Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng - Toán lớp 10



Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2:

+ Cách 1: Áp dụng trong trường hợp a1.b1.c1 ≠ 0:

Nếu Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án thì d1 ≡ d2.

Nếu Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án thì d1 // d2.

Nếu Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án thì d1 cắt d2.

+ Cách 2: Dựa vào số điểm chung của hai đường thẳng trên ta suy ra vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2( nếu có) là nghiệm hệ phương trình:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

    Nếu hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất thì 2 đường thẳng cắt nhau.

    Nếu hệ phương trình trên có vô số nghiệm thì 2 đường thẳng trùng nhau.

    Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì 2 đường thẳng song song.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: x- 2y+ 1= 0 và d2: -3x + 6y- 10= 0

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

Ta có:Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

Chọn B.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: 3x - 2y - 6 = 0 và d2: 6x - 2y - 8 = 0.

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ d1, d2 cắt nhau nhưng không vuông góc.

Chọn D.

Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 và d2: 3x + 4y - 10 = 0.

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

+ Đường thẳng d1 có VTPT n1( Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) .

+ Đường thẳng d2 có VTPT n2( 3; 4)

Suy ra: n1.n2 = Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .3 - Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .4 = 0

⇒ Hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.

Chọn C.

Ví dụ 4. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng 2x + 3y - 1 = 0?

A. 4x + 6y + 10 = 0 .    B. 3x - 2y + 1 = 0    C. 2x - 3y + 1 = 0.    D. 4x + 6y - 2 = 0

Lời giải

Ta xét các phương án:

+ Phương án A:

Ta có: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ Hai đường thẳng này song song với nhau

+ Phương án B:

Ta có: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án > Hai đường thẳng này cắt nhau.

+ Phương án C :

Ta có: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án > Hai đường thẳng này cắt nhau.

+ Phương án D :

Ta có: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ Hai đường thẳng này trùng với nhau

Chọn A.

Ví dụ 5. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
a: 3x + 4y + 10 = 0 và b: (2m - 1)x + m2y + 10 = 0 trùng nhau?

A. m = ± 2    B. m = ± 1    C. m = 2    D. m = -2

Lời giải

Hai đường thẳng a và b trùng nhau khi và chỉ khi:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ m = 2

Chọn C

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình
a: mx + (m-1)y + 2m = 0 và b: 2x + y - 1 = 0. Nếu a song song b thì:

A. m = 2    B. m = -1    C. m = - 2    D. m = 1 .

Lời giải

Ta có: hai đường thẳng a và b song song với nhau khi và chỉ khi :

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ m = 2

Chọn A.

Ví dụ 7. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (a) : 2x + y + 4 - m = 0
và ( b) : (m + 3)x + y + 2m - 1 = 0 song song?

A. m = 1    B. m = -1    C. m = 2    D. m = 3

Lời giải

+ Với m = 4 thì phương trình hai đường thẳng là:

( a) : 2x + y= 0 và ( b): 7x + y + 7 = 0

=> Với m = 4 hai đường thẳng a và b không song song với nhau.

+ Với m ≠ 4.

Để a // b khi và chỉ khi :

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ m = - 1

Vậy với m = -1 thì hai đường thẳng a và b song song với nhau.

Chọn B.

Ví dụ 8: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (a): 2x - 3y + 2 = 0 và (b): y - 2 = 0.

A. Cắt nhau nhưng không vuông góc

B. Song song

C. Trùng nhau

D. Vuông góc

Lời giải

Giao điểm ( nếu có) của hai đường thẳng (a) và (b) là nghiệm hệ phương trình:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại A(2; 2). (1)

Lại có đường thẳng (a) có VTPT n( 2; -3) và đường thẳng (b) có VTPT n'( 0; 1)

n.n' = 2.0 - 3.1 = -3 ≠ 0 (2)

Từ (1) và ( 2) suy ra hai đường thẳng đã cho cắt nhau nhưng không vuông góc.

Chọn A.

Ví dụ 9. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( a) : ( m- 3)x + 2y + m2 - 1 = 0
và (b): - x + my + m2 - 2m + 1 = 0 cắt nhau?

A. m ≠ 1.    B. m ≠ 1 và m ≠ 2    C. m ≠ 2    D. m ≠ 1 hoặc m ≠ 2

Lời giải

+ Nếu m = 0 thì hai đường thẳng đã cho trở thành:

(a) : - 3x + 2y - 1 = 0 và (b): - x + 1 = 0 .

Giao điểm của hai đường thẳng này là nghiệm hệ phương trình:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy với m = 0 thì hai đường thẳng cắt nhau tại A( 1; 2) .

+ Nếu m ≠ 0. Để hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ m(m - 3) ≠ - 2 ⇔ m2 - 3m + 2 ≠ 0

⇔ m ≠ 1 và m ≠ 2

Chọn B.

Ví dụ 10. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (a): 2x + 4y - 10 = 0 và trục hoành.

A.(0;2)    B. (0; 5)    C. (2;0)    D. (5;0)

Lời giải

Trục hoành có phương trình là: y = 0

Giao điểm của đường thẳng a và trục hoành nếu có nghiệm hệ phương trình :

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy giao điểm của (a) và trục hoành là điểm A( 5; 0) .

Chọn D.

Ví dụ 11. Nếu ba đường thẳng (a): 2x + y- 4 = 0; (b) : 5x - 2y + 3 = 0 và
(c): mx + 3y - 2 = 0 đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây?

A. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. - Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    C. 12    D. - 12

Lời giải

Giao điểm của đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A( Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c.

Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án - 2 = 0 ⇔ m = -12

Chọn D.

Ví dụ 12. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng (a): 3x - 4y + 15 = 0;
(b): 5x + 2y - 1 = 0 và (c):mx - 4y + 15 = 0 đồng quy?

A. m = -5    B. m = 5    C. m = 3    D. m = -3

Lời giải

Giao điểm của đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A( -1; 3)

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c.

Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :

- m - 4.3 + 15 = 0 ⇔ - m + 3 = 0 ⇔ m = 3

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây: (a) : x - 2y + 1 = 0 và
(b): - 3x + 6y - 1 = 0

A. Song song.    B. Trùng nhau.    C. Vuông góc nhau.    D. Cắt nhau.

Đáp án: A

Trả lời:

Cách 1: Giải hệ phương trình thấy vô nghiệm nên hai đường thẳng song song

Cách 2: Đường thẳng a có vtpt n1 = (1; -2) và (b) có vtpt n2 = (-3; 6) .

Hai đường thẳng a và b có: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án nên hai đường thẳng này song song.

Câu 2: Đường thẳng (a) :3x - 2y - 7 = 0 cắt đường thẳng nào sau đây?

A. ( d1) : 3x + 2y = 0    B. (d2) : 3x - 2y = 0

C. (d3): -3x + 2y - 7 = 0    D. (d4): 6x - 4y - 14 = 0

Đáp án: A

Trả lời:

+ Xét vị trí tương đối của đường thẳng a và d1 có:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Hai đường thẳng này cắt nhau.

Câu 3: Hai đường thẳng (a): 4x + 3y - 18 = 0 và (b) : 3x + 5y - 19 = 0 cắt nhau tại điểm có toạ độ:

A. (3; 2)    B. ( -3; 2)    C. ( 3; -2)    D. (-3; -2)

Đáp án: A

Trả lời:

Gọi giao điểm của hai đường thẳng a và b là A.

Khi đó; tọa độ của điểm A là nghiệm hệ phương trình:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ta được Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là A( 3; 2)

Câu 4: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng d: y = 2x - 1

A. 2x - y + 5 = 0    B. 2x - y - 5 = 0    C. - 2x + y = 0    D. 2x + y - 5 = 0

Đáp án: D

Trả lời:

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d): y = 2x - 1 ⇔ (d): 2x - y - 1 = 0

Hai đường thẳng ( d): 2x - y - 1 = 0 và 2x + y - 5 = 0 không song song vì Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Câu 5: Hai đường thẳng (a) : mx + y = m + 1 và (b): x + my = 2 song song khi và chỉ khi:

A. m = 2    B. m = ± 1    C. m = -1    D. m = 1

Đáp án: C

Trả lời:

+ Nếu m= 0 hai đường thẳng trở thành : ( a) y = 1 và ( b) : x = 2.

Hai đường thẳng này cắt nhau nên với m= 0 thì không thỏa mãn .

+ Nếu m ≠ 0 .

Để hai đường thẳng a và b song song với nhau khi và chỉ khi :

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ m = - 1

Vậy với m = -1 thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng (a): 2x - 3my + 10 = 0 và
( b) : mx + 4y + 1 = 0 cắt nhau.

A. 1 < m < 10    B. m = 1    C. Không có m.    D. Với mọi m.

Đáp án: D

Trả lời:

+ Với m = 0 thì hai đường thẳng đã cho trở thành:

(a): x + 5 = 0 và (b) : 4y + 1 = 0

Giao điểm của hai đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình :

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy với m = 0 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau.

+ Với m ≠ 0.

Để hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ - 3m2 ≠ 8 hay m2Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án luôn đúng với m ≠ 0.

Vậy hai đường thẳng a và b luôn cắt nhau với mọi m.

Câu 7: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (a): mx + y - 19 = 0 và
(b): ( m - 1).x + (m + 1).y - 20 = 0 vuông góc?

A. Với mọi m.    B. m = 2    C. Không có m.    D. m = 1

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có đường thẳng ( a) nhận VTPT n( m; 1)

Đường thẳng ( b) nhận VTPT n'( m - 1; m + 1)

Để hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai VTPT của hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.

n.n' = 0 ⇔ m(m - 1) + 1(m + 1) = 0

⇔ m2 - m + m + 1 = 0 ⇔ m2 + 1 = 0 vô lí

vì m2 ≥ 0 với mọi m nên m2 + 1 > 0 với mọi m.

Vậy không có giá trị nào của m để hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.

Câu 8: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( a): 3mx + 2y + 6 = 0 và
(b) : (m2 + 2)x + 2my + 6 = 0 cắt nhau?

A. m ≠ ±3    B. m ≠ ±2    C. mọi m    D. m ≠ ±1.

Đáp án: D

Trả lời:

+ Nếu m = 0 thì phương trình hai đường thẳng là :

(a) : 2y + 6 = 0 và (b):2x + 6 = 0.

Giao điểm của hai đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Với m = 0 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau.

+ Nếu m ≠ 0.

Để hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ 2( m2 + 2) ≠ 6m2 ⇔ 4m2 ≠ 4

⇔ m2 ≠ 1 nên m ≠ ±1

Vậy để hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi m ≠ ±1

Câu 9: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (a) 7x - 3y - 1 = 0 và (b): x + 2 = 0.

A. (-2; 5)    B. (-2; -5)    C. (-2; -4)    D. (-4; 3)

Đáp án: B

Trả lời:

Giao điểm của hai đường thẳng a và b nếu có là nghiệm hệ phương trình:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là M( -2; -5)

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình (a) : 3x – 4y + 15 = 0, ( b): 5x + 2y - 1 = 0 và (c) : mx - (2m - 1)y + 9m - 13 = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.

A. m = Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. m= -5    C. m= - Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    D. m= 5

Đáp án: D

Trả lời:

Giao điểm của đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A( -1;3)

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c.

Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :

- m –(2m - 1).3 + 9m - 13 = 0 ⇔ - m - 6m + 3 + 9m - 13 = 0

⇔ 2m - 10 = 0 ⇔ m= 5.

Vậy ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi m = 5.

Câu 11: Cho 3 đường thẳng d1 : 2x + y - 1 = 0 ; d2 : x + 2y + 1 = 0 và d3 : mx - y - 7 = 0. Để ba đường thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của m là:

A. m= -6    B. m = 6    C. m = -5    D. m = 5

Đáp án: B

Trả lời:

+ Giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy d1 cắt d2 tại A( 1 ; -1) .

+ Để 3 đường thẳng đã cho đồng quy thì d3 phải đi qua điểm A nên A thỏa phương trình của d3.

⇒ m.1 - (-1) - 7 = 0 ⇔ m = 6

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 10 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 10 và Hình học 10.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp