Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng - Toán lớp 10



Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

A. Phương pháp giải

Bài toán: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm A. Tìm điểm B là điểm đối xứng với A qua d.

- Bước 1: Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d.

   + Bước 1.1: Gọi tọa độ điểm H(xH; yH).

   Vì điểm H thuộc d nên : axH + byH + c = 0 (1).

   + Bước 1.2: Do AH vuông góc d nên AH là VTPT của d.

   ⇒ AH(xH - xA; yH - yA) và n(a;b) cùng phương

   ⇒ b(xH - xA) - a(yH - yA)= 0 (2)

   + Bước 1.3: giải hệ(1) và (2) ta được tọa độ điểm H.

- Bước 2: H là trung điểm của AB. Từ đó xác định điểm B

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x - y = 0 và điểm M(1; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. (1; 3)    B. (2; 2)    C. ( 3; -1)    D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a - b = 0 (1)

+ Ta có: MH(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên (MH) ⃗ cùng phương nd(1; -1)

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ -a + 1 = b - 3 hay a + b = 4 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Tọa độ điểm H(2; 2).

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0 và điểm M(1; 3). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 2x - y?

A. 1    B. 2    C. 0    D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a + 2b + 4 = 0 (1)

+ Ta có: (MH) ⃗(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH cùng phương nd(1;2)

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ 2a - 2 = b - 3 hay 2a - b = -1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Tọa độ điểm H(-1,2; -1,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy M’(-3,4; - 5,8) ⇒ 2x - y = -1

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: 2x- y= 0 và điểm M(1 ; 0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 4x + 3y?

A. 1    B. 2    C. 0    D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a ; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên 2a- b= 0 (1)

+ Ta có: MH(a - 1; b).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH cùng phương nd(2; -1)

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ -a + 1 = 2b hay a + 2b = 1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Tọa độ điểm H(0,2; 0,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy M’(-0,6; 0,8) ⇒ 4x + 3y = 0

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 và điểm A(2; 0). Tìm điểm đối xứng với điểm A qua d?

A. (2; -1)    B. (-2; -1)    C. (-1; 1)    D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng (d): x + y - 3 = 0 và điểm M(2; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. x + y - 4 = 0    B. x + y - 1 = 0    C. x - y - 1 = 0    D. x - y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT n( 1; 1).

+ Vecto MA( x - 2; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto MAn cùng phương

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ x - 2 = y - 1 hay x - y - 1 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: x- y- 1= 0

Chọn C.

Ví dụ 6. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 2) và C(-2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?

A. G’( - Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ;- Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    B. G’( Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    C. G’( Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. G’( - Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Lời giải

+ ta có: OB(0; 2); OC( -2; 0)

⇒ OB= 2; OC= 2 và OB.OC = 0.(-2) + 2.0 = 0

⇒ OB vuông góc OC và OB= OC

⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.

+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ G(- Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.

⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.

- M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ M(-1; 1)

- M là trung điểm GG’nên tọa độ điểm G’ là:

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ G’( - Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

⇒ Vậy tọa độ điểm G’( - Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng d: x + 4y + 4 = 0 và điểm M(1; 2). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tìm M’?

A. M’( Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    B. M’( Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    C. M’(- Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. M’(- Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a + 4b + 4 = 0 (1)

+ Ta có: MH(a - 1; b - 2).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH cùng phương nd(1;4)

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ 4a - 4 = b - 2 hay 4a – b = 2 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Tọa độ điểm H(Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ).

+ Gọi M’ đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy M’(- Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Chọn D.

Ví dụ 8: Cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và điểm M(1 ;0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tìm tọa độ điểm M’?

A. (0; 2)    B. (-2; 1)    C. (2; 1)    D. (-1; 2)

Lời giải

+ Gọi H(a ; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a+ b- 2= 0 (1)

+ Ta có: MH(a - 1; b).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH cùng phương nd(1 ; 1)

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ a - 1 = b hay a - b = 1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Tọa độ điểm H(1,5; 0,5).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy M’(2; 1)

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho đường thẳng d: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 và điểm A(-2; 1). Tìm điểm đối xứng với điểm A qua d?

A. (2; -1)    B. (-2; -1)    C. (-2; 1)    D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho đường thẳng (d): 2x + 3y - 3 = 0 và điểm M(0; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. 2x + 3y - 4 = 0    B. 3x - 2y + 2 = 0    C. 3x - 2y - 1 = 0    D. 2x - 3y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT n(2; 3).

+ Vecto MA( x; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto MAn cùng phương

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ 3x = 2y - 2 hay 3x - 2y + 2 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: 3x - 2y + 2 = 0

Chọn B.

Ví dụ 11. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 6) và C(-6; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?

A. G’( - Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ;- Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    B. G’( -1; 1)    C. G’(-2; 2)    D. G’(-4; 4)

Lời giải

+ ta có: OB(0; 6); OC( -6; 0)

⇒ OB= 6; OC= 6 và OB.OC = 0.(-6) + 6.0 = 0

⇒ OB vuông góc OC và OB= OC

⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.

+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ G( -2; 2)

+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.

⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.

- M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ M( - 3; 3)

- M là trung điểm GG’nên tọa độ điểm G’ là:

Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ G’ ( -4; 4)

⇒ Vậy tọa độ điểm G’( - 4; 4)

Chọn D.

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 10 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 10 và Hình học 10.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp