Chứng minh hai góc bằng nhau dựa vào tính chất góc nội tiếp lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh hai góc bằng nhau dựa vào tính chất góc nội tiếp lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh hai góc bằng nhau dựa vào tính chất góc nội tiếp.

Chứng minh hai góc bằng nhau dựa vào tính chất góc nội tiếp lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

– Để chứng minh hai góc bằng nhau, ta có thể sử dụng nhận xét: Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắc các cung bằng nhau thì bằng nhau.

– Chú ý: Ngoài nhận xét trên, ta có thể sử dụng một số nhận xét sau:

Trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:

+ Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+ Các góc nội tiếp chắn cung nhỏ thì có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho ∆ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AM.

a) Tính góc ACM.

b) Chứng minh $\widehat{BAH}=\widehat{OCA}$

c) Gọi N là giao điểm của AH với (O). Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Ta có AM là đường kính và điểm C nằm trên trường tròn (O) nên $\widehat{MCA}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

b) Xét ∆ABH và ∆AMC, có:

$\widehat{BHA}=\widehat{MCA}=90°$,

$\widehat{ABC}=\widehat{AMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, ∆ABH ᔕ ∆AMC  (gg)

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{OAC};\widehat{OCA}=\widehat{OAC}$, do đó $\widehat{BAH}=\widehat{OCA}$.

c) $\widehat{ANM}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó, $\widehat{ANM}=\widehat{AHC}=90°$.

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

Do đó, MNBC là hình thang.

Lại có $\widehat{BAH}=\widehat{MAC}$ (cmt) nên sđ$\stackrel{⏜}{BN}$ = sđ$\stackrel{⏜}{CM}$.

Suy ra $\widehat{CBN}=\widehat{BCM}$.

Do đó, MNBC là hình thang cân.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính AE. Vẽ AD là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng $\widehat{BAD}=\widehat{OAC}$.

Hướng dẫn giải

Dựng đường kính AE của đường tròn (O; R).

Có: $\widehat{ACE}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có: $\widehat{AEC}=\widehat{ABD}$ (cùng chắn cung AC).

Xét ∆DBA và ∆CEA, có:

$\widehat{AEC}=\widehat{ABD}$ (cmt)

$\widehat{ACE}=\widehat{ADB}=90°$

Suy ra ∆DBA ᔕ ∆CEA  (g.g)

Do đó, $\widehat{BAD}=\widehat{OAC}$ (hai góc tương ứng)

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

B. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.

C. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn cùng một cung thì bằng nhau.

D. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau có thể chắn cùng một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Câu 2, 3.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn (O), đường kính AM.

Bài 2. Góc ABH bằng góc

A. $\widehat{MCA}.$

B. $\widehat{ABH}$

C. $\widehat{MCO}$

D. $\widehat{AMC}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\widehat{MCA}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

          $\widehat{ABC}=\widehat{AMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Bài 3. Góc OAC bằng góc

A. AMC.

B. BAH.

C. OCM.

D. ABH.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\widehat{MCA}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

          $\widehat{ABC}=\widehat{AMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Xét ∆HBA và ∆CMA, có:

$\widehat{MCA}=\widehat{BHA}=90°$

$\widehat{ABC}=\widehat{AMC}$ (cmt)

Do đó, ∆HBA ᔕ ∆CMA (g.g)

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{BAH}=\widehat{CAO}$.

Bài 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC. Lấy N là điểm chính giữa cung CB. Ta có góc CAN bằng

A. Góc NAB.

B. Góc NBA.

C. Góc ANB.

D. Góc ANC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có N là điểm chính giữa cung CB nên $sd\stackrel{⏜}{CN}=sd\stackrel{⏜}{NB}$.

Do đó, $\widehat{CAN}=\widehat{NAB}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một dây cung AM có số đo nhỏ hơn 90°. Vẽ các dây MC ⊥ AB, MD ∕∕ AB. Lúc này, ta có:

A. $\widehat{DMB}=\widehat{ADC}$

B. $\widehat{DBM}=\widehat{ADC}$

C. $\widehat{DMB}=\widehat{ACD}$

D. $\widehat{DMB}=\widehat{ABD}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{DMB}=\widehat{DAC}$ (cùng chắn cung DB)

Có AB ⊥ MC suy ra $\stackrel{⏜}{MA}=\stackrel{⏜}{AC}$ (đường kính vuông góc với một dây)

Ta lại có MD ∕∕ AB suy ra $\stackrel{⏜}{MA}=\stackrel{⏜}{DB}$ (hai cung chắn giữa hai dây song song)

Do đó $\stackrel{⏜}{MA}=\stackrel{⏜}{DB}=\stackrel{⏜}{AC}$ nên $\widehat{DMB}=\widehat{ADC}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Bài 6. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cung BC không chứa A sao cho $\widehat{BAD}=\widehat{CAM}$. Khi đó, ta có:

A. $\widehat{ADB}=\widehat{CDM}$

B. $\widehat{ABD}=\widehat{CMD}$

C. $\widehat{ADB}=\widehat{DCM}$

D. $\widehat{ABD}=\widehat{CDM}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{CAM}$ (gt)

$\widehat{BDA}=\widehat{ACM}$ (góc nội tiếp chắn cung AB)

$\widehat{BAM}=\widehat{DAC}=\widehat{BAD}+\widehat{DAM}$

$\widehat{ABM}=\widehat{ADC}$ (góc nội tiếp)

Do đó, ∆ABM ᔕ ∆ADC (g.g)

Suy ra $\frac{BA}{AD}=\frac{BM}{DC}=\frac{MC}{CD}$.

