Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng - phần 2)

Bài viết Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học (19 dạng - phần 2) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học (19 dạng - phần 2).

Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng - phần 2)

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Viết phương trình đường thẳng d song song với d’ đồng thời cắt cả hai đường thẳng d₁ và d₂

1. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d’ và chứa d₁

- Viết phương trinh mặt phẳng (Q) song song với d’ và chứa d₂

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Cách 2:

M = d ∩ d₁; N = d ∩ d₂

Vì d // d’ nên MN^→ và u_d→ cùng phương hay MN^→ = k.u_d^→

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁, d₂ và song song với d₃ biết

Hướng dẫn giải:

+ Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d₁; d₂ và d₃ lần lượt là

u₁→ ( 3; 4; 1) ; u₂→ (1; 2; -1); u₃→ (3; 2; -1)

- Mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với d₃

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là n_P→ = [u₁→; u₃→] =( - 6; 6; -6)

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là n→(1; -1; 1)

Một điểm thuộc d₁ là điểm thuộc (P) là : (2; -2; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1.(x – 2) – 1.(y + 2) + 1. (z – 1) = 0 hay x – y + z – 5 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và song song với d₃

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là n_Q→ = [u₂→; u₃→] = ( 0 ; -2; -4)

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (Q) là n→(0; 1; 2)

Một điểm thuộc d₂ là điểm thuộc (Q) là : (7; 3; 9)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

0.(x – 7) + 1.(y – 3) + 2. (z – 9) = 0 hay y + 2z – 21 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z = t, ta có:

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d₁ và d₂ có vecto chỉ phương là u₁→(1; 2; 3); u₂→(- 1; 3; 2)

Trục Ox có vecto chi phương u_Ox→ (1; 0; 0)

- Mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là = (0; 3; -2)

Một điểm thuộc d₁ là điểm thuộc (P) là : (0; 0; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

0.(x – 0) + 3.(y – 0) – 2 . (z – 1) = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là n_Q→ = [u₂→; u_Ox→] = (0; 2; -3)

Một điểm thuộc d₂ là 1 điểm thuộc (Q) là : (2; -1; -1)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

0.(x – 2) + 2.(y + 1) – 3 . (z + 1) = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy phương trình tham số của d là:

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d₁: . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ là:

Hướng dẫn giải:

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm

Gọi giao điểm của ∆ với d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

Do A thuộc d₁ nên tọa độ A (- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a)

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B ( 1+ b; 2b; - 1+ 3b)

Vecto AB→( b- 3a + 2; 2b- a- 2; 3b- 2a- 2) là một vecto chỉ phương của ∆.

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u_d→( 0; 1; 1) .

+ Do đường thẳng d//∆ nên haii vecto AB→; u_d→ cùng phương

=> có một số k thỏa mãn AB→= k.u_d→

=> Tọa độ A( 2; 3; 3) và B(2; 2; 2)

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm A( 2; 3; 3) và có vectơ chỉ phương AB→(0; -1; -1)

Vậy phương trình của ∆ là

Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M( 1;1;1 ) và N(0; -2 ; 3). Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và d₂; song song với đường thẳng MN.

Hướng dẫn giải:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( a; 3- 2a; 1- a)

+ Điểm B thuộc d₂ nên B( 1- b;2+ 2b; - 2) .

=> Vectơ AB→( 1- b- a; 2b+ 2a- 1; a- 3) là một vecto chỉ phươn của đường thẳng d

+ Đường thẳng MN nhận vecto MN→( -1; - 3; 2) làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là ( -1; - 3; 2)

=> Hai vecto AB→, MN→ cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho: AB^→ = k.MN^→

=> Tọa độ của A (13/5; -11/5; -8/5); B (14/5; -8/5; -2)

Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto AB→(1/5; 3/5; -2/5) = 1/5(1;3-2) làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn B

Dạng 12. Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d₁ và d₂ chéo nhau.

1. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết PT mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với d₂

- Viết PT mặt phẳng (Q) chứa d₁ và vuông góc với (P)

- Tìm giao điểm M = d₁ ∩ (Q), pt đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P)

Cách 2:

Gọi M = d ∩ d₁; N = d ∩ d₂

Vì d là đường vuông góc chung nên

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

Hướng dẫn giải:

- Mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với d₂ có n_P→ = [u₁→; u₂→]= (-12; -10; 8)

Chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là (6; 5; -4)

- Mặt phẳng (Q) chứa d₁ và vuông góc với (P) có n_Q→ = [u₁→; n_P→] = ( -2; 24; 27)

Một điểm thuộc d₁ cũng thuộc (Q) là: (2; -1; 0)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

– 2.(x – 2) + 24.(y + 1) + 27.(z – 0) = 0 hay – 2x + 24y + 27z + 28 = 0

- Giao điểm M = d₂ ∩ (Q) có tọa độ là (t; 2t + 1; 4t – 1) thỏa mãn:

– 2.t + 24(2t + 1) + 27(4t – 1) + 28 = 0 => t = -25/154

=> M(-25/154; 52/77; -127/77)

Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P) : (6; 5; -4)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

Chọn B.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

Hướng dẫn giải:

Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho

M = d ∩ d₁ => M (t; 5-2t; 14-3t)

N = d ∩ d₂ => N (9-4t’; 3+t’; -1+5t’)

=> MN^→( 9- 4t’ – t; - 2+ t’+ 2t; -15 + 5t’ + 3t)

Ta có :

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d₁; d₂ là.

Hướng dẫn giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm

Gọi A = d ∩ d₁; B = d ∩ d₂

+ Do A thuộc d₁ nên A( 2+a; 1- a; 2-a)

+ Do B thuộc d₂ nên B( b; 3; - 2+ b)

AB^→( - a+ b – 2; a + 2; a+ b - 4)

+ Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương u₁→( 1; -1; -1)

+ Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương u₂→(1; 0; 1)

+ Ta có:

=> A( 2; 1; 2) và B( 3; 3; 1)

+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương AB^→( 1; 2; -1)

Vậy phương trình của d là

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A( -1;1;0); B( 1;3;3); C( 1; 2; 1) và D( 1; 1; 1). Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?

A. ( -3; 0; -1)    B. ( 1; 0; 1)    C. ( -1; 0; 2)    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -1 ; 1 ; 0) và nhận vecto AC→( 2 ; 1 ;1) làm vecto chỉ phương nên có phương trình

+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1 ; 3 ; 3) và nhận vecto BD→( 0 ; -2 ; -2) làm vecto chỉ phương nên có phương trình

+ M thuộc AC nên M( -1+ 2m;1+ m;m)

+ N thuộc BD nên N( 1; 3- 2n; 3- 2n)

=> MN→ ( 2+ 2m; 2-2n – m; 3- 2n- m)

+ Ta có đường thẳng MN vuông góc với AC và BD nên :

=> đường thẳng d cắt AC tại M( - 3; 0;-1)

Chọn A.

Dạng 13. Viết phương trình của đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên mặt phẳng (P).

1. Phương pháp giải

1. Phương pháp giải

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với mặt phẳng (P)

- Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương u_d'→( -1; 2; -1)

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là n_P→(1; -1; 1)

- Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có n_Q→ = [u_d'→;n_P→] = ( 1; 0; -1)

Một điểm thuộc d’ cũng thuộc (Q) là: (1; 2; -1)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

1.(x – 1) + 0.(y - 2) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 2 = 0

- Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn:

Chọn x = t

Vậy phương trình của d là

Chọn A.

Ví dụ 2: : Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên (Oxy) biết

Hướng dẫn giải:

Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxy) là điểm M’ (x; y; 0) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxy)

Vậy d’ có phương trình tham số là:

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: và mặt thẳng (P): 3x+ 5y – z- 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là

Hướng dẫn giải:

+ Gọi mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).

