Biến cố độc lập lớp 11 (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Biến cố độc lập lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Biến cố độc lập.

Biến cố độc lập lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý: Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố: A và $\overline{B}$; $\overline{A}$ và B; $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Có hai lọ hoa. Lọ I cắm 5 bông hoa hồng và 3 bông hoa cúc. Lọ II cắm 4 bông hoa hồng và 5 bông hoa thược dược. Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ mỗi lọ một bông hoa. Xét hai biến cố sau:

A: "Lấy được bông hoa hồng từ lọ I", B: "Lấy bông hoa hồng từ lọ II".

Chứng tỏ rằng A và B độc lập.

Hướng dẫn giải:

Dù A có xảy ra (lấy được bông hoa hồng) hay A không xảy ra (lấy được bông hoa cúc) ta đều có P(B) = $\frac{4}{9}$.

Dù B có xảy ra (lấy được được bông hoa hồng) hay B không xảy ra (lấy được bông hoa thược dược) ta đều có P(A) = $\frac{5}{8}$.

Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Vậy A và B độc lập.

Ví dụ 2. Một hộp có 7 viên bi màu xanh và 8 viên bi màu đỏ, các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy viên bi ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, ghi lại màu của viên bi lấy ra và bỏ lại viên bi đó vào hộp. Xét các biến cố:

A: “Viên bi màu đỏ được lấy ra ở lần thứ nhất”;

B: “Viên bi màu xanh được lấy ra ở lần thứ hai”.

Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Trước hết, xác suất của biến cố B khi biến cố A xảy ra bằng $\frac{7}{15}$, xác suất của biến cố B khi biến cố A không xảy ra cũng bằng $\frac{7}{15}$. Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B. Mặt khác, xác suất của biến cố A bằng $\frac{8}{15}$, không phụ thuộc vào việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B.

Vậy hai biến cố A và B là độc lập.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai biến cố A và B độc lập với nhau. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hai biến cố có cùng tập kết quả;

B. Việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia;

C. Biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra;

D. A ∩ B = Ø.

Bài 2. Xét phép thử gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất sáu mặt hai lần. Gọi A là biến cố: "Số chấm thu được ở lần giao thứ nhất là số nhỏ hơn 3", B là biến cố: "Số chấm thu được ở lần gieo thứ hai là số lớn hơn hoặc bằng 4" và C là biến cố: "Số chấm thu được ở hai lần gieo là số lẻ”. Có bao nhiêu cặp biến cố độc lập?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 3. Rút hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, . . . , 9. An rút ngẫu nhiên 1 thẻ rồi trả lại hộp. Sau đó Bình rút 1 thẻ từ hộp đó. Biến cố A: “An rút được thẻ số chẵn” và biến cố B: “Bình rút được thẻ số lẻ” là hai biến cố:

A. Xung khắc;

B. Độc lập;

C. Đối;

D. Không độc lập.

Bài 4. Gieo đồng tiền hai lần. Biến cố A “Lần gieo thứ nhất mặt ngửa xuất hiện”. Trong các biến cố dưới đây, biến cố nào độc lập với biến cố A?

A. Lần gieo thứ hai mặt ngửa xuất hiện;

B. Mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần;

C. Lần gieo thứ nhất mặt sấp xuất hiện;

D. Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt ngửa.

Bài 5. Hộp I chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Hộp II chứa bốn cái thẻ được đánh số 5, 6, 7, 8. Mỗi hộp rút ngẫu nhiên một thẻ. Biến cố A: “Rút từ hộp I thẻ số chẵn”. Trong các biến cố sau, biến cố nào độc lập với biến cố A?

A. Rút từ hộp I thẻ số lẻ;

B. Rút từ hộp II thẻ số lẻ;

C. Rút từ hộp II thẻ số chẵn;

D. Cả B và C đều đúng.

Bài 6. Hộp I chứa 9 quả cầu màu đỏ và 6 quả cầu màu xanh. Hộp II chứa 7 quả cầu màu đỏ và 8 quả cầu màu xanh. Lấy từ mỗi hộp một quả cầu. Xét các mệnh đề sau:

(I) Biến cố A: “Lấy ra 2 quả cùng màu” và biến cố B: “Lấy ra hai quả khác màu” là hai biến cố độc lập.

(II) Biến cố C: “Lấy ra từ hộp I quả màu đỏ” và biến cố D: “Lấy ra hai quả màu xanh” là hai biến cố độc lập.

(III) Biến cố E: “Lấy ra từ hộp I quả màu đỏ” và biến cố F: “Lấy ra từ hộp II quả màu xanh” là hai biến cố độc lập.

Có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 7. Hộp A có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng. Hộp B có 10 bóng, trong đó có 3 bóng hỏng. Lấy từ mỗi hộp 2 bóng. Trong các biến cố sau, biến cố nào độc lập với biến cố M: “Lấy từ hộp B được 2 bóng đều tốt”?

A. Lấy từ hộp B được 2 bóng đều hỏng;

B. Lấy từ hộp B được ít nhất 1 bóng hỏng;

C. Lấy từ hộp A được ít nhất 1 bóng tốt;

D. Lấy được 4 bóng hỏng.

Bài 8. Nam và Phong chọn ngẫu nhiên một số từ các số 0 đến 99. Trong các cặp biến cố sau, cặp nào là hai biến cố độc lập?

A. A: “Nam chọn số nhỏ hơn 10” và B: “Phong chọn số lớn hơn 15”;

B. C: “Hai bạn đều chọn số nhỏ hơn 10” và D: “Hai bạn đều chọn số lớn hơn 15”;

C. E: “Hai bạn đều chọn số nhỏ hơn 10” và F: “Phong chọn số lớn hơn 15”;

D. G: “Nam chọn số nhỏ hơn 10” và H: “Hai bạn đều chọn số lớn hơn 15”.

Bài 9. Gọi S là tập các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo từ tập E = {1; 2; 3; 4; 5}. An và Bình chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Biến cố A: “An chọn ra số chẵn” và biến cố B “Bình chọn ra số chẵn” là hai biến cố:

A. Đối;

B. Xung khắc;

C. Không độc lập;

D. Độc lập.

Bài 10. Một hộp đựng 5 viên bi màu đỏ và 6 viên bi màu xanh có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Hoa lấy ngẫu nhiên một viên bi và trả lại hộp. Tiếp theo bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Xét biến cố A: “Hoa lấy được viên bi màu đỏ”, biến cố B: “An lấy được viên bi màu xanh”. Hai biến cố A và B là hai biến cố:

A. Biến cố đối;

B. Biến cố độc lập;

C. Biến cố xung khắc;

D. Biến cố hợp.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Biến cố hợp. Biến cố giao

• Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố xung khắc

• Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì

• Tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập

• Bài toán thực tế vận dụng công thức nhân xác suất

---