Kết hợp với điều kiện $\widehat{ABD}=\widehat{BCD}$ (góc nội tiếp chắn cung BD)

Do đó, ∆BAD ᔕ ∆MCD (c.g.c)

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{MDC}$ (hai góc tương ứng)

Bài 7. Cho đường tròn (O) và điểm I nằm ngoài (O). Từ điểm I kẻ hai cát tuyến IAB và ICD (A nằm giữa I và B, C nằm giữa I và D). Cặp góc nào sau đây bằng nhau?

A. $\widehat{ACI}=\widehat{IBD}.$

B. $\widehat{CAI}=\widehat{IBD}.$

C. $\widehat{ACI}=\widehat{IDB}.$

D. $\widehat{ACI}=\widehat{IAC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp (O) nên

$\widehat{ACD}+\widehat{ABD}=180°$

Mà $\widehat{ACD}+\widehat{ACI}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó, $\widehat{ACI}=\widehat{ABD}$ hay $\widehat{ACI}=\widehat{IBD}.$

Bài 8. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ phân giác trong AD của góc A (D ∉ (O)). Lấy điểm E thuộc cung nhỏ AC. Nối BE cắt AD và AC lần lượt tại I và K, nối DE cắt AC tại J. Kết luận nào sau đây là đúng.

A. $\widehat{BID}=\widehat{AJE}.$

B. $\widehat{BID}=2\widehat{AJE}.$

C. $2\widehat{BID}=\widehat{AJE}.$

D. Tất cả các đáp án đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{BID}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn (O) chắn hai cung BD và AE nên $\widehat{BID}=\frac{1}{2}\left(sd\stackrel{⏜}{AE}+sd\stackrel{⏜}{BD}\right)$

$\widehat{AJE}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn (O) chắn hai cung CD và AE.

Do đó, $\widehat{AJE}=\frac{1}{2}\left(sd\stackrel{⏜}{AE}+sd\stackrel{⏜}{DC}\right)$.

Mà AD là phân giác của góc A nên $sd\stackrel{⏜}{DC}=sd\stackrel{⏜}{BD}$.

Do đó, $\widehat{BID}=\widehat{AJE}.$

Bài 9. Dựa vào hình sau, biết AB, CD là hai dây của đường tròn (O), M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\widehat{ADM}=\widehat{BDM}.$

B. $\widehat{BCM}=\widehat{ABM}.$

C. AM = BM.

D. Nếu M là điểm chính giữa cung lớn CD thì $\widehat{MDC}=\widehat{DCB}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: M là điểm chính giữa cung AB nên ta có: $\widehat{ADM}=\widehat{BDM}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) và $\widehat{BCM}=\widehat{ABM}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Có $sd\stackrel{⏜}{AM}=sd\stackrel{⏜}{MB}$ nên AM = BM.

Ý D sai do $\widehat{MDC}=\widehat{DCM}>\widehat{DCB}$.

Bài 10. Cho lục giác ABCDEF có các đỉnh thuộc đường tròn (O). Biết  AB ∕∕DE, BC ∕∕ EF. Khi đó:

A. $\widehat{ADC}=\widehat{DFA}.$

B. $\widehat{ABC}=\widehat{DAF}$

C. $\widehat{ADC}=\widehat{DAF}$

D. $\widehat{ACD}=\widehat{DAF}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do BC ∕∕ EF suy ra $\widehat{EDC}=\widehat{FAB}$, suy ra $\widehat{EAC}=\widehat{BDF}$

(Do BC ∕∕ EF thì $sd\stackrel{⏜}{FB}=sd\stackrel{⏜}{EC}$ hay FB = EC)

Do AB ∕∕ ED suy ra $\widehat{AFE}=\widehat{BCD}$, suy ra $\widehat{BFD}=\widehat{ACE}$

(Do AB ∕∕ ED thì $sd\stackrel{⏜}{AE}=sd\stackrel{⏜}{BD}$ hay AE = BD)

Từ đây, ta xét ∆AEC và ∆BFD, có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{AEC}=180°-\widehat{EAC}-\widehat{ACE}\\ FBD=180°-\widehat{BFD}-\widehat{BDF}\end{array}\right.$.

Suy ra $\widehat{FBD}=\widehat{AEC}$, do đó $sd\stackrel{⏜}{FD}=sd\stackrel{⏜}{EC}$

Suy ra $\widehat{ADC}=\widehat{DAF}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song, ba điểm thẳng hàng dựa vào tính chất góc nội tiếp
• Chứng minh hai biểu thức tích bằng nhau
• Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác đều
• Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông
• Tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---