Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng.

Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P) thì a song song với (P).

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Chú ý: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

2. Ví dụ minh họa về điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

+ MN // AC.

+ MN // (ABCD).

+ MN // (SAC).

Hướng dẫn giải

Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC nên MN là đường trung bình của tam giác SAC. Do đó, MN//AC.

Vì MN // AC, AC ⸦ (ABCD), MN ⊄(ABCD) nên MN // (ABCD).

Vì M, N thuộc mặt phẳng (SAC) nên MN ⸦ (SAC).

Vậy các khẳng định đúng là: MN // AC, MN // (ABCD).

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD, F là điểm trên cạnh BC sao cho BF = 3FC. Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (MNF) và các mặt của tứ diện ABCD? Các giao tuyến đó tạo thành hình gì?

Hướng dẫn giải

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, MN//BD.

Ta có: . Do đó, giao tuyến của mặt phẳng (MNF) và (BCD) là đường thẳng xy qua F song song với BD và MN.

Trong (BCD): Gọi E là giao điểm của xy và CD. Do đó, EF = (BCD) ∩ (MNF).

Lại có: MN = (ABD) ∩ (MNF), NE = (ACD) ∩ (MNF), MF = (ABC) ∩ (MNF).

Do đó, các giao tuyến của mặt phẳng (MNF) và các mặt của tứ diện ABCD tạo thành tứ giác MNEF.

Tứ giác MNEF có: MN//EF nên tứ giác MNEF là hình thang.

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho BC = 3BM. Gọi N và P lần lượt là trung điểm của BD và AD.

a) Chứng minh rằng PN // (ABC).

b) Gọi Q là giao điểm của AC và mặt phẳng (MNP). Tính tỉ số của QA và AC.

Hướng dẫn giải

a) Vì P, N lần lượt là trung điểm của AD, BD nên PN là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, PN//AB. Mà PN không thuộc (ABC) nên PN // (ABC).

b) Vì AB ⸦ (ABC), (ABC) và (MNP) có điểm chung là M nên giao tuyến của (MNP) và (ABC) là đường thẳng qua M song song với AB.

Trong (ABC), gọi Q là giao điểm của đường thẳng qua M song song với AB. Khi đó, Q là giao điểm của AC và mặt phẳng (MNP).

Tam giác ABC có: MQ//AB nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{QA}{AC}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{3}$.

3. Bài tập về điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng

Bài 1. Chọn các khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng a’ nằm trong mặt phẳng (P) thì a song song với (P).

b) Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b cùng song song với mặt phẳng (P) thì a và b hoặc song song với nhau hoặc chéo nhau.

c) Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b.

d) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b cắt a.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi CM và AN lần lượt là các đường trung tuyến của tam giác BCD và ABC. Trên AM lấy điểm H, AN lấy điểm K sao cho AM = 3AH, AN = 3AK. Chứng minh rằng:

a) HK // CD.

b) HK // (BCD).

Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm P. Gọi (α) là mặt phẳng qua P và song song với AB, CD. Xác định giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện. Hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì? Vì sao?

Bài 4. Cho hình chóp S. ABC. Lấy M là trung điểm của SA và lấy điểm E bất kì trên cạnh BC. Gọi (P) là mặt phẳng qua ME và song song với SC. Tìm vị trí của điểm E để giao tuyến các mặt của hình chóp S. ABC và mặt phẳng (P) tạo thành hình bình hành.

Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành. Lấy M, N lần lượt thuộc hai cạnh AB và CD. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua MN và song song với SB.

a) Xác định các giao tuyến các mặt của hình chóp tứ giác S.ABCD và mặt phẳng (P). Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

b) Để hình thu được ở phần a là hình thang thì MN cần có điều kiện gì?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Đường thẳng song song với mặt phẳng

• Hai mặt phẳng song song là gì

• Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song

• Phép chiếu song song là gì

• Tính chất của phép chiếu song song

• Hình biểu diễn một hình trong không gian là gì

---