Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song, ba điểm thẳng hàng dựa vào tính chất góc nội tiếp lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song, ba điểm thẳng hàng dựa vào tính chất góc nội tiếp lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song, ba điểm thẳng hàng dựa vào tính chất góc nội tiếp.

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song, ba điểm thẳng hàng dựa vào tính chất góc nội tiếp lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

– Để giải quyết được bài toán này, ta sẽ sử dụng nhận xét: “Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông”.

Ngoài ra, ta có thể kết hợp liên hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc; tiên đề Euclid; …

– Chú ý: Ta có thể sử dụng thêm định lí và một số nhận xét sau về góc nội tiếp trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:

+ Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+ Các góc nội tiếp chắn cung nhỏ thì có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O), đường kính AB. S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH ⊥ AB.

Hướng dẫn giải

Theo đề, ta có: $\widehat{AMB}=\widehat{ANB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó, AM ⊥ BM, AN ⊥ BN.

Xét ∆SAB có AN, BM là hai đường cao. Mà H là giao điểm của AN và BM nên H là trực tâm của ∆SAB.

Do đó, SH là đường cao của ∆SAB nên SH ⊥ AB.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tia phân giác $\widehat{BAC}$ cắt đường tròn (O) tại D. Đường tròn (D, DB) cắt đường thẳng AB tại Q (khác B), cắt đường thẳng AC tại P (khác C). Chứng minh rằng AO ⊥ PQ.

Hướng dẫn giải

Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AO với (O) và PQ.

Ta có: $\widehat{CPQ}=\widehat{QBC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CQ) suy ra $\widehat{APQ}=\widehat{ABC}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)  suy ra $\widehat{APQ}=\widehat{AKC}$ (1)

Lại có $\widehat{AKC}+\widehat{CAK}=90°$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $\widehat{APQ}+\widehat{PAK}=90°$.

Xét ∆API có $\widehat{PAI}+\widehat{API}=90°$ hay $\widehat{AIP}=90°$.

Do đó, AO ⊥ PQ.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn (O), đường kính AM. Gọi N là giao điểm của AH với đường tròn (O). Chọn khẳng định sai.

A. MN // BC.

B. BM > CN.

C. BM = CN.

D. $\widehat{ANM}=90°$.     

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABH và ∆AMC, có:

$\widehat{BHA}=\widehat{MCA}=90°$,

$\widehat{ABC}=\widehat{AMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, ∆ABH ᔕ ∆AMC  (gg)

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$.

Do đó, $\stackrel{⏜}{BN}=\stackrel{⏜}{MC}$.

Suy ra, $\widehat{MNC}=\widehat{NCB}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên MN // BC.

Do đó, NMCB là hình thang.

Lại có $\stackrel{⏜}{BN}=\stackrel{⏜}{MC}$ nên BN = MC hay NMBC là hình thang cân.

Suy ra NC = BM.

Có $\widehat{ANM}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó, khẳng định B sai.

Câu 2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H Vẽ đường kính AF. Gọi M là trung điểm của BC. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.

A. AH ⊥ BC.

B. OM // AH.

C. $HM=\frac{HF}{2}.$

D. OM ⊥ BF.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm của ∆ABC.

Do đó AH ⊥ BC.

Có M là trung điểm BC nên OM ⊥ BC.

Suy ra OM // AH.

Có BF // EC (cùng vuông với AB)

     BD // FC (cùng vuông với AC)

Do đó, BHCF là hình bình hành, có M là trung điểm BC, nên M cũng là trung điểm của đường chép HF.

Mà OM // AH nên OM là đường trung bình của tam giác HAF.

Suy ra $HM=\frac{HF}{2}.$

Do đó, ý D sai.

Câu 3. Cho (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Gọi K là giao điểm của EB với (O). Chọn khẳng định sai?

A. OD // EB.

B. OD ⊥ AK.

C. AK ⊥ BE.

D. OD ⊥ AE.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: O là trung điểm của AB, D là trung điểm của AE.

Do đó OD là đường trung bình của ∆ABE.

Suy ra OD // EB.

