Dạng bài tập về phép quay 180 độ cực hay

Bài viết Dạng bài tập về phép quay 180 độ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập về phép quay 180 độ.

Dạng bài tập về phép quay 180 độ cực hay

A. Phương pháp giải

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(1;2) và B(-3;4). Tìm ảnh của điểm A và B qua phép Quay tâm O góc quay 180°

Hướng dẫn giải:

● Gọi A’ là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay 180°. Khi đó: A’( -1;-2)

● Gọi B’ là ảnh của điểm B qua phép quay tâm O góc quay 180°. Khi đó: B’( 3;-4)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thắng d: 2x - 5y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay 180°.

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

+) Do Q_(0,180°)(d) = d' nên d'//d. Do đó d' có PT dạng: 2x - 5y + m = 0 (m ≠ 3).

+) Chọn M(1;1) ∈ d, gọi M'(x';y') ∈ d' là ảnh của điểm M qua phép quay Q_(0,180°).

Suy ra:

+) Do M'(-1;-1) ∈ d' nên 2.(-1) - 5.(-1) + m = 0 ⇔ m = -3.

+) Vậy d' có PT là 2x - 5y - 3 = 0.

Cách 2:

+) Với mọi điểm M(x;y) ∈ d, M'(x';y') ∈ d' sao cho A.

+) Khi đó ta có:

+) Do M(x;y) ∈ d nên ta có 2x - 5y + 3 = 0 ⇔ -2x' + 5y' + 3 = 0 ⇔ 2x' - 5y' - 3 = 0.

+) Do M'(x';y') ∈ d' nên d' có PT là 2x - 5y - 3 = 0.

Cách 3:

Chú ý công thức nhanh: Trong mp Oxy, cho d: Ax + By + C = 0.

Nếu Q_(O,α)(d) = d' và α = π + k2π, O ∉ d thì d' có PT là: Ax + By - C = 0.

+) Do d: 2x - 5y + 3 = 0 và Q_(O,180°)(d) = d' nên d' có PT là 2x - 5y - 3 = 0.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 2)² + (y + 3)² = 9. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 180°.

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

+) Đường tròn (C) có tâm I(2;-3) và bán kính R = 3.

+ Gọi C'(I',R') là ảnh của (C) qua phép quay Q_(0,180°).

Khi đó ta có: R' = R = 3 và Q_(0,180°)(I) = I', suy ra:

+) Vậy (C') có PT là: (x + 2)² + (y - 3)² = 9.

Cách 2:

+ Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép quay Q_(0,180°).

+) Với mọi điểm M(x;y) ∈ (C), M'(x';y') ∈ (C') sao cho Q_(0,180°)(M) = M'.

+) Khi đó ta có:

+) Do M(x;y) ∈ (C) nên ta có: (x - 2)² + (y + 3)² = 9 ⇔ (-x' - 2)² + (-y' + 3)² = 9 ⇔ (x' + 2)² + (y' - 3)² = 9

+) Do M'(x';y') ∈ (C') nên (C') có PT là (x + 2)² + (y - 3)² = 9.

Chú ý: Ưu tiên giải cách 1.

Cách 3:

Chú ý công thức nhanh: Trong mpOxy, cho (C): (x - A)² + (y - B)² = R².

Nếu Q_((O,α)) ((C)) = (C') và α = π + k2π thì (C'): (x + A)² + (y + B)² = R².

+) Do (C): (x - 2)² + (y + 3)² = 9 và Q_(0,180°)((C)) = (C') nên (C') có PT là: (x + 2)² + (y - 3)² = 9.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(3;5). Tìm ảnh của điểm A qua phép Quay tâm O góc quay 180°

A. A’(-3;-5)

B. A’(3;-5)

C. A’(-3;5)

D. A’(-5;-3)

Lời giải:

Chọn A

• Gọi A’ là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay 180°. Khi đó: A’(-3;-5)

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(-4;-8). Tìm ảnh của điểm A qua phép Quay tâm O góc quay -180°

A. A’(4;-8)

B. A’(4;8)

C. A’(8;4)

D. A’(-8;-4)

Lời giải:

Chọn B

• Gọi A’ là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay 180°. Khi đó: A’(4;8)

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thắng d: 2x - 5y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm I(-1;2), góc quay -180°.

A. 2x - 5y-21 = 0.

B. 2x + 5y + 21 = 0.

C. 2x - 5y + 21 = 0.

D. 3x - 5y + 21 = 0.

Lời giải:

Chọn C

Cách 1:

+) Do Q_(I,-180°)(d) = d' nên d'//d. Do đó d' có PT dạng: 2x - 5y + m = 0 (m ≠ 3).

+) Chọn M(1;1) ∈ d, gọi M'(x';y') ∈ d' là ảnh của điểm M qua phép quay Q_(I,-180°).

Suy ra: I là trung điểm MM' nên ta có:

+) Do M'(-3;3) ∈ d' nên 2.(-3) - 5.3 + m = 0 ⇔ m = 21.

+) Vậy d' có PT là 2x - 5y + 21 = 0.

Cách 2:

+) Với mọi điểm M(x;y) ∈ d, M'(x';y') ∈ d' sao cho Q_(I,-180°)(M) = M'.

+) Khi đó: I là trung điểm MM'nên ta có:

+) Do M(x;y) ∈ d nên ta có M'(x';y') ∈ d'

+) Do M'(x';y') ∈ d' nên d' có PT là 2x - 5y + 21 = 0.

Cách 3:

Chú ý công thức nhanh: Trong mpOxy, cho d: Ax + By + C = 0.

Nếu Q_(I,α)(d) = d' và α = π + k2π, I(a;b) ∉ d thì d' có PT là: Ax + By - 2Aa - 2Bb - C = 0.

+) Do d:2x - 5y + 3 = 0 và Q_(I,-180°)(d) = d' với I(-1;2) nên d' có PT là 2x - 5y + 21 = 0.

Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ0xy, phép quay tâm I(4;-3) góc quay 180° biến đường thẳng d: x + y - 5 = 0 thành đường thẳng d' có phương trình

A. x - y + 3 = 0.

B. x + y + 3 = 0.

C. x + y + 5 = 0.

D. x + y - 3 = 0.

Lời giải:

Chọn B

Ta có phép quay Q_(I,180°) là phép đối xứng tâm I

Vì I∉d nên nếu Đ_I(d) = d' thì d//d', suy ra phương trình d': x + y + m = 0 (m ≠ -5).

Xét

Cho M'(8;-11) ∈ d' ⇒ m = 3. Vậy d': x + y + 3 = 0.

Câu 5. Trong hệ tọaTrong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A(1;-5), góc quay -180°.

A. x² + (y + 7)² = 25.

B. x² + (y + 7)² = 5.

C. x² + (y - 7)² = 25.

D. (x + 7)² + y² = 25.

Lời giải:

Chọn A

Cách 1:

+) Đường tròn (C) có tâm I(2;-3) và bán kính R = 5.

+ Gọi C'(I',R') là ảnh của (C) qua phép quay Q_(A,-180°).

Khi đó ta có: R' = R = 5 và Q_(A,-180°)(I) = I', suy ra: A là trung điểm II' nên ta có:

+) Vậy (C') có PT là: x² + (y + 7)² = 25.

Cách 2:

Chú ý công thức nhanh: Trong mp Oxy, cho (C): (x - A)² + (y - B)² = R².

Nếu Q_(I,α)((C)) = (C') và α = π + k2π,I(a;b) thì (C'): (x+A-2a)² + (y + B - 2b)² = R².

+) Do (C): x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 ⇔ (x - 2)² + (y + 3)² = 25 và Q_(A,-180°)(I) = I', A(1;-5) nên (C') có PT là

(x + 2 - 2.1)² + (y - 3 - 2.(-5))² = 25 ⇔ x² + (y + 7)² = 25.

Câu 6. Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc α, 0 ≤ α < 2π biến hình chữ nhật trên thành chính nó?

A. Không có.

B. Bốn.

C. Hai.

D. Ba.

Lời giải:

Ta có Q_(O,0), Q_(O,π) biến hình chữ nhật có O là tâm đối xứng thành chính nó.

Vậy có hai phép quay tâm O góc α, 0 ≤ α < 2π biến hình chữ nhật trên thành chính nó.

Câu 7. Chọn 12 giờ làm mốc, khi kim giờ chỉ một giờ đúng thì kim phút đã quay được một góc bao nhiêu độ?

A. 360°.

B. -360°.

C. 180°.

D. -180°.

Lời giải:

Chọn B.

Khi kim giờ chỉ đến một giờ đúng thì kim phút quay được đúng một vòng theo chiều âm và được một góc là -360°.

Câu 8. Gọi d’ là hình ảnh của d qua tâm I góc quay φ (biết I không nằm trên d), đường thẳng d’ song với d khi:

A. 360°.

B. -360°.

C. 180°.

D. -180°.

Lời giải:

Chọn D.

Khi φ = -180°, phép quay trở thành phép đối xứng tâm I ⇒ d//d'.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, phép quay tâm I(4; -3) góc quay 180° biến đường thẳng d: x + y - 5 = 0 thành đường thẳng d' có phương trình?

Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(-3; -2). Tìm ảnh của điểm A qua phép Quay tâm O góc quay 180°.

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 2)² + (y + 3)² = 9. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 180°.

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thắng d: 3x - 5y + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay 180°.

Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A(1; -5), góc quay 180°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tìm ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng tâm cực hay
• Cách tìm tâm đối xứng cực hay
• Dạng bài tập về phép quay 90 độ cực hay
• Dạng bài tập về phép quay 180 độ cực hay
• Cách tìm ảnh của điểm qua phép quay cực hay
• Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay cực hay

---