Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn biểu thức lớp 11 (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn biểu thức lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn biểu thức.

Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn biểu thức lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

*Phương pháp: Để biến đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến có chứa lôgarit, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số (nếu có thể).

Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức chứa biến bằng cách sử dụng các tính chất của lôgarit.

* Một số kiến thức cần lưu ý:

➢ Tính chất của lôgarit: Cho hai số dương a, b với a ≠ 1.

✓ log_a 1 = 0; log_a a = 1;

✓ a^{log_a M} = M; log_a a^α = α.

➢ Quy tắc tính lôgarit: Cho các số dương a, M, N với a ≠ 1.

✓ log_a (MN) = log_a M + log_a N (Tích – tổng);

✓ ${\log }_a\left(\frac{M}{N}\right)$ = log_a M – log_a N (Thương – hiệu);

✓ log_a M^α = αlog_a M.

➢ Công thức biến đổi cơ số: Cho các số dương a, b, M với a ≠ 1 và b ≠ 1.

✓ ${\log }_{a}M=\frac{{\log }_{b}M}{{\log }_{b}a};$

✓ ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a};$

✓ ${\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b.$

➢ Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.

✓ Lôgarit cơ số 10 của một số dương M gọi là lôgarit thập phân: log₁₀M (M > 0) được viết là logM hoặc lgM.

✓ Lôgarit cơ số e của một số dương N gọi là lôgarit tự nhiên: log_eN (N > 0) được viết là lnN.

* Chú ý: Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên là trường hợp đặc biệt của lôgarit thông thường ở trên nên nó có đầy đủ tính chất, quy tắc tính của lôgarit thông thường.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho a > 0 và a ≠ 1. Tính:

a) log_a a^–3;

b) ${\log }_a\sqrt{a\sqrt{a}};$

c) ${\log }_{\frac{1}{a}}\sqrt[3]{a^7}$.

Hướng dẫn giải

a) log_a a^–3 = –3.

b) ${\log }_a\sqrt{a\sqrt{a}}={\log }_a{(a.a^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}={\log }_a{\left(a^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}={\log }_a{a}^{\frac{3}{4}}=\frac{3}{4}$.

c) ${\log }_{\frac{1}{a}}\sqrt[3]{a^7}={\log }_{a^{-1}}{a}^{\frac{7}{3}}=\frac{1}{-1}{\log }_a{a}^{\frac{7}{3}}=(-1).\frac{7}{3}=-\frac{7}{3}.$

Ví dụ 2. Cho log_a b = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = log_a b³ + log_a² b⁶;

b) B = log_a (2b) + log_a($\frac{b^2}{2}$).

Hướng dẫn giải

a) A = log_a b³ + log_a² b⁶ = 3log_a b + 6.$\frac{1}{2}$log_a b = 6log_a b.

Suy ra A = 6.2 = 12.

b) $B={\log }_a\left(2b\right)+{\log }_a\left(\frac{b^2}{2}\right)$ = log_a 2 + log_a b + log_a b² – log_a 2

= log_a b + log_a b² = log_a b + 2log_a b = 3log_a b.

Suy ra B = 3.2 = 6.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho a > 0, a ≠ 2. Giá trị của ${\log }_{\frac{a}{2}}\left(\frac{a^2}{4}\right)$ bằng:

A. $\frac{1}{2};$

B. 2;

C. $-\frac{1}{2};$

D. – 2.

Bài 2. Nếu ${\log }_4\sqrt{a}=16$ thì log₄ a bằng:

A. 32;

B. 256;

C. 8;

D. 4.

Bài 3. Cho các số thực a, b > 1. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. log_a $\frac{a}{b}$= log_b a;

B. log_{a $\frac{a}{b}$}= log_a b;

C. log_{a $\frac{a}{b}$}= 1 + log_a b;

D. log_{a $\frac{a}{b}$}= 1 – log_a b.

Bài 4. Nếu log_a b = 2, log_a c = 3, thì log_a (b²c³) bằng:

A. 108;

B. 13;

C. 31;

D. 36.

Bài 5. Cho a > 0, b > 0. Mệnh đề đúng là:

A. log_{2$\left(\frac{2a^3}{b}\right)$} = 1 + 3log₂ a – log₂ b;

B. log_{2$\left(\frac{2a^3}{b}\right)$} = 1 + log₂ a – log₂ b;

C. log_{2$\left(\frac{2a^3}{b}\right)$} = 1 + 3log₂ a + log₂ b;

D. log_{2$\left(\frac{2a^3}{b}\right)$} = 1 + log₂ a + log₂ b.

Bài 6. Nếu log_a b = 5 thì log_a²b ab² bằng:

A. $\frac{11}{7};$

B. 1;

C. 4;

D. $\frac{26}{7}$.

Bài 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Rút gọn biểu thức

$P=\log \frac{a}{b}+\log \frac{b}{c}+\log \frac{c}{d}-\log \frac{a}{d}$ ta được kết quả là

A. P = loga – logb;

B. P = 2logd;

C. P = 1;

D. P = 0.

Bài 8. Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a² + b² = 7ab. Khi đó, log(a + b) bằng:

A. $\log 9+\frac{1}{2}(\log a+\log b);$

B. $\log 3+\frac{1}{2}\log a.\log b;$

C. $\log 3+\frac{1}{2}\log a+\log b;$

D. $\log 3+\frac{1}{2}(\log a+\log b).$

Bài 9. Cho a > 0, a ≠ 1, $a^{\frac{1}{2}}=b.$ Khi đó giá trị của ${\log }_{ab}\left(a\sqrt{b}\right)$ bằng

A. $\frac{5}{6};$

B. $\frac{1}{2};$

C. $\frac{3}{2};$

D. $\frac{2}{3}.$

Bài 10. Nếu log_ab = 4 thì ${\log }_{a\sqrt[3]{b}}\left(\sqrt[4]{a\sqrt{b}}\right)$ bằng

A. $\frac{9}{19};$

B. $\frac{9}{28};$

C. $\frac{9}{29};$

D. $\frac{9}{39}.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Bài toán thực tế về lôgarit

• Nhận dạng hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Tập xác định của hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit

• Bài toán thực tế về hàm số mũ và hàm số lôgarit

---