Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song.

Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song

+ Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

+ Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Hệ quả:

$·$Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa a và song song với mặt phẳng (Q).

$·$Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

+ Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

2. Ví dụ minh họa về điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song

Ví dụ 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

a) Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.

b) Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.

c) Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

d) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia theo hai giao tuyến song song.

Hướng dẫn giải

Các mệnh đề đúng là: c, d.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của SA, SD, AB. Chứng minh rằng:

a) (MIN) // (SBC).

b) (MON) // (SBC).

Hướng dẫn giải

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SAD. Do đó, MN // AD. Mà AD // BC (vì ABCD là hình chữ nhật) nên MN // BC. Do đó, MN// (SBC) (1).

Vì M, I lần lượt là trung điểm của SA, AB nên MI là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó, MI // SB. Suy ra MI // (SBC) (2).

Mặt khác, MN và MI cắt nhau tại M và nằm trong mặt phẳng (MNI) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra: (MIN) // (SBC).

b) Vì O là tâm của hình chữ nhật ABCD nên O là trung điểm của AC.

Vì O, M lần lượt là trung điểm của AC, SA nên OM là đường trung bình của tam giác SAC. Do đó, MO // SC. Suy ra MO // (SBC) (4).

Ta có: MO và MN cắt nhau tại M và cùng nằm trong mặt phẳng (MON) (5).

Từ (1), (4) và (5) suy ra: (MON) // (SBC).

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và tam giác SBD đều. Gọi (α) là mặt phẳng song song với (SBD) và đi qua điểm I thuộc AO (I khác A, O). Xác định các giao tuyến của (α) với các mặt của hình chóp S.ABCD. Các giao tuyến tìm được tạo thành hình gì?

Hướng dẫn giải

Qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD, AB lần lượt tại N và M.

Qua M kẻ đường thẳng song song với SB cắt SA tại P.

Vì MN // BD, BD ⸦ (SBD) nên MN // (SBD).

Vì MP // SB, SB ⸦ (SBD) nên MP // (SBD).

Do đó, (MNP) // (SBD). Suy ra, mặt phẳng (α) là mặt phẳng (MNP).

Ta có: (α) ∩ (ABCD) = MN, (α) ∩ (SAB) = PM, (α) ∩ (SAD) = NP.

Do đó, các giao tuyến của (α) với các mặt của hình chóp S.ABCD tạo thành tam giác MNP.

Vì tam giác MNP đồng dạng với tam giác SBD, mà tam giác SBD đều nên tam giác MNP đều.

3. Bài tập về điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song

Bài 1. Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với mặt phẳng (Q).

b) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có vô số một mặt phẳng (P) chứa a và song song với mặt phẳng (Q).

c) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi N, M, P lần lượt là thuộc các cạnh SD, SA, SB sao cho SM = 2 MD, SN = 2NA, SP = 2PB. Chứng tỏ rằng (MNP) // (ABCD).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Gọi J là điểm thuộc cạnh MN (J khác M, N). Chứng minh rằng OJ // (SAD).

Bài 4. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, N là điểm bất kì trên AI (N khác A, I). Vẽ mặt phẳng (α) qua N song song với (DIC). Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của tứ diện ABCD là hình gì?

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 6 cm, $\widehat{BAC}={30}^o$. Gọi (α) là mặt phẳng song song với (ABC) cắt cạnh SA tại M. Biết rằng SA = 3MA. Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của hình chóp S.ABC là hình gì? Tính diện tích của hình đó.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Hai mặt phẳng song song là gì

• Phép chiếu song song là gì

• Tính chất của phép chiếu song song

• Hình biểu diễn một hình trong không gian là gì

• Giới hạn bằng 0 của dãy số là gì

• Giới hạn hữu hạn của dãy số là gì

---