Tìm ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng tâm cực hay

Bài viết Tìm ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng tâm với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng tâm.

Tìm ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng tâm cực hay

A. Phương pháp giải

[1]. PP1: Sử dụng tính chất: Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Bước 1. Xác định tâm I , bán kính R của (C)

Bước 2. Tìm ảnh I’ của tâm I qua phép đối xứng tâm

Bước 3. Viết phương trình đường tròn có tâm I’ và bán kính R’=R

[2]. PP2: Sử dụng biểu thức tọa độ (Phương pháp quỹ tích)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): (x - 5)² + (y + 3)² = 16 qua phép đối xứng tâm O(0;0).

Hướng dẫn giải:

Gọi I' là điểm đối xứng của I(5;-3) qua tâm O(0;0), suy ra I'(-5;3).

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách nên R' = R = 4

Vậy đường tròn (C') có tâm I'(-5;3), bán kính R' = 3 nên (C'): (x + 5)² + (y - 3)² = 16

Cách 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O(0;0) là

Thay vào (C) ta được (-x' - 5)² + (-y' + 3)² = 16 ⇔ (x' + 5)² + (y' - 3)² = 16.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R): x² + y² + 2x - 6y + 6 = 0 điểm I(1;2). Tìm ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I

Hướng dẫn giải:

Gọi M(x;y) là điểm bất kỳ thuộc (O;R) và (E). Từ công thức chuyển trục ta có:

(2 - x')² + (4 - y')² + 2(2 - x') - 6(4 - y') + 6 = 0

⇔ x'² + y'² - 6x' - 2y' + 6 = 0

⇔ x² + y² - 6x - 2y + 6 = 0

Cách 2. x² + y² + 2x - 6y + 6 = 0 có tâm J(-1;3), R = 2

Ta chỉ tìm J’(x;y) là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I(1;2) bằng công thức chuyển trục tọa độ:

Do đó (O’): (x - 3)² + (y - 1)² = 4 là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh của đường trònx² + (y – 2)² = 4. qua phép đối xứng tâm I(-2;-1):

Hướng dẫn giải:

Đường tròn có tâm O(0,2), bán kính r = 2

Gọi O' là ảnh của O qua phép đối xứng tâm I khi đó ta có

x_O' = 2x_I - x_O = -4; y_O' ⁡ = 2y_I - y_O = -4 ⇒ O'(-4;-4)

Như vậy ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm là: (x + 4)² + (y + 4)² = 4

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): (x - 3)² + (y + 1)² = 9 qua phép đối xứng tâm O(0;0).

A. (C'): (x - 3)² + (y + 1)² = 9.

B. (C'): (x + 3)² + (y + 1)² = 9.

C. (C'): (x - 3)² + (y - 1)² = 9.

D. (C'): (x + 3)² + (y - 1)² = 9.

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(3;-1), bán kính R = 3.

Gọi I' là điểm đối xứng của I(3;-1) qua tâm O(0;0), suy ra I'(-3;1).

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách nên R' = R = 3.

Vậy đường tròn (C') có tâm I'(-3;1)., bán kính R' = 3 nên (C'): (x + 3)² + (y - 1)² = 9.

Cách 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O(0;0) là

Thay vào (C) ta được (-x' - 3)² + (-y' + 1)² = 9 ⇔ (x' + 3)² + (y' - 1)² = 9.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): (x - 7)² + (y + 5)² = 36 qua phép đối xứng tâm O(0;0).

A. (C'): (x + 7)² + (y - 5)² = 36

B. (C'): (x + 7)² + (y + 5)² = 36

C. (C'): (x - 7)² + (y - 5)² = 36

D. (C'): (x + 7)² + (y - 5)² = 6

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(7;-5), bán kính R = 6

Gọi I' là điểm đối xứng của I(7;-5) qua tâm O(0;0), suy ra I'(-7;5).

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách nên R' = R = 6

Vậy đường tròn (C') có tâm I'(-7;5)., bán kính R' = 6 nên (C'): (x + 7)² + (y - 5)² =36

Chọn A.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): x² + y² = 1 qua phép đối xứng tâm I(1;0).

A. (C'): (x - 2)² + y² = 1.

B. (C'): (x + 2)² + y² = 1.

C. (C'): x² + (y + 2)² = 1.

D. (C'): x² + (y - 2)² = 1.

Lời giải:

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I(a;b) là:

Thay vào (C) ta được (2 - x')² + (-y')² = 1 ⇔ (x' - 2)² + y'² = 1.

Chọn A.

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy. Phép đối xứng tâm I(–1;2) biến đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = 4 thành đường tròn nào sau đây:

A. (C'): (x + 1)² + (y – 2)² = 4.

B. (C'): (x – 1)² + (y – 2)² = 4.

C. (C'): (x + 1)² + (y + 2)² = 4.

D. (C'): (x – 2)² + (y + 2)² = 4.

Lời giải:

Chọn A

• (C) có tâm A(-1;2) bán kính R = 2. Nhận thấy: A(-1;2) ≡ I(-1;2)

• (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm I(–1;2) (trùng với tâm của đường tròn (C)) nên đường tròn (C') cũng có tâm chính là điểm A(-1;2)

• Bán kính của đường tròn không đổi qua phép đối xứng tâm nên: R' = R = 2.