Đường thẳng d đi qua điểm B( 12; 9; 1) và có vectơ chỉ phương u_d→( 4; 3; 1).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n_P→( 3; 5; -1)

=> Mặt phẳng (Q) qua B( 12; 9; 1) có vectơ pháp tuyến n→ = [u_d→; n_P→] = ( -8;7; 11)

=> Phuong trình (Q): - 8( x- 12) + 7( y- 9) + 11(z- 1) = 0

Hay – 8x + 7y + 11z + 22= 0

+ Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q).

Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho y= 0

Ta có hệ

=> M( 0; 0; - 2)

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; 0; - 2) và có VTCP u_d→= [n_P→; n_Q→] = ( 62; -25; 61)

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(1; 1; -2) và B(0; 2; -2). Cho mặt phẳng ( P): x+ y- 2z- 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)?

Hướng dẫn giải:

+ Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được :

1+ 1- 2.(-2) – 6 = 0 ( thỏa mãn).

Và 0+ 2- 2( -2) – 6= 0 ( thỏa mãn) .

=> Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng (P).

Suy ra; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB.

=> Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) là chính nó.

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; -2) và nhận vecto AB→( -1; 1; 0)

=> Phương trình AB:

Chọn C.

Dạng 14. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

1. Phương pháp giải

Vị trí tương đối giữa đường thẳng d (đi qua M_o và có vectơ chỉ phương u→) và đường thẳng d’ (đi qua M_o' và có vectơ chỉ phương u'→)

- d và d’ cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔ [u→; u'→].M_oM'_o→ = 0

- d và d’ chéo nhau [u→; u'→].M_oM'_o→ ≠ 0

- d ⊥ d' ⇔ u→.u'→ = 0

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’:

A. Song song    B. Trùng nhau     C. Cắt nhau    D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có u_d→(1; 2; 3) và đi qua M_o ( -1; 1; -2)

Đường thẳng d’ có u'_d→(3; 2; 2) và đi qua M_o' ( 1; 5; 4)

=> M_oM_o'^→ (2; 4; 6) và [u_d→;u'_d→] = (-2; 7; - 4) ≠ 0^→

Ta có: [u_d→;u'_d→].M_oM'_o→ = -2. 2+ 7.4 - 4.6 = 0

Vậy d và d’ cắt nhau..

Chọn C.

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

A. Cắt nhau    B. Trùng nhau    C. Chéo nhau    D. Song song

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→(1; 1; -1) và đi qua M_o (0; 1; 2)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương u'_d→(2; 2; -2)

Nên hai đường thẳng d và d’ song song.

Chọn D.

Ví dụ 3: Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

A. a= 2    B. a= -3    C. a= -2    D. a= 4

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là ( 1; a; -1) và (2; 4; -2)

Để d // d’ thì 1/2 = a/4 = -1/-2 => a = 2

Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2; 2) và điểm N không thuộc d.

Vậy d // d’ khi và chỉ khi a = 2

Chọn A.

Ví dụ 4: Xét vị trí tương đối của d và d’ biết và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P) : 2x – 3y – 3z – 9 = 0 và (P’): x – 2y + z + 3 = 0

A. Trùng nhau     B.Song song    C. Cắt nhau    D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải:

- Trước hết viết phương trình đường thẳng d’:

Lây điểm M’ (x; y; z) thuộc d’ có tọa độ thỏa mãn hệ:

Chọn z = 0 ta được 1 điểm M’ thuộc d’ là (27; 15; 0)

Vectơ chỉ phương của d’ là u_d'→ = [n_P→; n_P'→] = ( -9; -5; -1)

- đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→( 9; 5; 1) => [u_d→;u_d'→] = 0^→ (1)

Lại có: M' ∈ d (2)

Từ (1) và (2) suy ra, d ≡ d’

Chọn A.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d₁: . Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d₁ cắt d₂?

A. m= 0    B. m= 1    C. m= -2    D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d₁: đi qua A(1; 0; 1) và nhận vecto u₁→( 3; 1; 2) làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d₂: đi qua B(0; -2; -m) và nhận vecto u₂→(1; 2; 1) làm vecto chỉ phương

=> [u₁→; u₂→] = (-3; -1; 5) và AB^→(-1; -2; - m- 1 )

+ Để hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau thì: [u₁→; u₂→]. AB→ = 0

⇔ - 3.( -1) – 1( - 2) + 5( - m- 1) =0

⇔ 3+ 2- 5m- 5= 0 ⇔ 5m= 0 ⇔ m= 0

Chọn A.

Dạng 15.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

1. Phương pháp giải

Cho đường thẳng d đi qua M_o(x_o; y_o; z_o) và có vectơ chỉ phương (a; b;c) , cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là: Ax + By + Cz + D = 0

Gọi là vectơ pháp tuyến của (P). Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta có cách sau:

Cách 1:

Xét tích vô hướng n→.u→ và thay tọa độ điểm M_o vào phương trình của (P) để kiểm tra, ta có các

trường hợp sau:

- n→.u→ = 0 và M_o ∉ (P) nên d song song với (P)

- n→.u→ = 0 và M_o ∈ (P) thì d nằm trong mp(P)

- n→.u→ ≠ 0 thì d cắt (P)

- n→ = k.u→ thì d vuông góc với (P)

Cách 2:

Viết phương trình tham số của đường thẳng d:

Thay x, y, z ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (P):

Ax + By + Cz + D = 0 ta được:

A(x_o + at) + B.(y_o+ bt) + C. (z_o+ ct) + D = 0 hay mt + n = 0 ( 1)

Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau:

- (1) vô nghiệm ⇔ d song song với (P)

- (1) có một nghiệm t = t_o khi d cắt (P) tại điểm M_o( x_o+ a. t_o; y_o+ bt_o; z_o+ t_o. c)

- (1) có vô số nghiệm ⇔ d nằm trong (P)

- (A; B; C) = k (a; b; c) ⇔ d vuông góc với (P)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: với mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0

A. Cắt nhau     B. (P) chứa d     C. Song song    D. Vuông góc

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua M_o(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương u→(2; 4; 1)

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n→(1; 1; 1)

Ta có n→.u→ = 2.1+ 4.1+1.1 = 7

Vậy d cắt (P).

Chọn A.

Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: với mặt phẳng (P): x+ 2z – 7 = 0?

A. Cắt nhau    B. Song song     C. (P) chứa d    D.Vuông góc

Hướng dẫn giải:

+ đường thẳng d đi qua điểm A( 1; 0; -1) và có vecto chỉ phương u→(2; 1; -1)

+ Mặt phẳng (P) c vecto pháp tuyến n→(1; 0; 2)

=> u→. n→ = 2. 1+ 0.1- 1.2= 0 và điểm A không thuộc mặt phẳng (P)

=> Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)

Chọn B.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z – 4= 0 và đường thẳng d: . Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) thuộc mặt phẳng (Oyz) .

A. m = 2    B. m= -1    C.m= 1    D.m= 3

Hướng dẫn giải:

Ta có: d ∩ (P) = A( x; y; z) .

