Tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập lớp 11 (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập bằng cách sử dụng công thức nhân xác suất và sơ đồ hình cây lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập.

Tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau, ta có công thức nhân xác suất như sau:

P(A ∩ B) = P(A).P(B).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A ∪ B) = 0,6. Hỏi A và B có độc lập hay không?

Hướng dẫn giải:

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = 0,3 ≠ P(A).P(B) = 0,2.

Vậy A và B không độc lập.

Ví dụ 2. Hai bạn An và Bình không quen biết nhau và đều học xa nhà. Xác suất để bạn An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật là 0,2 và của bạn Bình là 0,25. Dùng sơ đồ hình cây để tính xác suất vào ngày Chủ nhật:

a) Cả hai bạn đều về thăm nhà.

b) Có ít nhất một bạn về thăm nhà.

c) Cả hai bạn đều không về thăm nhà.

d) Chỉ có bạn An về thăm nhà.

e) Có đúng một bạn về thăm nhà.

Hướng dẫn giải:

Gọi A và B lần lượt là các biến cố: "Bạn An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật" và "Bạn Bình về thăm nhà vào ngày Chủ nhật". A và B là hai biến cố độc lập.

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố "Bạn An không về thăm nhà vào ngày Chủ nhật" và $\overline{B}$ là biến cố "Bạn Bình không về thăm nhà vào ngày Chủ nhật".

Ta có sơ đồ hình cây:

a) Cả hai bạn đều về thăm nhà.

P(A ∩ B) = P(AB) = 0,2.0,25 = 0,05.

b) Có ít nhất một bạn về thăm nhà.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,2 + 0,25 – 0,05 = 0,4.

c) Cả hai bạn đều không về thăm nhà.

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P\left(\overline{A}\overline{B}\right)$ = 0,8.0,75 = 0,6.

d) Chỉ có bạn An về thăm nhà.

$P(A\cap \overline{B})=P\left(A\overline{B}\right)$ = 0,2.0,75 = 0,15.

e) Có đúng một bạn về thăm nhà.

$P(A\overline{B }\cup \overline{A}B)=P\left(A\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}B\right)$ = 0,2.0,75 + 0,8.0,25=0,35.

Ví dụ 3. Cho A và B là hai biến cố độc lập.

a) Biết P(A) = 0,3 và P(B) = 0,7. Hãy tính xác suất của các biến cố AB, $\overline{A}B$ và $\overline{A}\overline{B}$.

b) Biết P(A) = 0,8 và P(AB) = 0,4. Hãy tính xác suất của các biến cố B, $\overline{A}B$ và $\overline{A}\overline{B}$.

Hướng dẫn giải:

a) Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố AB là

P(AB) = P(A).P(B) = 0,3.0,7 = 0,21.

Vì $\overline{A}$ là biến cố đối A nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,7$.

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}B$ là

$P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(B\right)=0,7.0,7=0,49.$

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,3.$

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\overline{B}$ là

$P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right)=0,7.0,3=0,21.$

b) Do A và B là hai biến cố độc lập nên $P\left(B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,4}{0,8}=0,5.$

Vì $\overline{A}$ à biến cố của A nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,2$.

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}B$ là

$P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(B\right)=0,2.0,5=0,1.$

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,5.$

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\overline{B}$ là

$P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right)=0,2.0,5=0,1.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho A và B là hai biến cố độc lập. Biết P(A) = $\frac{1}{3}$; P(B) = $\frac{1}{4}$. Xác suất của biến cố AB là

A. $\frac{7}{12}$;

B. $\frac{5}{12};$

C. $\frac{1}{7};$

D. $\frac{1}{12}.$

Bài 2. Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Biết P(A) = 0,4 và P(B) = 0,6. Xác suất của các biến cố $\overline{A}B$ là

A. 0,24;

B. 0,36;

C. 0,16;

D. 0,2.

Bài 3. Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Biết P(A) = 0,4 và P(B) = 0,6. Xác suất của các biến cố $\overline{A}\overline{B}$ là

A. 0,24;

B. 0,16;

C. 0,76;

D. 0,36.

Bài 4. An và Bình không quen biết nhau và học ở hai nơi khác nhau. Xác suất để An và Bình đạt điểm giỏi về môn Toán trong kì thi cuối năm tương ứng là 0,92 và 0,88. Xác suất để cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi là

A. 0,8096;

B. 0,0096;

C. 0,3649;

D. 0,3597.

Bài 5. An và Bình không quen biết nhau và học ở hai nơi khác nhau. Xác suất để An và Bình đạt điểm giỏi về môn Toán trong kì thi cuối năm tương ứng là 0,92 và 0,88. Xác suất để cả An và Bình đều đạt điểm giỏi là

A. 0,8096;

B. 0,0096;

C. 0,3649;

D. 0,3597.

Bài 6. Hai xạ thủ cùng bắn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất bằng $\frac{1}{2}$, xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ hai bằng $\frac{1}{3}$. Xác suất của biến cố: “Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia, xạ thủ thứ hai bắn trật bia” là

A. $\frac{1}{4};$

B. $\frac{1}{3};$

C. $\frac{2}{3};$

D. $\frac{1}{2}.$

Bài 7. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi X là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con xúc xắc là một số lẻ”. Xác suất của X là

A. $\frac{1}{5};$

B. $\frac{1}{4};$

C. $\frac{1}{3};$

D. $\frac{1}{2}.$

Bài 8. Một xạ thủ bắn lần lượt 2 viên đạn vào một bia. Xác suất trúng đích của viên thứ nhất và viên thứ hai lần lượt là 0,8 và 0,7. Biết rằng kết quả các lần bắn là độc lập với nhau. Xác suất của biến cố "Cả hai lần bắn đều trúng đích" là

A. 0,28;

B. 0,56;

C. 0,24;

D. 0,15.

Bài 9. Hai khẩu pháo cao xạ cùng bắn độc lập với nhau vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu lần lượt là $\frac{1}{4}$ và $\frac{1}{3}$. Xác suất để mục tiêu bị trúng đạn là

A. $\frac{1}{4};$

B. $\frac{5}{12};$

C. $\frac{1}{2};$

D. $\frac{7}{12}.$

Bài 10. Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng của xạ thủ thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8. Xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng là:

A. 0,188;

B. 0,024;

C. 0,976;

D. 0,812.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Biến cố hợp. Biến cố giao

• Biến cố độc lập

• Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố xung khắc

• Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì

• Bài toán thực tế vận dụng công thức nhân xác suất

---