4 cm. Khi đó, đường kính đường tròn tâm I' là

A. $\frac{4\sqrt{3}}{6}$ cm.

B. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm.

C. $4\sqrt{3}$ cm.

D. $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính đường tròn I' nội tiếp tam giác đều A'B'C' là: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ (cm)

Vậy đường kính đường tròn I' nội tiếp tam giác đều A'B'C' là $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ (cm)

Câu 3. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác đều ABC có bán kính bằng 2 cm. Khi đó độ dài cạnh AB bằng

A. $2\sqrt{3}$ cm.

B. $\frac{12\sqrt{3}}{6}$ cm.

C. $4\sqrt{3}$ cm.

D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a là $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Do đó, ta có: $\frac{a\sqrt{3}}{6}=2$ nên a = $4\sqrt{3}$.

Vậy độ dài cạnh AB là $4\sqrt{3}$.

Câu 4. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác đều ABC có đường kính bằng 7 cm. Khi đó độ dài cạnh AB bằng.

A. $\frac{\sqrt{3}}{7}$ cm.

B. $2\sqrt{3}$ cm.

C. $7\sqrt{3}$ cm.

D. $\frac{7\sqrt{3}}{3}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: 7 : 2 = 3,5 (cm)

Do đó, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC cạnh a là 3,5 cm.

Suy ra $\frac{a\sqrt{3}}{6}=3,5$ nên a = $7\sqrt{3}$ (cm)

Câu 5. Tam giác đều có cạnh bằng 3 cm. Đường kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó bằng

A. $2\sqrt{3}$ cm.

B. $\sqrt{3}$ cm.

C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều đó là: $R=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$.

Do đó, đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đó là: $2\sqrt{3}$ cm.

Câu 6. Tam giác ABC đều có đường trung tuyến AM nội tiếp đường tròn (O; 4 cm). Độ dài AM bằng

A. $\frac{8}{3}$ cm.

B. 8 cm.

C. 6 cm.

D. 4 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có OA = R = $\frac{2}{3}$AM nên AM = $\frac{3}{2}$OA = 6 (cm).

Câu 7. Tam giác đều IHK nội tiếp đường tròn có chu vi bằng 27 cm. Khi đó, bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác IHK là

A. $\frac{3\sqrt{3}}{3}$ cm.

B. $3\sqrt{3}$ cm.

C. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm.

D. $\frac{9\sqrt{3}}{2}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cạnh của tam giác đều IHK là: 27 : 3 = 9 (cm)

Do đó, bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác IHK là: $\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (cm).

Câu 8. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 7 cm. Chu vi của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC là

A. $7\pi \sqrt{3}$ cm.

B. $\frac{7\sqrt{3}}{3}$ cm.

C. $\frac{7\pi \sqrt{3}}{3}$ cm.

D. $\frac{7\pi \sqrt{3}}{9}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: $\frac{7\sqrt{3}}{6}$ (cm)

Chu vi của đường tròn nội tiếp đó là: 2π. $\frac{7\sqrt{3}}{6}=\frac{7\pi \sqrt{3}}{3}$ (cm)

Câu 9. Một mảnh vườn có dạng hình tam giác đều MNP cạnh 10 m. Người ta muốn trồng hoa ở phần đất bên trong đường tròn nội tiếp tam giác MNP. Diện tích phần đất trồng hoa bằng

A. $\frac{25\pi }{3}$ m².

B. $\frac{25\sqrt{3}}{3}$ m².

C. $\frac{25\pi \sqrt{3}}{3}$ m².

D. $\frac{25\pi \sqrt{3}}{9}$ m².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MNP là: $\frac{10\sqrt{3}}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ (cm)

Diện tích phần đất trồng hoa là: $\pi r^2=\frac{25}{3}\pi$ (m²).

Do đó, chọn A.

Câu 10. Gọi r và R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của một hình tam giác đều. Tỉ số $\frac{r}{R}$ là

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}.$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

C. $\frac{1}{\sqrt{2}}.$

D. $\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

− Tam giác đều cạnh a thì có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

− Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn nội tiếp là $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Do đó, ta có $\frac{r}{R}=\frac{a\sqrt{3}}{6}:\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{2}$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông
• Tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau
• Tính số đo góc của một tứ giác nội tiếp đường tròn
• Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn
• Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---