So sánh các biểu thức chứa lũy thừa lớp 11 (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập So sánh các biểu thức chứa lũy thừa lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập So sánh các biểu thức chứa lũy thừa.

So sánh các biểu thức chứa lũy thừa lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

* Phương pháp: Để so sánh các biểu thức chứa lũy thừa, ta cần thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ (nếu có thể).

Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ và số thực.

Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa.

* Một số tính chất cần lưu ý:

➢ Hai lũy thừa cùng cơ số: Cho a, α, β là ba số thực ta có:

✓ Với a > 1 thì a^α > a^β ⇔ α > β;

✓ Với 0 < a < 1 thì a^α > a^β ⇔ α < β.

➢ Hai lũy thừa cùng số mũ: Cho 0 < a < b, α là một số thực ta có:

a^α < b^α ⇔ α > 0;                            a^α > b^α ⇔ α < 0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. So sánh các số sau:

a) 7¹⁰⁰ và 7²⁰⁰;

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}$ và ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{11}$.

Hướng dẫn giải

a) Do 7 > 1 và 200 > 100 nên 7²⁰⁰ > 7¹⁰⁰.

b) Do 0 < $\frac{1}{2}$ < 1 và 11 > 10 nên ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{11}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}$.

Ví dụ 2. So sánh các số sau:

a) π^–2024 và 3,14^–2024;

b) $\frac{1}{3^{400}}$ và $\frac{1}{4^{300}}$.

Hướng dẫn giải

a) Do 0 < 3,14 < π và –2024 < 0 nên 3,14^–2024 > π^–2024.

b) Ta có: $\frac{1}{3^{400}}={\left(\frac{1}{3^4}\right)}^{100}={\left(\frac{1}{81}\right)}^{100}$ và $\frac{1}{4^{300}}={\left(\frac{1}{4^3}\right)}^{100}={\left(\frac{1}{64}\right)}^{100}.$

Do 0 < $\frac{1}{81}<\frac{1}{64}$ và 100 > 0 nên ${\left(\frac{1}{81}\right)}^{100}<{\left(\frac{1}{64}\right)}^{100}\iff \frac{1}{3^{400}}<\frac{1}{4^{300}}.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho a, m, n là các số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a^m < aⁿ ⇔ m < n;

B. a^m > aⁿ ⇔ m > n;

C. Nếu a < b thì a^m < aⁿ ⇔ m > 0;

D. 0 < a < 1, a^m > aⁿ ⇔ m < n.

Bài 2. Nếu $a^{\sqrt{3}}<a^{\sqrt{2}}$ thì

A. a > 1;

B. a < 1;

C. 0 < a < 1;

D. a > 0.

Bài 3. Số nhỏ hơn 1 trong các số dưới đây là

A. (0,7)^{2 024};

B. (0,7)^{–2 024};

C. (1,7)^{2 024};

D. (2,7)^{2 024}.

Bài 4. Nếu a > 1 thì

A. $a^{-\sqrt{3}}>\frac{1}{a^{\sqrt{5}}};$

B. $a^{-\sqrt{3}}<\frac{1}{a^{\sqrt{5}}};$

C. $a^{-\sqrt{3}}\le \frac{1}{a^{\sqrt{5}}};$

D. $a^{-\sqrt{3}}=\frac{1}{a^{\sqrt{5}}}.$

Bài 5. Cho (0,25π)^α > (0,25π)^β. Kết luận nào sau đây đúng?

A. α.β = 1;

B. α > β;

C. α + β = 0;

D. α < β.

Bài 6. Nếu ${\left(\sqrt{2}\right)}^a>{\left(\sqrt{3}\right)}^a$ thì

A. a > 1;

B. a < 0;

C. 0 < a < 1;

D. a > 0.

Bài 7. Nếu ${(2-\sqrt{3})}^{a-1}<2+\sqrt{3}$ thì:

A. a > 0;

B. a > 1;

C. a < 1;

D. a < 0.

Bài 8. Nếu $a^{-\frac{3}{2}}<a^{\frac{2}{3}}$ thì

A. a > 1;

B. a < 0;

C. 0 < a < 1;

D. a > 0.

Bài 9. Nếu ${(2a-2)}^{\frac{1}{10}}<{(a+2)}^{\frac{1}{10}}$ thì khẳng định nào sau đây đúng?

A. a > 4;

B. a < 4;

C. 1 < a < 4;

D. 0 < a < 1.

Bài 10. Điều kiện nào của m để ${(m-1)}^{-2\sqrt{3}}>{(m-1)}^{-3\sqrt{2}}$?

A. 0 < m < 1;

B. m > 1;

C. 1 < m < 2;

D. m > 2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Bài toán lãi suất – dân số

• Tính giá trị của lôgarit và giá trị của biểu thức có chứa lôgarit

• Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn biểu thức

• Bài toán thực tế về lôgarit

• Nhận dạng hàm số mũ và hàm số lôgarit

---