Tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình trụ, hình nón lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình trụ, hình nón lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình trụ, hình nón.

Tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình trụ, hình nón lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình trụ, hình nón, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Xác định bán kính, chiều cao, đường sinh của hình nón, hình trụ.

Bước 2. Sử dụng công thức tính diện tích, thể tích, … để tính các đại lượng của từng bộ phận của hình hỗn hợp rồi cộng vào (hoặc trừ đi), từ đó giải quyết yêu cầu bài toán.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một hình trụ có bán kính bằng 2 cm và chiều cao bằng 4 cm.

Người ta khoan đi một phần có dạng hình nón như hình vẽ thì thể tích phần còn lại của hình trụ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Thể tích hình trụ là: V = π.2².4 = 16π (cm³).

Thể tích hình nón được khoan là: $\frac{1}{3}.\pi {.2}^2.4=\frac{16\pi }{3}$ (cm³).

Thể tích phần còn lại của hình trụ là: 16π – $\frac{16\pi }{3}$= $\frac{32\pi }{3}$ (cm³).

Ví dụ 2. Từ một khúc gỗ hình trụ cao 15 cm, người ta tiện thành một hình nón (như hình vẽ). Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là 640π cm³.

Tính thể tích của khúc gỗ hình trụ.

Hướng dẫn giải

Nhận thấy hình nón có bán kính đáy và chiều cao bằng bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Do đó, thể tích hình trụ là: V = πr²h.

Thể tích hình nón là: V₁ = $\frac{1}{3}$ πr²h.

Suy ra thể tích phần gỗ bỏ đi là: V – V₁ = πr²h – $\frac{1}{3}$ πr²h = $\frac{2}{3}$ πr²h.

Mà thể tích phần còn lại là 640π cm³ và chiều cao là 15 cm.

Suy ra $\frac{2}{3}$ πr².15 = 640π suy ra r = 8 (cm).

Thể tích của khúc gỗ hình trụ là: πr²h = 960π (cm³).

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Từ một khúc gỗ hình trụ cao 15 cm, người ta tiện thành một hình nón (như hình vẽ). Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là 640π cm³.

Tính diện tích xung quanh của hình nón.

A. 136π cm².

B. 120π cm².

C. 272π cm².

D. 163π cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nhận thấy hình nón có bán kính đáy và chiều cao bằng bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Do đó, thể tích hình trụ là: V = πr²h.

Thể tích hình nón là: V₁ = $\frac{1}{3}$ πr²h.

Suy ra thể tích phần gỗ bỏ đi là: V – V₁ = πr²h – $\frac{1}{3}$ πr²h = $\frac{2}{3}$ πr²h.

Mà thể tích phần còn lại là 640π cm³ và chiều cao là 15 cm.

Suy ra $\frac{2}{3}$ πr².15 = 640π suy ra r = 8 (cm).

Độ dài đường sinh là: l = $\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{{15}^2+8^2}=17$ l">Diện tích xung quanh của hình nón là: S_xq = πrl = 8.17.π = 136π (cm²).

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Câu 2, 3.

Từ một khúc gỗ hình trụ cao 24 cm, người ta tiện thành một hình nón (như hình vẽ). Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là 960π cm³.

Câu 2. Tính diện tích xung quanh của khúc gỗ hình nón.

A. 4π cm².

B. $4\sqrt{2385}$  cm².

C. $4\sqrt{2385}\pi$ cm².

D. 2385π cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy hình nón có bán kính đáy và chiều cao bằng bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Do đó, thể tích hình trụ là: V = πr²h.

Thể tích hình nón là: V₁ = $\frac{1}{3}$ πr²h.

Suy ra thể tích phần gỗ bỏ đi là: V – V₁ = πr²h – $\frac{1}{3}$ πr²h = $\frac{2}{3}$ πr²h.

Mà thể tích phần còn lại là 960π cm³ và chiều cao là 24 cm.

Suy ra $\frac{2}{3}$ πr².24 = 960π suy ra r = $2\sqrt{15}$ (cm).

