Cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng (cực hay)

---

---

Bài viết Cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng.

Cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng (cực hay)

A. Phương pháp giải

Bài toán: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm A. Tìm điểm H là hình chiếu của A trên đường thẳng d:

+ Bước 1: Gọi tọa độ điểm H(x_H; y_H).

Vì điểm H thuộc d nên : ax_H + by_H + c = 0 (1).

+ Bước 2:Do AH vuông góc d nên AH→ là VTPT của d.

⇒ AH→(x_H - x_A; y_H - y_A) và n→(a; b) cùng phương

⇒ b(x_H - x_A) - a(y_H - y_A )= 0 (2)

+ Bước 3: giải hệ(1) và (2) ta được tọa độ điểm H.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x - y = 0 và điểm M(1; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. (1; 3)    B. (2; 2)    C. ( 3; -1)    D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a;b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a - b = 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương n_d→ (1; -1)

⇒ ⇔ -a + 1= b - 3 hay a + b = 4 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(2; 2).

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0 và điểm M(0; 4). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. H(- ; ).    B. H( ; ).    C. H( ; ).    D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên 2a - b + 3 = 0 (1)

+ Ta có: MH→(a; b - 4).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương n_d→(2; -1)

⇒ ⇔ -a = 2b - 8 hay a + 2b = 8 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H( ; )

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0 và điểm M(1; 3). Gọi M’(x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 2x - y?

A. 1    B. 2    C. 0    D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a + 2b + 4 = 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương n_d→(1 ; 2)

⇒ ⇔ 2a - 2 = b - 3 hay 2a - b = -1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(-1,2; -1,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Vậy M’(-3,4; - 5,8) ⇒ 2x - y = -1

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: 2x - y = 0 và điểm M(1 ;0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 4x + 3y?

A. 1    B. 2    C. 0    D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên 2a - b = 0 (1)

+ Ta có: MH→(a-1; b).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương n_d→(2; -1)

⇒ ⇔ -a + 1 = 2b hay a + 2b = 1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(0,2; 0,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Vậy M’(-0,6; 0,8) ⇒ 4x + 3y = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 5 = 0 và điểm A(-1; 1). Tìm hình chiếu của điểm A trên d?

A. (2; -1)    B. (-2; -1)    C. (-1; 1)    D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

2.(-1) - 3.1 + 5 = 0

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng (d): x + y - 3 = 0 và điểm M(2; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. x + y - 4 = 0    B. x + y - 1 = 0    C. x - y - 1 = 0    D. x - y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT n→( 1; 1).

+ Vecto MA→( x - 2; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto MA→ và n_d→ cùng phương

⇔ ⇔ x - 2 = y - 1 hay x - y - 1 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: x - y - 1 = 0

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng d: = 1 và điểm M(0; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. (1; 3)    B. (0,4; 2,8)    C. ( 2,3; -1)    D. (4; -1,2)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên = 1 hay 2a - b = -2 (1)

+ Ta có: MH→(a; b - 3). Phương trình tổng quát (d): 2x - y + 2 = 0

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương n_d→(2; -1)

⇒ ⇔ -a = 2b - 6 hay a + 2b = 6 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(0,4; 2,8)

Chọn B.

Ví dụ 8: Cho đường thẳng d: x - y + 3 = 0 và điểm M(1; 1). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. H(- ; ).    B. H( ; ).    C. H( ; ).    D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a- b+3= 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b - 1).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương n_d→(1; -1)

⇒ ⇔ -a + 1 = b - 1 hay a + b = 2 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H( ; ).

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho đường thẳng d: 4x + y - 5 = 0 và điểm A(1; 1). Tìm hình chiếu của điểm A trên d?

A. (2; -1)    B. (-2; -1)    C. (1; 1)    D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

4.1 + 1 - 5 = 0

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho đường thẳng (d): 2x + 3y - 3 = 0 và điểm M(0; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. 2x + 3y - 4 = 0    B. 3x - 2y + 2 = 0    C. 3x - 2y - 1 = 0    D. 2x - 3y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT n→(2; 3).

+ Vecto MA→( x; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto MA→ và n→ cùng phương

⇔ ⇔ 3x = 2y - 2 hay 3x - 2y + 2 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng: ∆: 3x - 2y + 2 = 0

Chọn B.

Ví dụ 11. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 6) và C(-6; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?

A. G’( - ;- )    B. G’( -1; 1)    C. G’(-2; 2)    D. G’(-4; 4)

Lời giải

+ ta có: OB→(0; 6); OC→( -6; 0)

⇒ OB= 6; OC= 6 và OB→.OC→ = 0.(-6) + 6.0 = 0

⇒ OB vuông góc OC và OB = OC

⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.

+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:

⇒ G( -2; 2)

+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.

⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.

- M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M: ⇒ M( - 3; 3)

- M là trung điểm GG’nên tọa độ điểm G’ là:

⇒ G’ ( -4; 4)

⇒ Vậy tọa độ điểm G’( - 4; 4)

Chọn D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Các công thức về phương trình đường thẳng
• Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng
• Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
• Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc
• Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
• Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng
• Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---