Tính bán kính đáy, chiều cao, đường sinh, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính bán kính đáy, chiều cao, đường sinh, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính bán kính đáy, chiều cao, đường sinh, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.

Tính bán kính đáy, chiều cao, đường sinh, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Hình nón có bán kính đáy r, đường sinh l và chiều cao h thì:

+ Diện tích xung quanh của hình nón bằng nửa tích của chu vi đáy với độ dài đường sinh.

$S_{xq}=\frac{1}{2}C\cdot l=\pi rl.$

Khi đó:

⦁ Bán kính đáy của hình nón là: $r=\frac{S_{xq}}{\pi l}.$

⦁ Đường sinh của hình nón là: $l=\frac{S_{xq}}{\pi r}=\frac{2S_{xq}}{C}.$

+ Thể tích của hình nón bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao.

$V=\frac{1}{3}{S}_{day}\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

Khi đó:

⦁ Bán kính đáy của hình nón là: $r=\sqrt{\frac{3V}{\pi h}}.$

⦁ Chiều cao của hình nón là: $h=\frac{3V}{\pi r^2}=\frac{3V}{S_{day}}.$

Chú ý:

+ Tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy của hình nón gọi là diện tích toàn phần của hình nón đó.

+ Diện tích toàn phần của hình nón: S_tp = S_xq + S_đáy = πrl + πr² = πr(l + r).

+ Hình nón và hình trụ có cùng chiều cao h và cùng bán kính đáy r thì: V_nón = $\frac{1}{3}$V_trụ.

+ Độ dài cung của hình quạt là ℓ, bán kính hình quạt là R, ta có diện tích hình quạt là:

$S=\frac{\mathcal{l}R}{2}$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cắt mặt xung quanh của một hình nón có đường sinh dài 6 cm, bán kính đáy 2 cm dọc theo đường sinh SA của nó tồi trải phẳng ra, ta được hình khai triển của hình nón đó.

a) Tính chu vi đáy của hình nón rồi cho biết độ dài cung ứng với hình quạt ở Hình b.

b) Tính diện tích của hình quạt tròn khai triển trong Hình b.

Hướng dẫn giải

a) Chu vi đáy của hình nón 2πR = 2π.2 = 4π.

Độ dài cung AB của hình quạt là 4π (cm).

b) Diện tích của hình quạt là $S=\frac{\mathcal{l}R}{2}=\frac{4\pi .6}{2}=12\pi$ (cm²).

Ví dụ 2. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón có đường kính đáy d = 10 m và chiều cao h = 12 m.

Hướng dẫn giải

Bán kính của hình nón là: 10 : 2 = 5 (m).

Độ dài đường sinh của hình nón đó là: $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{5^2+{12}^2}=13$ (m).

Diện tích xung quanh của hình nón là: s_xq = πrl = 5.13.π = 65π (m²).

Diện tích mặt đáy là: S = πr² = 25π (m²).

Do đó, diện tích toàn phần của hình nón là: 65π + 25π = 90π (m²).

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hình nón có bán kính đáy R = 3 (cm) và chiều cao h = 4 (cm). Diện tích xung quanh của hình nón là

A. 25π (cm²).

B. 12π (cm²).

C. 20π (cm²).

D. 15π (cm²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Độ dài đường sinh là: $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Ta có S_xq = πrl = π.3.5 = 15π cm².

Câu 2. Cho hình nón có đường kính đáy d = 10 cm và diện tích xung quanh bằng 65π (cm²). Tính thể tích của khối nón.

A. 100π (cm³).

B. 120π (cm³).

C. 300π (cm³).

D. 200π (cm³).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính của hình nón là: 10 : 2 = 5 (cm).

Độ dài đường sinh là: 65π : 5π = 13 (cm).

Chiều cao của hình nón là: $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=12$ cm.

Thể tích của hình nón đó là: $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.5}^2.12=100\pi$ (cm³).

Câu 3. Cho hình nón có đường kính đáy d = 18 cm và diện tích xung quanh 135π (cm²). Tính thể tích khối nón.

A. 972π (cm³).

B. 324π (cm³).

C. 324π (cm³).

D. 234π (cm³).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bán kính đáy của hình nón là: 18 : 2 = 9 cm.

Đường sinh của hình nón là: 135π : 9π = 15 (cm).

Do đó, chiều cao của hình nón là: $h=\sqrt{{15}^2-9^2}=12$ cm.

Thể tích của khối nón là: $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.9}^2\mathrm{.12.}=324\pi$ (cm³).

Câu 4. Cho hình nón có chiều cao h = 10 cm và thể tích V = 1 000π (cm³). Tính diện tích toàn phần của hình nón.

A. 100π (cm²).

B. (300 + $200\sqrt{3}$)π (cm²).

C. 300π (cm²).

D. 250π (cm²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính đáy của hình nón là: $r=\sqrt{3000\pi :10\pi }=10\sqrt{3}$ cm.

Đường sinh của hình nón là: $l=\sqrt{{\left(10\sqrt{3}\right)}^2+{10}^2}=20$ cm.

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = πr(l + r) = π.$10\sqrt{3}$.($10\sqrt{3}$ + 20) = $\left(300+200\sqrt{3}\right)\pi$ cm².

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 20 cm; AC = 12 cm. Quay tam giác ABC cạnh AB ta được một hình nón có thể tích là

A. 2304 cm³.

B. 1024π (cm³).

C. 786π (cm³).

D. 768π (cm³).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB ta được một hình nón có chiều cao AB và bán kính đường tròn đáy là cạnh AC.

Theo định lí Pythagore, ta có:

AB² + AC² = BC² nên AB² = BC² – AC² = 20² – 12² suy ra AB = 16 (cm).

Thể tích của khối nón là: V = $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.12}^2.16=768\pi$ (cm³).

Câu 6. Nếu ta tăng bán kính đáy và chiều cao của một hình nón lên hai lần thì diện tích xung quanh hình nón đó

A. tăng 4 lần.

B. giảm 4 lần.

C. tăng 2 lần.

D. không đổi.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có đường sinh mới là: $l_1=\sqrt{{\left(2h\right)}^2+{\left(2r\right)}^2}=2l$.

Khi đó, diện tích xung quanh mới là: π.(2R).(2l) = 4πrl.

Do đó, diện tích xung quanh của hình nón tăng lên 4 lần.

Câu 7. Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường trung tuyến AM. Quy tam giác ABC quanh cạnh AM. Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo thành.

A. $\frac{3\pi a^2}{2}.$

B. $\frac{3\pi a^2}{4}.$

C. $\frac{\pi a^2}{2}.$

D. $\frac{3{\pi }^{2}a}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC đều có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Ta có: AM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Áp dụng định lí Pythagore, suy ra AM² + MC² = AC² nên 

l = AC = $\sqrt{A{M}^2+M{C}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=a$.

Do đó, diện tích toàn phần của hình tạo thành là:

S_tp = πr(l + r) = π. $\frac{a}{2}.\left(a+\frac{a}{2}\right)$ = $\frac{3\pi a^2}{4}.$

Câu 8. Cho tam giác ABC đều cạnh 4 cm, trung tuyến AM. Quay tam giác ABC quanh cạnh AM. Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo thành (đơn vị cm²).

A. 18π (cm²).

B. 12 (cm²).

C. 12π (cm²).

D. 24π (cm²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC đều có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Ta có: AM = $2\sqrt{3}$ (cm).

Áp dụng định lí Pythagore, suy ra AM² + MC² = AC² nên 

l = AC = $\sqrt{A{M}^2+M{C}^2}=\sqrt{12+4}=4$ (cm).

Do đó, diện tích toàn phần của hình tạo thành là:

S_tp = πr(l + r) = π. $2.\left(4+2\right)$ = 12π (cm²).

Câu 9. Cho một hình quạt tròn có bán kính 20 cm và góc ở tâm là 144°. Người ta uốn hình quạt thành một hình nón. Tính thể tích khối nón đó.

A.  $256\pi \sqrt{21}$ (cm³).

B. $\frac{24\pi \sqrt{21}}{3}$ (cm³).

C. $\frac{256\pi }{3}$(cm³).

D. $\frac{256\pi \sqrt{21}}{3}$ (cm³).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta uốn hình quạt BAC thành hình nón đỉnh A đường sinh AB = 20 cm.

Khi đó, độ dài cung BC chính là chi vi đáy của hình tròn.

Ta có độ dài cung BC là: ℓ_BC = $\frac{\pi \mathrm{.20.144}}{180}=16\pi$.

Khi đó, chu vi đáy của hình nón là: C = 2πr = 16π nên r = 8 cm.

Do đó, h² = l² – r² = 20² – 8² = 336  nên h = $4\sqrt{21}$ cm.

Thể tích khối nón V = $\frac{1}{3}\pi {.8}^2.4\sqrt{21}=\frac{256\pi \sqrt{21}}{3}$(cm³).

Câu 10. Cho một hình quạt tròn có bán kính 12 cm và góc ở tâm là 135°. Người ta uốn hình quạt thành một hình nón. Tính thể tích khối nón đó.

A. $\frac{41\pi \sqrt{55}}{2}$ cm³.

B. $\frac{41\pi \sqrt{55}}{4}$ cm³.

C. $\frac{41\pi \sqrt{55}}{8}$ cm³.

D. $\frac{41\sqrt{55}}{8}$ cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta uốn hình quạt BAC thành hình nón đỉnh A đường sinh AB = 12 cm.

Khi đó, độ dài cung BC chính là chi vi đáy của hình tròn.

Ta có độ dài cung BC là: ℓ_BC = $\frac{\pi \mathrm{.12.135}}{180}=9\pi$.

Khi đó, chu vi đáy của hình nón là: C = 2πR = 9π nên R = $\frac{9}{2}$ cm.

Do đó, h² = l² – R² = 12² – ${\left(\frac{9}{2}\right)}^2$ = 336  nên h = $\frac{3\sqrt{55}}{2}$ cm.

Thể tích khối nón $\frac{1}{3}.\pi .4,5^2.\frac{3\sqrt{55}}{2}=\frac{41\pi \sqrt{55}}{8}$ (cm³).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Một số bài toán thực tế liên quan đến hình nón
• Tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình trụ, hình nón
• Nhận biết hình cầu và xác định tâm, bán kính của hình cầu
• Tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu
• Một số bài toán thực tế liên quan đến hình cầu

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---