Độ dài đường sinh của hình nón là: l = $\sqrt{60+{24}^2}=\sqrt{636}$ (cm)

Diện tích xung quanh của khúc gỗ hình nón là:

S_xq = πrl = π.$2\sqrt{15}$. $\sqrt{636}$  = 4π$\sqrt{2385}$ (cm²).

Câu 3. Tính thể tích của khúc gỗ hình trụ.

A. 960π cm³.

B. 720π cm³.

C. 1920π cm³.

D. 1440π cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nhận thấy hình nón có bán kính đáy và chiều cao bằng bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Do đó, thể tích hình trụ là: V = πr²h.

Thể tích hình nón là: V₁ = $\frac{1}{3}$ πr²h.

Suy ra thể tích phần gỗ bỏ đi là: V – V₁ = πr²h – $\frac{1}{3}$ πr²h = $\frac{2}{3}$ πr²h.

Mà thể tích phần còn lại là 960π cm³ và chiều cao là 24 cm.

Suy ra $\frac{2}{3}$ πr².h = 960π hay πr².h = 960π : $\frac{3}{2}=1440\pi$ (cm³).

Câu 4. Một khối đồ chơi gồm một khối hình trụ (T) gắn chồng lên một khối hình nón (N), lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r₁, h₁, r₂, h₂ thỏa mãn r₂ = 2r₁, h₁ = 2h₂ (hình vẽ). Biết rằng thể tích của hình nón (N) bằng 20 cm³.

 Tính thể tích của toàn bộ khối đồ chơi.

A. 30 cm³.

B. 50 cm³.

C. 60 cm³.

D. 90 cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có, thể tích khối nón là: V_nón = $\frac{1}{3}\pi .r_2^2.h_2=20$  suy ra $\pi .r_2^2.h_2=60$

Mà , ta có: r₂ = 2r₁, h₁ = 2h₂ nên $\pi .r_2^2.h_2=\pi {\left(2r_1\right)}^2.\frac{h_1}{2}=2\pi r_1^2{h}_1=60$ .

Do đó, thể tích khối hình trụ là V_trụ = $\pi r_1^2{h}_1$ = 60 : 2 = 30 (cm³).

Do đó, thể tích toàn bộ khối đồ chơi là 30 + 20 = 50 (cm³).

Sử dụng dữ liệu của bài toán dưới đây để trả lời Câu 5, 6.

Cho hình trụ (T) có hai đáy là hình tròn (O; R) và (O'; R) và hình nón (N) có đỉnh là O', đáy là hình tròn (O; R). Từ miếng xốp hình trụ (T), người ta gọt bỏ để tạo thành khối xốp hình nón (N). Biết R = 3 cm và OO' = 4 cm.

Câu 5. Tính thể tích phần bị gọt bỏ đi.

A. 36π cm³.

B. 12π cm³.

C. 20π cm³.

D. 24π cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thể tích khối trụ (T) là: V_T = πr².h = π.3².4 = 36π (cm³).

Thể tích khối xốp hình nón là V_n = $\frac{1}{3}$ πr²h = $\frac{1}{3}$ .π.3².4 = 12π (cm³).

Vậy thể tích phần xốp bị gọt bỏ là: 36π − 12π =24π (cm³).

Câu 6. Nếu tăng gấp đôi bán kính R thì thể tích hình trụ (T) và hình nón (N) thay đổi như thế nào?

A. Thể tích hình nón và hình trụ đều tăng lên 4 lần.

B. Thể tích hình nón và hình trụ đều tăng lên 2 lần.

C. Thể tích hình nón tăng 2 lần và thể tích hình trụ tăng 4 lần.

D. Thể tích hình nón tăng 4 lần và thể tích hình nón tăng 2 lần.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Thể tích hình trụ với bán kính R là: V_T = $\frac{1}{3}$OO'.π.R² .

Thể tích hình trụ với bán kính R' là V_T' = $\frac{1}{3}$OO'.π.(2R)² = 4V_T.

Do đó, khi tăng gấp đôi bán kính R thì thể tích hình trụ tăng lên 4 lần.

Thể tích hình nón với bán kính R là: V_n =  $\frac{1}{3}$OO'.π.R²

Thể tích hình nón với bán kính R' là: V_n' = $\frac{1}{3}$OO'.π.(2R)² = 4V_n.

