Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì lớp 11 (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì bằng cách sử dụng công thức cộng xác suất và phương pháp tổ hợp lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì.

Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức cộng xác suất:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

Chú ý: Ta sử dụng phương pháp tổ hợp (sử dụng quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp) để tính xác suất của các biến cố trong một số trường hợp không liệt kê cụ thể được các phần tử.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Mai, Lan và 5 bạn cùng lớp xếp thành một hàng ngang theo thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng".

Hướng dẫn giải:

Số cách xếp 7 người thành một hàng ngang là 7!.

Gọi A là biến cố "Mai đứng ở đầu hàng", B là biến cố "Lan đứng ở đầu hàng".

Xác suất của biến cố A là P(A) = $\frac{2.6!}{7!}=\frac{2}{7}$.

Xác suất của biến cố B là P(B) = $\frac{2.6!}{7!}=\frac{2}{7}.$

Xác suất của biến cố "Hai bạn Lan và Mai đứng ở hai đầu hàng" là: $P(A\cap B)=\frac{2.5!}{7!}=\frac{1}{21}$.

Xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng" là:

$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)=\frac{2}{7}+\frac{2}{7}-\frac{1}{21}=\frac{11}{21}$.

Ví dụ 2. Một nhóm có 50 người được phỏng vấn họ đã mua cành đào hay cây quất vào dịp Tết vừa qua, trong đó có 31 người mua cành đào, 12 người mua cây quất và 5 người mua cả cành đào và cây quất. Chọn ngẫu nhiên một người. Tính xác suất để người đó:

a) Mua cành đào hoặc cây quất.

b) Mua cành đào và không mua cây quất.

c) Không mua cành đào và không mua cây quất.

d) Mua cây quất và không mua cành đào.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi A là biến cố: "Người đó mua cành đào", B là biến cố: "Người đó mua cây quất".

Ta cần tính P(A ∪ B). Ta có: $P\left(A\right)=\frac{31}{50}; P\left(B\right)=\frac{12}{50}=\frac{6}{25}; P\left(AB\right)=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}.$

Do đó: $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)=\frac{31}{50}+\frac{12}{50}-\frac{5}{50}=\frac{38}{50}=\frac{19}{25}$.

b) Ta cần tính $P(A\cap \overline{B})$.

Ta có: $A=AB\cup A\overline{B}$ và AB, $A\overline{B}$ là hai biến cố xung khắc nên P(A) = P(AB) + $P\left(A\overline{B}\right)$.

Do đó $P(A\cap \overline{B})=P\left(A\overline{B}\right)=P\left(A\right)-P\left(AB\right)=\frac{31}{50}-\frac{5}{50}=\frac{26}{50}=\frac{13}{25}.$

c) Ta cần tính $P(\overline{A}\cap \overline{B})$.

Ta có biến cố đối của biến cố $P(\overline{A}\cap \overline{B})$ là biến cố A ∪ B.

Vậy $P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-P(A\cup B)=1-\frac{19}{25}=\frac{6}{25}$.

d) Ta cần tính $P(\overline{A}\cap B)$.

Ta có: B = $AB\cup \overline{A}B$ và AB, $\overline{A}B$ là hai biến cố xung khắc nên P(B) = P(AB) + $P\left(\overline{A}B\right)$.

Do đó $P(\overline{A}\cap B)=P\left(\overline{A}B\right)=P\left(B\right)-P\left(AB\right)=\frac{12}{50}-\frac{5}{50}=\frac{7}{50}$.

Ví dụ 3. Một hộp chứa 40 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 40. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:

a) "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76";

b) "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10".

Hướng dẫn giải:

a) Gọi A là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76".

Gọi A₁ là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4", A₂ là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 76".

Khi đó, ta có A = A₁ ∪ A₂.

Biến cố A₁ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 1 và 2. Do đó $P\left(A_1\right)=\frac{1}{C_{40}^2}=\frac{1}{780}$.

Biến cố A₂ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số (37; 40), (38; 40), (39; 40) hoặc (38; 39). Do đó, $P\left(A_2\right)=\frac{4}{C_{40}^2}=\frac{4}{780}$.

Do A₁ và A₂ là hai biến cố xung khắc nên:

$P\left(A\right)=P(A_1\cup A_2)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)=\frac{1}{780}+\frac{4}{780}=\frac{1}{156}$.

b) Từ 1 đến 40 có 8 số chia hết cho 5; 20 số chia hết cho 2 và 4 số chia hết cho 10.

Gọi B là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10".

Gọi B₁ là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 5", B₂ là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 2".

Khi đó, B là biến cố đối của biến cố B₁ ∪ B₂.

Ta có $P(B1 \cup B2) = P\left(B_1\right)+P\left(B_2\right)-P\left(B_1{B}_2\right)=\frac{C_{32}^2}{C_{40}^2}+\frac{C_{20}^2}{C_{40}^2}-\frac{C_{16}^2}{C_{40}^2}=\frac{283}{390}$.

Do đó, xác suất biến cố B “Tích các số ghi trên hai thẻ chia hết cho 10” là

P(B) = 1 - P(B₁ ∪ B₂) = $\frac{107}{390}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai biến cố A và B. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B);

B. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) nếu A và B là hai biến cố xung khắc;

C. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) nếu A và B là hai biến cố xung khắc;

D. Cả A và C đều đúng.

Bài 2. Cho A và B là hai biến cố thỏa mãn P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; và P(A ∪ B) = 0,6. Xác suất của biến cố A ∩ B là

A. 0,2;

B. 0,3;

C. 0,4;

D. 0,65.

Bài 3. Cho A và B là hai biến cố. Biết P(A) = $\frac{1}{2};$ P(B) = $\frac{3}{4}$ và P(A ∩ B) = $\frac{1}{4}$. Biến cố A ∪ B là biến cố

A. có xác suất bằng $\frac{1}{4}$;

B. Có xác suất bằng $\frac{1}{8};$

C. chắc chắn;

D. Không xảy ra,

Bài 4. Một lớp học có 100 học sinh, trong đó có 40 học sinh giỏi ngoại ngữ; 30 học sinh giỏi tin học và 20 học sinh giỏi cả ngoại ngữ và tin học. Học sinh nào giỏi ít nhất một trong hai môn sẽ được thêm điểm trong kết quả học tập của học kì. Chọn ngẫu nhiên một trong các học sinh trong lớp, xác suất để học sinh đó được tăng điểm là

A. $\frac{3}{10};$

B. $\frac{1}{2};$

C. $\frac{2}{5};$

D. $\frac{3}{5}$.

Bài 5. Một khu phố có 50 hộ gia đình trong đó có 18 hộ nuôi chó, 16 hộ nuôi mèo và 7 hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ trong khu phố trên. Xác suất để hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo là

A. 0,25;

B. 0,54;

C. 0,61;

D. 0,21.

Bài 6. Một hộp đựng 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20, hai tấm thẻ khác nhau đánh hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ, xác suất để rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3 là

A. $\frac{3}{5}$;

B. $\frac{7}{12}$;

C. $\frac{13}{20}$;

D. $\frac{8}{25}$.

Bài 7. Chọn ngẫu nhiên một vé số có năm chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Xác suất của biến cố X: "Lấy được vé không có chữ số 2 hoặc chữ số 7" bằng

A. 0,2598;

B. 0,5532;

C. 0,4656;

D. 0,8533.

Bài 8. Gieo hai con xúc xắc xanh và đỏ. Gọi x, y lần lượt là số chấm xuất hiện trên xúc xắc xanh và đỏ. Gọi A là biến cố thỏa mãn A = {(x; y)| x ⋮ y} và B là biến cố thỏa mãn B = {(x; y)| 3 ≤ x + y ≤ 8}. Xác suất của biến cố A ∪ B là

A. $\frac{19}{24};$

B. $\frac{59}{72};$

C. $\frac{29}{36};$

D. $\frac{5}{6}.$

Bài 9. Hộp bi A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi. Xác suất để hai viên bi này được lấy ra có cùng màu là

A. $\frac{91}{135};$

B. $\frac{44}{135};$

C. $\frac{88}{135};$

D. $\frac{45}{88}$.

Bài 10. Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 12 học sinh đạt điểm tổng kết môn Khoa học tự nhiên loại giỏi và 13 học sinh đạt điểm tổng kết môn Ngoại ngữ loại giỏi. Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt điểm tổng kết môn Khoa học tự nhiên hoặc Ngoại ngữ loại giỏi có xác suất là 0,5. Xác suất để học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi cả hai môn học đó là

A. $\frac{1}{10};$

B. $\frac{1}{8};$

C. $\frac{3}{20};$

D. $\frac{3}{8}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Biến cố hợp. Biến cố giao

• Biến cố độc lập

• Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố xung khắc

• Tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập

• Bài toán thực tế vận dụng công thức nhân xác suất

---