Ta có: $\widehat{AKB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay AK ⊥ BE.

Mà OD // EB nên OD ⊥ AK.

Do đó, ý D sai.

Câu 4. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc trong với nhau tại A và R > R'. Qua điểm B bất kì trên (O') vẽ tiếp tuyến với (O') cắt (O) tại hai điểm M và N, AB cắt (O) tại C. Khi đó:

(I). MN ⊥ OC.

(II) AC là phân giác của $\widehat{MAN}$.

(III). MN ⊥ AB.

Các phát biểu đúng là:

A. (I) và (III).

B. (II) và (III).

C. (I) và (II).

D. (I), (II) và (III).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì ∆O'AB cân tại O' nên $\widehat{O^{\text{'}}AB}=\widehat{O^{\text{'}}BA}$.

∆OAC cân tại O nên $\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$.

Suy ra $\widehat{OCA}=\widehat{O^{\text{'}}BA}$, mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó, O'B // OC.

Mặt khác MN là tiếp tuyến của (O') tại B.

Do đó, O'B ⊥MN. Suy ra OC ⊥ MN.

Trong đường tròn (O), có ON là đường trung trực của MN.

Suy ra CM = CN từ đó$\stackrel{⏜}{CM}=\stackrel{⏜}{CN}$.

Do đó, $\widehat{MAC}=\widehat{NAC}$.

Hay AC là phân giác của góc MAN.

Câu 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AM có số đo bằng 90°. Vẽ các dây MC ⊥ AB, MD // AB. Khi đó,

(I). MC ⊥ MD.

(II). C, O, D thẳng hàng.

Chọn khẳng định đúng.

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả (I), (II) đều đúng.

D. Cả (I), (II) đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có MD // AB mà AB ⊥ MC nên MC ⊥ MD.

Suy ra $\widehat{DMC}=90°$.

Có góc DMC là góc nội tiếp lại có số đo bằng 90° nên CD là đường kính.

Suy ra ba điểm C, O, D thẳng hàng.

Vậy cả hai phát biểu (I), (II) đều đúng.

Câu 6. Cho tam giác ABC nhọn có $\widehat{BAC}=45°$ nội tiếp đường tròn (O), Các đường cao BH, CK cắt đường tròn (O) lần lượt tại E và D. Khi đó,

(I). $\widehat{KCA}=90°$.

(II). DE là đường kính.

(III). D, O, E thẳng hàng.

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có BH ⊥ AC nên tam giác ABH vuông tại H.

Mà $\widehat{BAH}=45°$ nên $\widehat{ABH}=45°$ hay $\widehat{EBA}=45°$ (1)

Mặt khác, có CK ⊥ AB suy ra tam giác ACK vuông tại K.

Mà $\widehat{KAC}=45°$ nên $\widehat{KCA}=45°$

Có $\widehat{DBA}=\widehat{DCA}$ (cùng chắn cung AD) nên $\widehat{ABD}=45°$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{EBD}=\widehat{DBA}+\widehat{ABE}=90°$ nên DE là đường kính của (O) hay D, O, E thẳng hàng.

Do đó, phát biểu (II) và (III) là đúng.

Câu 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc Aa cắt BC ở D và cắt đường tròn (O) ở M (khác A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M; MB), K là tiếp điểm. Khi đó,

(I). ∆MBD  ᔕ ∆MAB.

(II). ∆DMK ᔕ ∆KAM.

(III). DK ⊥ AM.

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ mà $\widehat{A_2}=\widehat{B_1}$ (góc nội tiếp)

Nên $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}$.

Do đó, ∆MBD  ᔕ ∆MAB (g.g)

Suy ra $\frac{MD}{MB}=\frac{MB}{MA}$ suy ra $\frac{MD}{MK}=\frac{MK}{MA}$.

Kết hợp với $\widehat{DMK}=\widehat{KMA}$ nên ∆DMK ᔕ ∆KMA (g.g)

Suy ra $\widehat{MDK}=\widehat{MKA}$ = 90°.

Vậy DK ⊥ AM.

Vậy phát biểu (I) và (III) là các phát biểu đúng.

Câu 8. Trong đường tròn (O) có dây AC và BD vuông góc với nhau tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó,

(I). MI = MB.

(II). $\widehat{MBI}=\widehat{NID}$.

(III). MI ⊥ AD.

Các phát biểu đúng là

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (I), (II) đúng.

C. Chỉ (II), (III) đúng.

D. Cả (I), (II), (III) đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi E là giao điểm của IM và AD.

Ta có: AC ⊥ BD tại I nên ∆BCI vuông tại I.

Mà MB = MC nên MI = MB (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Do đó, ∆MBI cân.

Suy ra $\widehat{MIB}=\widehat{MBI}$ mà $\widehat{NID}=\widehat{BIM}$ đối đỉnh do đó $\widehat{MBI}=\widehat{NID}$.

Ta có: $\widehat{BDA}=\widehat{BCA}$(góc nội tiếp chắn cung AB)

Mà $\widehat{BCA}+\widehat{MBI}=90°$ (tam giác BIC vuông tại I).

Suy ra $\widehat{NID}+\widehat{BDA}=90°$ hay $\widehat{AEI}=90°$ hay MI ⊥ AD.

Câu 9. Cho hình vuông ABCD, M là điểm tùy ý thuộc cạnh CD. Hai đường tròn đường kính CD và AM cắt nhau tại N (khác D). Gọi K là giao điểm của DN và BC. Khi đó,

(I). I, N, C thẳng hàng .

(II). ∆CDK = ∆MIC.

(III). AC ⊥ KM.

Số phát biểu đúng là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi I là giao điểm của đường tròn (O) đường kính AM và CD.

Do đó, $\widehat{AIM}=90°$.

Tứ giác DAIM là hình chữ nhật

(vì $\widehat{AIM}=\widehat{IAD}=\widehat{ADM}=90°$)

Do đó, $\widehat{IMD}=90°$ nên DI là đường kính của (O).

Suy ra $\widehat{DNC}=90°$.

Ta có: $\widehat{IND}+\widehat{DNC}=90°+90°$ hay $\widehat{INC}=180°$.

Do đó, I, N, C thẳng hàng.

Xét ∆CDK và ∆MIC có:

$\widehat{DCK}=\widehat{IMC}=90°$,

DC = MI = AD

$\widehat{KDC}=\widehat{CIM}$ (cặp góc nhọn có cạnh tương ứng với góc)

Do đó, ∆CDK = ∆MIC, suy ra CK = MC.

Suy ra ∆CMK cân tại C.

CA là tia phân giác $\widehat{MCK}$ (vì ABCD là hình vuông)

Suy ra AC ⊥ KM.

Câu 10. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau ở A và B, O nằm trên đường tròn (O'). Dây AC của (O) cắt (O') ở D, dây OE của (O') cắt (O) ở F như hình bên. Chọn khẳng định sai.

A. $\widehat{BOD}=\widehat{BOC}$

B. $\widehat{BOD}=\widehat{DOC}$

C. OD là đường trung tuyến trong ∆BOC.

D. OD ⊥ BC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dựng hai bán kính OB, OC của (O).

Xét đường tròn (O') ta có $\widehat{BAD}=\widehat{BOD}=\left(\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BD}\right)$.

Mà $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{BC}$ suy ra $\widehat{BOD}=\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{BC}$ (1)

Xét đường tròn (O) ta có: $\widehat{BOD}=sd\stackrel{⏜}{BC}$ (2).

Từ (1) và (2) ta được $\widehat{BOD}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$ suy ra $\widehat{BOD}=\widehat{DOC}$ hay OD là tia phân giác $\widehat{BOC}$

Ta lại có ∆BOC cân tại O nên OD vừa là phân giác vừa là đường cao, đường trung tuyến trong tam giác BOC.

Do đó, OD ⊥ BC.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Chứng minh hai biểu thức tích bằng nhau
• Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác đều
• Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông
• Tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau
• Tính số đo góc của một tứ giác nội tiếp đường tròn

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---