Vậy phương trình(C'): (x + 1)² + (y – 2)² = 4.

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy. Phép đối xứng tâm I(–2;3) biến đường tròn (C): (x + 3)² + (y – 5)² = 9 thành đường tròn nào sau đây:

A. (C'): (x + 1)² + (y – 1)² = 9.

B. (C'): (x + 1)² + (y + 1)² = 9.

C. (C'): (x + 1)² + (y – 1)² = 3.

D. (C'): (x - 1)² + (y – 1)² = 9.

Lời giải:

Chọn A

+ (C) có tâm J(-3;5) bán kính R = 3.

+ (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm I(–2;3) nên đường tròn (C') có tâm J'(-1;1) bán kính R'=3.

Vậy (C'): (x + 1)² + (y – 1)² = 9.

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C). Biết (C')là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0).

và Biết (C'): (x - 7)² + (y+9)² = 25

A. (C): (x + 7)² + (y-9)² = 25

B. (C): (x - 7)² + (y-9)² = 25

C. (C): (x + 7)² + (y+9)² = 25

D. (C): (x + 7)² + (y-9)² = 5

Lời giải:

Đường tròn (C') có tâm I'(7;-9), bán kính R = 5

Gọi I là điểm đối xứng của I'(7;-9) qua tâm O(0;0), suy ra I(-7;9).

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách nên R' = R = 5

Vậy đường tròn (C) có tâm I'(-7;9), bán kính R' = 5 nên (C): (x + 7)² + (y-9)² = 25

Chọn A.

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ (Oxy). Cho phép đối xứng tâm I(1/2;2) biến đường tròn (C): (x + 1)² + (y - 2)² = 4 thành đường tròn (C') có phương trình là:

A. (x + 1)² + (y - 2)² = 4.

B. (x - 1)² + (y - 2)² = 4.

C. (x + 1)² + (y + 2)² = 4.

D. (x - 2)² + (y - 2)² = 4.

Lời giải:

Chọn D

Đường tròn (C): (x + 1)² + (y - 2)² = 4 có tâm J(-1;2), bán kính R = 2.

Gọi J'(x';y') là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I(1/2;2). Ta có:

Vậy phương trình (C') là (x - 2)² + (y - 2)² = 4.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 3)² = 16. Giả sử phép đối xứng tâm I biến điểm A(1;3) thành điểm B(a;b). Tìm phương trình của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm I.

A. (C'): (x - a)² + (y - b)² = 1.

B. (C'): (x - a)² + (y - b)² = 4.

C. (C'): (x - a)² + (y - b)² = 9.

D. (C'): (x - a)² + (y - b)² = 16.

Lời giải:

Cách 1:

• Ta có: B = D_I(A) suy ra I(x_I;y_I) là trung điểm của đoạn thẳng AB

• Đường tròn (C) có tâm J(1;3); bán kính R = 4

• Gọi K = D_I(J) khi đó I là trung điểm của JK ⇒ K(a;b)

• (C’) là đường tròn có tâm K(a;b), bán kính R = R’ = 4 có phương trình

(C'): (x - a)² + (y - b)² = 16.

Cách 2: Đường tròn (C) có tâm (1;3) trùng với điểm

A. Do đó, qua phép đối xứng tâm I biến điểm A - tâm của đường tròn (C) thành điểm B(a; b)là tâm đường tròn (C’)

Phương trình (C’): (x - a)² + (y - b)² = 16

Chọn D.

Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy. Phép đối xứng tâm I biến đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = 16 thành đường tròn(C'): (x + 3)² + (y – 10)² = 16 tìm tọa độ tâm I

A. I(-2;6)

B. I(2;6).

C. I(-2;-6).

D. I(6;-2).

Lời giải:

Chọn A

● (C) có tâm J(-1;2)

● (C') có tâm J'(-3;10)

Tâm đối xứng I là trung điểm của JJ’ suy ra I(-2;6)

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C) và (C') có phương trình lần lượt là x² + y² - 4x - 4y + 7 = 0 và x² + y² - 12x - 8y + 51 = 0. Xét phép đối xứng tâm I biến (C) và (C'). Tìm tọa độ tâm I.

A. I(2;3).

B. I(1;0).

C. I(8;6).

D. I(4;3).

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm K(2;2). Đường tròn (C') có tâm K'(6;4).

Tọa độ tâm đối xứng I là trung điểm của KK' nên suy ra I(4;3).

Chọn D.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường tròn (C): (x + 2)² + (y − 1)² = 1. Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O(0; 0).

Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x + 2)² + (y – 1)² = 1. Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 và phép đối xứng qua trục Ox.

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)² + (y + 3)² = 16. Tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I(1;0)

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C): x² + y² = 1 qua phép đối xứng tâm I(2; 0).

Bài 5. Tìm ảnh của đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1).

a) x² + y² – 4x – 2y – 4 = 0;

b) x² – y² + 2x – 4y – 11 = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tìm ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng tâm cực hay
• Cách tìm tâm đối xứng cực hay
• Dạng bài tập về phép quay 90 độ cực hay
• Dạng bài tập về phép quay 180 độ cực hay
• Cách tìm ảnh của điểm qua phép quay cực hay
• Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay cực hay

---