Tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu.

Tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

+ Diện tích mặt cầu có bán kính R là: S_mc = 4πR².

Khi đó, bán kính của hình cầu là: $R=\sqrt{\frac{S_{mc}}{4\pi }}.$

+ Thể tích của hình cầu có bán kính R là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3.$

Khi đó, bán kính của hình cầu là: $R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}.$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một quả bóng bàn dạng một hình cầu có bán kính bằng 2 cm. Tính diện tích bề mặt của quả bóng bàn đó (lấy π = 3,14).

Hướng dẫn giải

Diện tích bề mặt của quả bóng đó là: S = 4πR² = 4π.2² = 16π (cm²).

Ví dụ 2. Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu.

Hướng dẫn giải

Theo đề, diện tích mặt cầu bằng thể tích nên ta có: 4πR² = $\frac{4}{3}$πR³ suy ra R = 3.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hình cầu có đường kính d = 6 cm. Diện tích mặt cầu là

A. 36π (cm²).

B. 9π (cm²).

C. 12π (cm²).

D. 36 (cm²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính mặt cầu là:  6 : 2 = 3 (cm).

Diện tích mặt cầu là: S = 4πr² = 4.π.3² = 36π (cm²).

Câu 2. Cho mặt cầu có thể tích V = 288π (cm³). Tính đường kính mặt cầu.

A. 6 cm.

B. 12 cm.

C. 8 cm.

D. 16 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có: V = 288π (cm³) nên $\frac{4}{3}$πR³ = 288π hay R³ = 216, do đó R = 6 (cm).

Câu 3. Thể tích của quả bóng nhựa hình cầu với đường kính 10 cm là

A. $\frac{4000}{3}$ cm³.

B. $\frac{500}{3}$ cm³.

C. $\frac{4000\pi }{3}$ cm³.

D. $\frac{500\pi }{3}$ cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bán kính quả bóng nhựa đó là: 10 : 2 = 5 (cm).

Thể tích khối cầu đó là: V = $\frac{4}{3}$πR³ = $\frac{500\pi }{3}$ (cm³)

Câu 4. Một quả bóng rổ (khi bơm căng) có đường kính 24 cm. Tìm thể tích của quả bóng rổ đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 7238 cm³.

B. 7239 cm³_.

C. 7237 cm³.

D. 7328 cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính của quả bóng rổ đó là: 24 : 2 = 12 (cm)

Thể tích của quả bóng rổ đó là: $\frac{4}{3}$π.12³ ≈ 7238 cm³.

Câu 6. Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 8 cm, đường cao AH. Khi đó thể tích hình cầu tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.

A. $\frac{\pi a^3}{54}.$

B. $\frac{\pi \sqrt{3}{a}^3}{72}.$

C. $\frac{\pi \sqrt{3}{a}^3}{54}.$

D. $\frac{\pi a^3}{72}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì ABC là tam gúa đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.

Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp R = OH = $\frac{AH}{3}.$

Xét tam giác ABH có: AH²  = AB² – BH² = a² – ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$.

Suy ra R = $\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R = $\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Do đó, V = $\frac{4}{3}$π. ${\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^3=\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{54}$

Câu 7. Cho một tam giác ABC đều có cạnh AB = 12 cm, đường cao AH. Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.

A. $32\sqrt{3}.$

B. $16\pi \sqrt{3}.$

C. $8\pi \sqrt{3}.$

D. $32\pi \sqrt{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì ∆ABC là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.

Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp là R = OH = $\frac{AH}{3}$.

Xét tam giác vuông AH² = AB² – BH² = 12² – ${\left(\frac{12}{2}\right)}^2$ = 108, suy ra AH = $6\sqrt{3}$ cm.

Suy ra R = $\frac{AH}{3}=2\sqrt{3}$ cm.

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R = $2\sqrt{3}$ suy ra V = = $\frac{4}{3}$π. ${\left(2\sqrt{3}\right)}^3=32\pi \sqrt{3}$ (cm³).

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng 6 cm. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay quanh nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC.

A. 72 (cm²).

B. 18π (cm²).

C. 36π (cm²).

D. 72π (cm²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác ABC vuông tại A nên có đường tròn ngoại tiếp đường kính BC.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = $\frac{BC}{2}$.

Theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 2.6² nên BC = $6\sqrt{2}$ cm.

Suy ra R = $\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ cm.

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC ta được hình cầu có bán kính R = $3\sqrt{2}$ nên diện tích mặt cầu là:

S = 4πR² = 4π.${\left(3\sqrt{2}\right)}^2$ = 72π (cm²).

Câu 9. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm, AD = 6 cm. Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC

A. 50π (cm²).

B. 100π (cm²).

C. 100 (cm²).

D. 25π (cm²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi O là tâm của hình chữ nhật, do đó ta có OA = OB = OC = OD.

Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

Khi đó, bán kính đường tròn là R = OA = $\frac{AC}{2}$.

Ta có, DC = AB = 6 cm.

Theo định lý Pythagore vào tam giác ADC, ta có:

AC² = AD² + DC² = 6² + 8² = 100 nên AC = 10 cm.

Do đó, bán kính đường tròn R = 5 cm.

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = 5 cm.

Diện tích mặt cầu là: S = 4πR² = 4π.5² = 100π (cm²).

Câu 10. Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích toàn phần của hình lập phương là 24 cm² thì diện tích mặt cầu là

A. 4π.

B. 4.

C. 2π.

D. 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích một mặt của hình lập phương đó là: 24 : 6 = 4 (cm²).

Suy ra độ dài cạnh của hình lập phương đó là: $\sqrt{4}=2$ (cm).

Nhận thấy cạnh của hình lập phương có độ dài bằng đường kính của mặt cầu.

Suy ra bán kính của mặt cầu là: 2 : 2 = 1 (cm).

Diện tích của mặt cầu là 4π.1² = 4π (cm²).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Một số bài toán thực tế liên quan đến hình nón
• Tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình trụ, hình nón
• Nhận biết hình cầu và xác định tâm, bán kính của hình cầu
• Một số bài toán thực tế liên quan đến hình cầu
• Tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình cầu

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---