Do đó, khi tăng gấp đôi bán kính R thì diện tích hình nón cũng tăng 4 lần.

Sử dụng dữ liệu của bài toán dưới đây để trả lời Câu 7, 8, 9.

Cho một khối xốp hình nón có đường kính đáy bằng 18 cm và độ dài từ đỉnh đến một điểm trên đường tròn đáy bằng 15 cm. Cắt chỏm của khối xốp sao cho phần còn lại là hình nón cụt có chiều cao bằng một nửa chiều cao của hình nón ban đầu.

Câu 7. Thể tích của hình nón là

A. 405 cm³.

B. 405π cm³.

C. 324 cm³.

D. 324 π cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bán kính đáy của hình nón là: 18 : 2 = 9 cm.

Ta có độ dài đường sinh là 15 cm.

Do đó, đường cao của hình nón là: h = $\sqrt{l^{\text{?}}-r^2}=\sqrt{{15}^2-9^2}=12$ (cm).

Thể tích của hình nón là: $\frac{1}{3}$ .π.r².h = 324π (cm³)

Câu 8. Thể tích khối nón bị cắt là

A. $\frac{81}{2}$  cm³.

B. 162π cm³.

C. 162 cm³.

D. $\frac{81\pi }{2}$  cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chiều cao của hình nón bị cắt là: 12 : 2 = 6 (cm).

Bán kính của hình nón bị cắt cũng bằng $\frac{1}{2}$  bán kính hình nón ban đầu và bằng:

9 : 2 = 4,5 (cm)

Thể tích của hình nón bị cắt là $\frac{1}{3}$ .π.4,5².6 = $\frac{81\pi }{2}$  cm³.

Câu 9. Khối trụ có đáy là hình tròn (I, IB) chiều cao IO nên có thể tích là

A. $\frac{81\pi }{2}$ cm³.

B. $\frac{243}{2}$ cm³.

C. 486π cm³.

D. $\frac{243\pi }{2}$ cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khối trụ có đáy là hình tròn (I, IB) chiều cao IO có bán kính là r = 4,5 cm.

Chiều cao IO = 12 – 6 = 6 (cm).

Do đó, diện tích hình trụ đó là: V = πr²h = π.4,5².6 = $\frac{243\pi }{2}$ cm³.

Câu 10. Cho một dụng cụ đựng chất lỏng được tạo bởi một hình trụ và hình nón được lặp đặt như hình bên. Bán kính đáy hình nón bằng bán kính đáy hình trụ. Chiều cao hình trụ bằng  chiều cao hình nón và bằng h. Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao bằng $\frac{1}{24}$  chiều cao hình trụ. Lật ngược dụng cụ theo phương vuông góc với mặt đất.

 Tính độ cao phần chất lỏng trong hình nón theo h.

A. h.

B. $\frac{h}{3}$ .

C.$\frac{h}{2}$ .

D. 2h.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thể tích chất lỏng V = πr². $\frac{1}{24}$.h = $\frac{1}{24}$ πr²h.

Khi lật ngược bình, thể tích phần hình nón chứa chất lỏng là V' = $\frac{1}{3}$ πr'²h'.

Mà $\frac{r^{\text{'}}}{r}=\frac{h^{\text{'}}}{h}$  nên $r^{\text{'}}=\frac{h^{\text{'}}}{h}.r$ .

Do đó,$V^{\text{'}}=\frac{1}{3}\pi .{\left(\frac{h^{\text{'}}}{h}.r\right)}^2.h^{\text{'}}=\frac{1}{3}\pi r^2\frac{{h^{\text{'}}}^3}{h^2}$ .

Theo đề bài, ta có: V' = V.

Do đó, $\frac{1}{24}$ πr²h = $\frac{1}{3}\pi r^2\frac{{h^{\text{'}}}^3}{h^2}$  hay h' = $\frac{h}{2}$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Một số bài toán thực tế liên quan đến hình nón
• Nhận biết hình cầu và xác định tâm, bán kính của hình cầu
• Tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu
• Một số bài toán thực tế liên quan đến hình cầu
• Tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình cầu

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---