Viết phương trình tổng quát của đường thẳng - Toán lớp 10



Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

A. Phương pháp giải

* Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định :

   - Điểm A(x0; y0) thuộc d

   - Một vectơ pháp tuyến n( a; b) của d

Khi đó phương trình tổng quát của d là: a(x-x0) + b(y-y0) = 0

* Cho đường thẳng d: ax+ by+ c= 0 nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c’ = 0 (c’ ≠ c) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đường thẳng đi qua A(1; -2) , nhận n = (1; -2) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

A. x - 2y + 1 = 0.    B. 2x + y = 0    C. x - 2y - 5 = 0    D. x - 2y + 5 = 0

Lời giải

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhận n = (1; -2) làm VTPT

=>Phương trình đường thẳng (d) : 1(x - 1) - 2(y + 2) = 0 hay x - 2y – 5 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua M(1; -3) và nhận vectơ n(1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

A. ∆: x + 2y + 5 = 0    B. ∆: x + 2y – 5 = 0    C. ∆: 2x + y + 1 = 0    D. Đáp án khác

Lời giải

Đường thẳng ∆: qua M( 1; -3) và VTPT n(1; 2)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 1(x - 1) + 2(y + 3) = 0

Hay x + 2y + 5 = 0

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d): x-2y + 1= 0 . Nếu đường thẳng (∆) đi qua M(1; -1) và song song với d thì ∆ có phương trình

A. x - 2y - 3 = 0    B. x - 2y + 5 = 0    C. x - 2y +3 = 0    D. x + 2y + 1 = 0

Lời giải

Do đường thẳng ∆// d nên đường thẳng ∆ có dạng x - 2y + c = 0 (c ≠ 1)

Ta lại có M(1; -1) ∈ (∆) ⇒ 1 - 2(-1) + c = 0 ⇔ c = -3

Vậy phương trình ∆: x - 2y - 3 = 0

Chọn A

Ví dụ 4: Cho ba điểm A(1; -2); B(5; -4) và C(-1;4) . Đường cao AA’ của tam giác ABC có phương trình

A. 3x - 4y + 8 = 0    B. 3x – 4y - 11 = 0    C. -6x + 8y + 11 = 0    D. 8x + 6y + 13 = 0

Lời giải

Ta có BC = (-6; 8)

Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC

⇒ AA' nhận VTPT n = BC = (-6; 8) và qua A(1; -2)

Suy ra phương trình AA’: -6(x - 1) + 8(y + 2) = 0

Hay -6x + 8y + 22 = 0 ⇔ 3x - 4y - 11 = 0.

Chọn B

Ví dụ 5. Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; -3) và có vectơ pháp tuyến n( 1; 5) có phương trình tổng quát là:

A. d: x + 5y + 2 = 0    B. d: x- 5y + 2 = 0    C. x + 5y + 14 = 0    D. d: x - 5y + 7 = 0

Lời giải

Ta có: đường thẳng d: qua A( 1; -3) và VTPT n( 1; 5)

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

1( x - 1) + 5.(y + 3) = 0 hay x + 5y + 14 = 0

Chọn C.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1); B( 4; 5) và C( -3; 2) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

A. 7x + 3y – 11 = 0    B. -3x + 7y + 5 = 0    C. 3x + 7y + 2 = 0    D. 7x + 3y + 15 = 0

Lời giải

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A.

Đường thẳng AH : qua A( 2;-1) và Nhận VTPT BC( 7; 3)

⇒ Phương trình đường cao AH :

7( x - 2) + 3(y + 1) = 0 hay 7x + 3y – 11 = 0

Chọn A.

Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC cân tại A có A(1 ; -2). Gọi M là trung điểm của BC và

M( -2 ; 1). Lập phương trình đường thẳng BC ?

A. x + y - 3 = 0    B. 2x - y + 6 = 0    C. x - y + 3 = 0    D. x + y + 1 = 0

Lời giải

+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao

⇒ AM vuông góc BC.

⇒ Đường thẳng BC nhận AM( -3 ; 3) = -3(1 ; -1) làm VTPT

+ Đường thẳng BC : qua M(-2; 1) và VTPT n( 1; -1)

⇒ Phương trình đường thẳng BC :

1(x + 2) - 1(y - 1) = 0 hay x - y + 3 = 0

Chọn C.

Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC có đường cao BH : x + y - 2 = 0, đường cao CK : 2x + 3y - 5 = 0 và phương trình cạnh BC : 2x - y + 2 = 0. Lập phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC ?

A. x - 3y + 1 = 0    B. x + 4y - 5 = 0    C. x + 2y - 3 =0    D. 2x - y + 1 = 0

Lời giải

+ Gọi ba đường cao của tam giác ABC đồng quy tại P. Tọa độ của P là nghiệm hệ phương trình :

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ P( 1 ; 1)

+Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình :

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ B( 0 ;2)

Tương tự ta tìm được tọa độ C(- Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

+ Đường thẳng AP : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình đường thẳng AP :

1(x - 1) + 2(y - 1) = 0 ⇔ x + 2y - 3 = 0

Chọn C.

Ví dụ 9. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y - 9 = 0 là:

A. 3x + 5y - 7 = 0    B. 3x + 5y = 0    C. 3x - 5y = 0    D. 3x - 5y + 9 = 0

Lời giải

Do đường thẳng d// ∆ nên đường thẳng d có dạng : 3x + 5y + c = 0 ( c ≠ - 9)

Do điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng d nên :

3.0 + 5.0 + c = 0 ⇔ c = 0

Vậy phương trình đường thẳng d: 3x + 5y = 0

Chọn B.

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có B(-2; -4). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình 2x - 3y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng BC?

A. 2x + 3y - 1 = 0    B. 2x - 3y - 8 = 0    C. 2x + 3y - 6 = 0    D. 2x - 3y + 1 = 0

Lời giải

Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ IJ// BC.

⇒ Đường thẳng BC có dạng : 2x - 3y + c = 0 ( c ≠ 1)

Mà điểm B thuộc BC nên: 2.(-2) - 3(-4) + c = 0 ⇔ c = -8

⇒ phương trình đường thẳng BC: 2x - 3y - 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 11. Cho ba đường thẳng (a):3x - 2y + 5 = 0; (b): 2x + 4y - 7 = 0 và

(c): 3x + 4y - 1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của a và b , và song song với c là:

A. 24x + 32y - 53 = 0.    B. 23x + 32y + 53 = 0    C. 24x - 33y + 12 = 0.    D. Đáp án khác

Lời giải

Giao điểm của (a) và ( b) nếu có là nghiệm hệ phương trình :

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ A( Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Ta có đường thẳng d // c nên đường thẳng d có dạng: 3x+ 4y+ c= 0 (c≠-1)

Vì điểm A thuộc đường thẳng d nên : 3.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án + 4.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án + c = 0 ⇔ c= Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy d: 3x + 4y + Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 0 ⇔ d3 = 24x + 32y - 53 = 0

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M( 2 ; 1) và nhận vecto n( -2 ; 1) làm VTPT ?

A. 2x + y - 5 = 0    B. - 2x + y + 3 = 0    C. 2x - y - 4 = 0    D. 2x + y - 1 = 0

Đáp án: B

Trả lời:

Đường thẳng d : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình đường thẳng d : - 2(x - 2) + 1(y - 1) = 0

Hay (d) : -2x + y + 3 = 0.

Câu 2: Cho đường thẳng (a) : 2x+ y- 3=0 và (b) : 3x- 4y+ 1= 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng a và b ; nhận vecto n( 2 ; -3) làm VTPT ?

A. 2x - 3y + 6 = 0    B. -2x - 3y + 6 = 0    C. 2x - 3y + 1 = 0    D. 2x + 3y - 1 =0

Đáp án: C

Trả lời:

+ Giao điểm A của hai đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình :

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ A( 1 ; 1)

+ Đường thẳng (d) : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình đường thẳng d : 2(x - 1) - 3(y - 1) = 0 hay 2x - 3y + 1 = 0.

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1), B(4; 5) và    C( -3; 2) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ B

A. 3x - 5y + 1 = 0    B. 3x + 5y - 20 = 0    C. 3x + 5y - 12 = 0    D. 5x - 3y -5 = 0

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B của tam giác ABC.

Đường thẳng BH : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình đường cao BH :

5(x - 4) – 3(y - 5) = 0 hay 5x - 3y – 5 = 0

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;-1) ; B( 4;5) và   C( -3; 2). Tìm trực tâm tam giác ABC?

A. ( Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    B. ( Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    C. ( Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. ( Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Đáp án: B

Trả lời:

+ Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B của tam giác ABC.

+ Đường thẳng CH : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình đường cao CH :

2(x + 3) + 6(y - 2) = 0 hay 2x + 6y – 6 = 0

⇔ (CH) : x+ 3y – 3= 0

+ Đường thẳng BK : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

=>Phương trình đường cao BK : - 5(x - 4) + 3(y - 5)=0 hay -5x + 3y + 5 = 0.

+ Gọi P là trực tâm tam giác ABC. Khi đó P là giao điểm của hai đường cao CH và BK nên tọa độ điểm P là nghiệm hệ :

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy trực tâm tam giác ABC là P( Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Câu 5: Cho tam giác ABC có A( 2;-1) ; B( 4; 5) và C( -3; 2). Phương trình tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC là:

A. 3x - 7y + 11 = 0.    B. 7x + 3y - 11 = 0    C. 3x - 7y - 13 = 0.    D. 7x + 3y + 13 = 0.

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi AH là đường cao của tam giác.

Đường thẳng AH : đi qua A( 2; -1) và nhận BC = (-7; -3) = - (7; 3) làm VTPT

=> Phương trình tổng quát AH: 7(x - 2) + 3(y + 1)= 0 hay 7x + 3y - 11 = 0

Câu 6: Cho đường thẳng (d): 3x- 2y+ 8= 0. Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 1) và song song với (d) có phương trình:

A. 3x - 2y - 7 = 0.    B. 2x + 3y - 9 = 0.    C. 2x - 3y - 3 = 0.    D. 3x - 2y + 1 = 0

Đáp án: A

Trả lời:

Do ∆ song song với d nên có phương trình dạng: 3x - 2y + c = 0 (c ≠ 8)

Mà ∆ đi qua M (3;1) nên 3.3 - 2.1 + c = 0 nên c = - 7

Vậy phương trình ∆: 3x - 2y - 7 = 0

Câu 7: Cho tam giác ABC có B(2; -3). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình x- y+ 3= 0. Lập phương trình đường thẳng BC?

A. x + y + 2 = 0    B. x - y - 5 = 0    C. x - y + 6 = 0    D. x - y = 0

Đáp án: B

Trả lời:

Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ IJ// BC.

⇒ Đường thẳng BC có dạng : x - y + c = 0 ( c ≠ 3)

Mà điểm B thuộc BC nên: 2 - (-3) + c = 0 ⇔ c = -5

⇒ phương trình đường thẳng BC: x - y - 5 = 0

Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A có A(3 ; 2). Gọi M là trung điểm của BC và          M( -2 ; -4). Lập phương trình đường thẳng BC ?

A. 6x - 5y + 13 = 0    B. 5x - 6y + 6 = 0    C. 5x + 6y + 34 = 0    D. 5x + 6y + 1 = 0

Đáp án: C

Trả lời:

+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao

⇒ AM vuông góc BC.

⇒ Đường thẳng BC nhận AM( - 5; -6) = -(5; 6) làm VTPT

+ Đường thẳng BC : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình đường thẳng BC :

5(x + 2) + 6( y + 4) = 0 hay 5x + 6y + 34= 0

Câu 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M( -1; 2) và song song với trục Ox.

A. y + 2 = 0    B. x + 1 = 0    C. x - 1 = 0    D. y - 2 = 0

Đáp án: D

Trả lời:

Trục Ox có phương trình y= 0

Đường thẳng d song song với trục Ox có dạng : y + c = 0 ( c ≠ 0)

Vì đường thẳng d đi qua điểm M( -1 ;2) nên 2 + c = 0 ⇔ c= -2

Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là : y - 2= 0

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2004 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán lớp 10 - Thầy Phạm Như Toàn

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Vật Lý 10 - Thầy Quách Duy Tường

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 10 - Thầy Quang Hưng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Ngữ Văn lớp 10 - thầy Nguyễn Thanh Bình

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Hóa học lớp 10 - cô Trần Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp