Một số bài toán thực tế liên quan đến hình nón lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến hình nón lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến hình nón.

Một số bài toán thực tế liên quan đến hình nón lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để giải bài toán thực tế liên quan đến hình nón, trước hết ta cần xác định được các yếu tố cơ bản của hình nón, sau đó sử dụng các công thức tính diện tích, thể tích kết hợp cùng định lý Pythagore, … để giải quyết bài toán.

Cho hình nón có bán kính đáy r, đường sinh l và chiều cao h, lúc này:

− Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\frac{1}{2}C\cdot l=\pi rl.$

− Diện tích toàn phần của hình nón là S_tp = S_xq + S_đáy = πrl + πr² = πr(l + r).

− Thể tích của hình nón là $V=\frac{1}{3}{S}_{day}\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

− Hình nón và hình trụ có cùng chiều cao h và cùng bán kính đáy r thì V_nón = $\frac{1}{3}$V_trụ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính diện tích bìa cần dùng (theo cm²) để làm một chiếc mũ sinh nhật có dạng hình nón như hình vẽ bên dưới đây với đường kính đáy 22 cm và chiều cao 18 cm (bỏ qua các mép nối và phần thừa, làm tròn đến kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Bán kính đáy r = 22 : 2 = 11 (cm).

Tam giác SOA vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

SA² = SO² + OA² = 18² + 11² suy ra SA = $\sqrt{{18}^2+{11}^2}=21$ (cm).

Đường sinh của hình nón là l = SA = 21 (cm).

Diện tích bìa cần dùng chính là diện tích xung quanh của hình nón.

Do đó, diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = π.11.21 = 231π (cm²) ≈ 726 (cm²).

Ví dụ 2. Phần mái lá của một ngôi nhà hình nón (không có đáy) với đường kính là khoảng 12 m và độ dài đường sinh khoảng 8,5 m. Chi phí để làm phần mái đó là 250 000 đồng/1m². Hỏi tổng chi phí để làm toàn bộ phần mái nhà đó là bao nhiêu đồng lấy π ≈ 3,14 và làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)?

Hướng dẫn giải

Bán kính đáy r = $\frac{12}{2}=6$ (m).

Độ dài đường sinh của hình nón là l = 8,5 m.

Diện tích xung quanh của hình nón là S_xq = πrl = π.6.8,5 = 51π (m²).

Tổng chi phí để làm toàn bộ phần mái nhà hình nón là:

51π.250 000 = 12 750π ≈ 40 055,306 (đồng).

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Một chiếc nón lá có dạng hình nón với đường kính khoảng 44 cm và cao 20 cm. Hỏi diện tích xung quanh của chiếc nón đó bằng bao nhiêu centimet vuông?

A. $44\sqrt{221}\pi$ (cm²),

B. $40\sqrt{221}$ (cm²).

C. $44\sqrt{221}$ (cm²).

D. $40\sqrt{221}\pi$ (cm²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính đáy của chiếc nón là: r = 44 : 2 = 22 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore,

ta có: BC² = AB² + CA² = 20² + 22²

suy ra BC = $\sqrt{{20}^2+{22}^2}=2\sqrt{221}$ (cm).

Độ dài đường sinh của hình nón là $BC=2\sqrt{221}$ cm.

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = π.22. $2\sqrt{221}$ = $44\pi \sqrt{221}$ (cm²) .

Câu 2. Người ta đổ muối thu hoạch được trên cánh đồng muối thành từng đống có dạng hình nón với chiều cao khoảng 0,9 m và đường kính đáy khoảng 1,6 m. Hỏi mỗi đống có bao nhiêu mét khối muối?

A. $\frac{24\pi }{25}$ (cm³).

B. $\frac{24\pi }{125}$ (m³).

C. $\frac{24\pi }{5}$ (cm³).

D. $\frac{72\pi }{125}$ (cm³).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính của mỗi đống muối này là: 1,6 : 2 = 0,8 (m).

Thể tích mỗi đống muối là: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi .{\left(0,8\right)}^2.0,9=\frac{24\pi }{125}$ (m³).

Sử dụng dữ liệu của bài Toán dưới đây để trả lời Câu 3, 4.

Chú Hề trên sân khấu thường có trang phục như Hình a. Mũ của chú Hề có dạng hình nón. Có thể mô phỏng cấu tạo, kích thước chiếc mũ của chú Hề như Hình b.

Câu 3. Để phủ kín mặt ngoài của chiếc mũ của chú Hề như hình b cần bao nhiêu centimet vuông giấy màu? (không tính phần mép dán và không phủ giấy lên phần vành mũ, kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

A. 942,4 cm².

B. 942,5 cm².

C. 924, 4 cm².

D. 924,5 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi h là chiều cao, r là bán kính đáy, l là đường sinh chiếc mũ.

Bán kính đáy chiếc mũ là: r = (26 – 3.2) : 2 = 10 (cm).

Mặt ngoài là diện tích xung quanh của chiếc mũ (không kể phần vành).

Do đó, S_xq = πrl = π.10.30 ≈ 942, 5 (cm²).

Câu 4. Hỏi thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ chú hề ở hình b bằng bao nhiêu centimet khối ?(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

A. 3961,9 (cm³).

B. 2961 cm³.

C. 2962 cm³.

D. 2961,9 cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chiều cao ở phần có dạng hình nón ở chiếc mũ chú hề là:

h = $\sqrt{{30}^2-{10}^2}=20\sqrt{2}$ (cm).

Thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ chú hề là:

V = $\frac{1}{3}.\pi r^{2}h=\frac{1}{3}.\pi {.10}^2.20\sqrt{2}\approx 2961,9$ (cm³).

Câu 5. Một chiếc nón có đường kính đáy bằng 28 cm và đường sinh bằng 30 cm. Tính diện tích lá dùng để làm nón, biết tỉ lệ hao hụt là 10% và lấy π = 3,14 cm².

A. 1 318,8 cm².

B. 1 450,68 cm².

C. 1 451 cm².

D. 1450 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì chiếc nón hình nón có bán kính đáy R = 28 : 2 = 14 (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = 3,14.14.30 = 1318,8 (cm²).

Vậy diện tích lá dùng để làm nón là:

110%.1318,8 = 1450,68 (cm²).

Câu 6. Một chiếc nón do một làng nghề ở Việt Nam sản xuất là hình nón có đường sinh bằng 30 cm, đường kính đáy bằng 40 cm. Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung quanh của nón. Tính diện tích lá cần dùng làm 500 chiếc nón.

A. 60 000π cm².

B. 600 000π cm².

C. 6 000π cm².

D. 300 000π cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính đáy là: 40 : 2 = 20 (cm).

Diện tích xung quanh của chiếc nón là:

S_xq = πrl = π.20.30 = 600π (cm²).

Vì người ta cần dùng hai lớp lá để phủ mặt xung quanh nón nên diện tích lá cần dùng cho một chiếc nón là: 2.600π = 1200π (cm²).

Vậy diện tích lá cần dùng để làm 500 chiếc nón là:

1200π.500 = 600 000π (cm²).

Câu 7. Lượng nguyên liệu cần dùng để làm ra một chiếc nón lá được ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh của mặt nón. Cứ 1 kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là 6,13 m². Hỏi nếu muốn làm ra 1 000 chiếc nón lá giống nhau có đường vành nón là 50 cm, chiều cao 30 cm thì cần bao nhiêu khối lượng lá? (coi mỗi chiếc nón có hình dạng là một hình nón, làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 50 kg.

B. 51 kg.

C. 49 kg.

D. 52 kg.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy là: R = 50 : 2 = 25 (cm) = 0,25 (m).

Đường cao của hình nón h = 30 cm = 0,3 m.

Gọi l là chiều cao của hình nón

Do đó, l = $\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{0,{25}^2+0,3^2}=\frac{\sqrt{61}}{20}$ (m).

Diện tích xung quanh của một chiếc nón lá là

S_xq = πrl = π.0,25. $\frac{\sqrt{61}}{20}$ = $\frac{\pi \sqrt{61}}{80}$ (m²).

Tổng diện tích xung quanh của 1000 chiếc nón là:  

S = 1000. $\frac{\pi \sqrt{61}}{80}$ = $\frac{25\pi \sqrt{61}}{2}$ (m²).

Do đó, khối lượng lá cần dùng là: $\frac{S}{6,13}=\frac{25\pi \sqrt{61}}{2}:6,13\approx 50$(kg).

Câu 8. Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu là 10 cm.

 Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược lên thì chiều cao của cột nước trong phễu bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A. 1 cm.

B. 0,87 cm.

C. 0,8 cm.

D. 0,9 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi R là bán kính đáy của cái phễu ta có $\frac{R}{2}$ là bán kính của đáy chứa cột nước.

Thể tích phần nón chứa nước là: $\frac{1}{3}\pi .{\left(\frac{R}{2}\right)}^2.10=\frac{5\pi R^2}{6}$.

Thể tích cái phễu hình nón đó là: $\frac{1}{3}\pi .R^2.20=\frac{20\pi R^2}{3}$.

Do đó, thể tích phần phễu không chứa nước là:

V = $\frac{20\pi R^2}{3}-\frac{5\pi R^2}{6}=\frac{35\pi R^2}{6}$.

Khi lật ngược phễu. Gọi h là chiều cao của cột nước trong phễu.

Chiều cao của phần phễu không chứa nước là: 20 – h (cm).

Áp dụng định lí Thalès, ta tính được bán kính R₁ của phần nón không chứa nước.

$\frac{20-h}{20}=\frac{R_1}{R}$ nên R₁ = $\frac{R.\left(20-h\right)}{20}$.

Phần thể tích nón không chứa nước là:

V = $\frac{1}{3}\pi .\left(20-h\right).{\left[\frac{R.\left(20-h\right)}{20}\right]}^2=\frac{1}{1200}\pi {\left(20-h\right)}^3.R^2$.

Ta có: $\frac{35\pi R^2}{6}=\frac{1}{1200}\pi {\left(20-h\right)}^3.R^2$ hay (20 – h)³ = 7000.

Do đó, h = 20 – $\sqrt[3]{7000}$ ≈ 0,87 (cm).

Câu 9. Hai hình nón bằng nhau có chiều cao bằng 2 dm được đặt như hình vẽ bên (mỗi hình đều đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới). Lúc đầu, hình nón trên chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nước. Sau đó, nước được chảy xuống hình nón dưới thông qua lỗ trống ở đỉnh của hình nón trên.

Hãy tính chiều cao của nước trong hình nón dưới tại thời điểm khi mà chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

A. 7.

B. $\sqrt[3]{7}$.

C. $\sqrt[3]{9}$.

D. 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi a là bán kính đáy hình tròn.

V₁, V₂ lần lượt là thể tích của hình nón trên lúc chứa đầy nước và chiều cao của nước bằng 1 dm.

h, V₃ lần lượt là chiều cao của nước, thể tích của hình nón dưới khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

R, r lần lượt là bán kính của hình nón trên của nước, bán kính của hình nón dưới của nước khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

Ta có:$\frac{R}{a}=\frac{1}{2}$ nên $R=\frac{a}{2}$.

Thể tích nước của hình nón khi chiều cao bằng 1 là:

V₂ = $\frac{1}{3}.h.\pi .{\left(\frac{h}{2}a\right)}^2=\frac{\pi a^2{h}^3}{12}$.

Mặt khác, $\frac{r}{a}=\frac{h}{2}$ nên r = $\frac{ah}{2}$.

Do đó, thể tích nước hình nón dưới là V₃ = $\frac{1}{3}\mathrm{.2.}\pi a^2$.

Ta có: V₃ = V₁ – V₂ hay $\frac{\pi a^2{h}^3}{12}=\frac{2\pi a^2}{3}-\frac{\pi a^2}{12}$ suy ra h³ + 1 = 8 nên h = $\sqrt[3]{7}$

Câu 10. Bác Bình có một đống cát dạng hình nón cao 2 m và đường kính đáy là 6 m. Bác tính rằng sửa xong ngôi nhà của mình cần 30 m³ cát. Hỏi bác Bình cần bổ sung bao nhiêu m³ cát nữa để đủ cát sửa nhà. (Lấy π ≈ 3,14 m³).

A. 16,11 m³.

B. 12 m³.

C. 6 m³.

D. 11,16 m³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thể tích đống cát của bác Bình là: $\frac{1}{3}.\pi \mathrm{.2.}{\left(6:2\right)}^2=6\pi \approx 18,84$ (m³).

Số mét khối cát bác Bình cần bổ sung là: 30 – 18,84 = 11,16 (m³).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình trụ, hình nón
• Nhận biết hình cầu và xác định tâm, bán kính của hình cầu
• Tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu
• Một số bài toán thực tế liên quan đến hình cầu
• Tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình cầu

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---