Sử dụng tính chất lũy thừa để biến đổi, rút gọn các biểu thức lớp 11 (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Sử dụng tính chất lũy thừa để biến đổi, rút gọn các biểu thức lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng tính chất lũy thừa để biến đổi, rút gọn các biểu thức.

Sử dụng tính chất lũy thừa để biến đổi, rút gọn các biểu thức lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

* Phương pháp: Để biến đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến có chứa lũy thừa, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ (nếu có thể).

Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức chứa biến có chứa lũy thừa bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ và số thực.

* Các tính chất biến đổi lũy thừa:

➢ Lũy thừa với số mũ nguyên: Với a ≠ 0, b ≠ 0 và hai số nguyên m, n.

➢ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Với n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên và biểu thức ở dưới đây đều có nghĩa, ta có:

Chú ý: Với a > 0, m là số nguyên và n là số nguyên dương, ta có:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

➢ Lũy thừa với số mũ thực: Với a, b > 0 và hai số thực m, n.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) $\sqrt{a\sqrt{a}};$

b) $b^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{b}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{a\sqrt{a}}={(a.a^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}={\left(a^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}={a\frac{3}{2}}^{.\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{4}}.$

b) $b^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{b}=\frac{b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{b}}=\frac{b^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}=b^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=b^1=b.$

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức P = $\frac{a^{\sqrt{7}+1}{a}^{2-\sqrt{7}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}$ với a > 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: P = $\frac{a^{\sqrt{7}+1}{a}^{2-\sqrt{7}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}=\frac{a^{\sqrt{7}+1+2-\sqrt{7}}}{a^{(\sqrt{2}-2).(\sqrt{2}+2)}}=\frac{a^3}{a^{-2}}=a^5$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho a là một số thực dương. Biểu thức $a^{\frac{2}{3}}.\sqrt{a}$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A. $a^{\frac{7}{3}};$

B. $a^{\frac{7}{6}};$

C. $a^{\frac{5}{3}};$

D. $a^{\frac{1}{3}}.$

Bài 2. Biểu thức $Q=\sqrt[3]{x^2\sqrt{x^3}}$ với x > 0 được rút gọn bằng

A. $x^{\frac{5}{3}}$;

B. $x^{\frac{7}{6}}$;

C. $x^{\frac{1}{3}}$;

D. $x^{\frac{5}{6}}$.

Bài 3. Rút gọn biểu thức $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$ với x ≥ 0 nhận được

A. $\sqrt[6]{x}$;

B. $x^{\frac{1}{5}};$

C. $\sqrt[5]{x};$

D. $x^{\frac{2}{5}}.$

Bài 4. Biểu thức $N=a^{\sqrt{3}}.{\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{3}-1}$ với a > 0 được rút gọn bằng

A. $\frac{1}{a};$

B. a³;

C. a;

D. 1.

Bài 5. Cho đẳng thức $\frac{\sqrt[3]{a^2\sqrt{a}}}{a^3}$ với a > 0 và a ≠ 1. Khi đó α thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. (–1; 0);

B. (0; 1);

C. (–2; –1);

D. (–3; –2).

Bài 6. Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt[3]{8}.a^{{\displaystyle \frac{7}{3}}}}{a^5.\sqrt[4]{a^{-3}}}$ (a > 0), ta được kết quả $A=a^{\frac{m}{n}}$, trong đó m, n ∈ ℕ^* và  là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 3m² – 2n = 0;

B. m² + n² = 25;

C. m² – n² = 25;

D. 2m² + n² = 10.

Bài 7. Biết 2^x + 2^–x = m với m ≥ 2. Giá trị của biểu thức M = 4^x + 4^–x là

A. M = m – 2;

B. M = m² + 2;

C. M = m² – 2;

D. M = m + 2.

Bài 8. Biểu thức rút gọn của $B=(\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+2}{a+2a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}-\frac{a^{\frac{1}{2}}-2}{a-1}).\frac{a^{\frac{1}{2}}+1}{\sqrt{a}}$ (với a > 0, a ≠ 1) có dạng . Khi đó m – n bằng bao nhiêu?

A. –1;

B. 1;

C. –3;

D. 3.

Bài 9. Cho a > 0, b > 0. Biểu thức $K=\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{b}+b^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}$ được rút gọn bằng

A. ab;

B. $\sqrt{ab}$;

C. $\sqrt[3]{ab};$

D. $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}.$

Bài 10. Cho x, y là các số thực dương khác 1. Biểu thức sau $H=\frac{x^{2\sqrt{2}}-y^{2\sqrt{3}}}{{(x^{\sqrt{2}}-y^{\sqrt{3}})}^2}$ được rút gọn bằng

A. $\frac{2x^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}-y^{\sqrt{3}}};$

B. $\frac{x^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}-y^{\sqrt{3}}};$

C. $\frac{x^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}+y^{\sqrt{3}}};$

D. $\frac{2x^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}+y^{\sqrt{3}}}.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• So sánh các biểu thức chứa lũy thừa

• Bài toán lãi suất – dân số

• Tính giá trị của lôgarit và giá trị của biểu thức có chứa lôgarit

• Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn biểu thức

• Bài toán thực tế về lôgarit

---