Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên - Toán lớp 11



Chuyên đề: Tổ hợp

Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ta sử dụng phương pháp chung và một số lưu ý sau:

Khi lập một số tự nhiên Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án ta cần lưu ý:

* ai ∈ {0,1,2,…,9} và a1 ≠ 0.

* x là số chẵn ⇔ an là số chẵn.

* x là số lẻ ⇔ an là số lẻ.

* x chia hết cho 3 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 3.

* x chia hết cho 4 ⇔ Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án chia hết cho 4.

* x chia hết cho 5 ⇔ an=0 hoặc an=5.

* x chia hết cho 6 ⇔ x là số chẵn và chia hết cho 3.

* x chia hết cho 8 ⇔ Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án chia hết cho 8.

* x chia hết cho 9 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 9.

* x chia hết cho 11⇔ tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11.

* x chia hết cho 25 ⇔ hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8.

Đáp án và hướng dẫn giải

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

a,b,c,d ∈ {0,1,2,4,5,6,8}, a ≠ 0.

Vì x là số chẵn nên d ∈ {0,2,4,6,8}.

TH1: d = 0 ⇒ có 1 cách chọn d.

Vì a ≠ 0 nên ta có 6 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}.

Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a}.

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a,b}.

Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 = 120 số.

TH2: d ≠ 0, d chẵn nên d ∈ {2,4,6,8}. Vậy có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn d, do a ≠ 0 nên ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}\{d}.

Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d}.

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d,b}.

Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4= 400 số.

Vậy có tất cả 120 + 400 = 520 số cần lập.

Bài 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.

Đáp án và hướng dẫn giải

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}, a ≠ 0.

Vì a ≠ 0 nên a có 6 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6}.

Với mỗi cách chọn a ta có 6 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a}.

Với mỗi cách chọn a,b ta có 5 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b}.

Với mỗi cách chọn a,b, c ta có 4 cách chọn d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,c}.

Vậy có 6.6.5.4 = 720 số cần lập.

Bài 3: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}.

Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.

Đáp án và hướng dẫn giải

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

a,b,c,d,e,f,g,h ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8} là số cần tìm.

Vì x lẻ và không chia hết cho 5 nên h ∈ {1,3,7} nên h có 3 cách chọn

Số các chọn các chữ số còn lại là: 7.6.5.4.3.2.1

Vậy 15120 số thỏa yêu cầu bài toán.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6},a ≠ 0

Vì x là số lẻ nên d ∈ {1,3,5} vậy d có 3 cách chọn.

Vì a ≠ 0 và với mỗi cách chọn d ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6}\{d}.

Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,d}.

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,d}.

Suy ra trong trường hợp này có 3.5.5.4 = 300 số.

Bài 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

a,b,c,d,e ∈ {0,1,2,3,4,5,6},a ≠ 0 là số cần lập, e ∈ {0,5}.

TH1: e = 0 suy ra có 1 cách chọn, số cách chọn a,b,c,d là 6.5.4.3

Trường hợp này có 360 số

TH2: e = 5 suy ra e có 1 cách chọn, số cách chọn a,b,c,d là 5.5.4.3 = 300.

Trường hợp này có 300 số

Vậy có 660 số thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 3: Cho tập hợp số A = {0,1,2,3,4,5,6}. Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

Lời giải:

Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là {0,1,2,3}, {0,1,2,6},{0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, {1,3,5,6}.

Vậy số các số cần lập là: 4(4! – 3!) + 3.4! = 144 số.

Bài 4: Có bao nhiêu số các số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho 10?

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

a,b,c,d,e là các chữ số, a ≠ 0.

Vì x chia hết cho 10 nên e = 0, vậy e có 1 cách chọn.

Chọn a có 9 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Chọn b có 10 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Chọn c có 10 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Chọn d có 10 cách chọn d ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Vậy số các số cần lập là 1.9.10.10.10 = 9000 số.

Bài 5: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu chẵn và chữ số đứng cuối lẻ.

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

a,b,c,d,e,f,g,h ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8} là số cần tìm.

Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a có 4 cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên h có 4 cách chọn. Các số còn lại có 6.5.4.3.2.1 cách chọn

Vậy có 42.6.5.4.3.2.1 = 11520 số thỏa yêu cầu bài toán.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


bai-toan-dem-so-phuong-an.jsp