A thuộc mặt phẳng (Oyz) nên x= 0 => A( 0; y;z)

Lại có; A thuộc ( P) nên: 0- 2y+ 3z- 4= 0

y = 3/2z - 2 nên A(0;3/2z -2 ;z)

+ Do A ∈ d nên:

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+ my – 3z + m- 2= 0 và đường thẳng d: . Với giá trị nào của m thì d cắt (P)

A. m ≠ 1/2.    B. m= 1    C. m = 1/2 .    D. m ≠ -1

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→( 2; m; - 3)

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→( 4; -1;3)

Đường thẳng d cắt (P) ⇔ n→. u→ ≠ 0

⇔ 2. 4+ m.(- 1) – 3.3 ≠ 0 ⇔ -m-1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1

Chọn D

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): m²x- 2my + (6- 3m) z- 5= 0. Tìm m để d// (P)

Hướng dẫn giải:

Ta có đường thẳng d đi qua M( 2; -3; 1) và có vecto chỉ phương u→(-1; 1; 1)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→( m2; -2m; 6- 3m)

Để d song song với (P) thì m²x- 2my + (6- 3m) z- 5= 0.

Chọn A.

Dạng 16.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

1. Phương pháp giải

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: và mặt cầu (S) tâm I(a’; b’; c’) bán kính R. Gọi d= d( I; d) thì:

d > R thì d không cắt (S).

d=R thì d tiếp xúc (S). Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu ( S) ta làm như sau:

Thay x= x_o+ at; y= y_o + bt; z= z_o + ct vào phương trình mặt cầu

=> t= .... => Tọa độ giao điểm.

d < R thì d cắt ( S) tại hai điểm A và B. Để tìm được tọa độ giao điểm ta làm như trên.

* Chú ý: đường thẳng d đí qua A và có vecto chỉ phương u→. Khi đó; khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d là:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho mặt cầu (S): x²+ y² + z²- 2x + 4z+ 1= 0 và đường thẳng d: . Biết có hai giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A; B và các mặt phẳng tiếp diện của ( S) tại A và tại B luôn vuông góc với nhau . Tích của hai giá trị đó bằng

A. 16     B. 12    C.14    D. 10

Hướng dẫn giải:

+ Mặt cầu ( S) có tâm I( 1; 0; -2) và bán kính R= 2

Đường thẳng d qua M(- 1; 0; m) và vtcp u→( 2;0; 2)

+ Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A và B nên IA= IB = R= 2.

Lại có các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau nên IA vuông IB.

> Tam giác IAB vuông cân tại I.

Suy ra d( I; d)= IA.cos45^o = 2.√2/2 = √2

+ Mà IM→(-2; 0; m+ 2); [IM→; u→] =(0; 2m+ 8; 0)

Suy ra m= -2 hoặc m= - 6 và tích cần tìm là ( -2). ( - 6) = 12.

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và và mặt cầu ( S): x²+ y² + z² – 2x+ 4z + 1= 0. Số điểm chung của Δ và ( S) là

A.0    B.1    C.2.    D. 3

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng Δ đi qua M( 0; 1; 2) và có VTCP u→(2;1;-1)

Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; -2) và bán kính R= 2.

Ta có MI→(1;-1;-4) và [u→;MI→] = (-5;7;-3)

Vì d(I,Δ) > R nên Δ không cắt mặt cầu (S) .

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu ( S): (x-1)²+ ( y+3)² + ( z- 2)²= 1. Giá trị của m để đường thẳng không cắt mặt cầu ( S) là:

Hướng dẫn giải:

Giao điểm nếu có của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :

Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được:

⇔ ( t+ 1)² + ( mt+ 4)²+ ( 2t+ 2)² = 1

⇔ t² + 2t+ 1+ m²t² + 8mt+ 16 + 4t² + 8t+ 4- 1= 0

⇔ (m² + 5)t² + 2( 5+ 4m)t+ 20 = 0 ( **)

Để ∆ không cắt mặt cầu ( S) thì (**) vô nghiệm, hay (**) có ∆’ < 0

⇔ ( 5+ 4m)² – 20( m² + 5) < 0

⇔ 25+ 40m+ 16m² – 20m² – 100 < 0

⇔ - 4m² + 40m – 75 < 0

⇔ m > 15/2 hoặc m < 5/2

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): x² +( y+1)² + (z- 1)² = 4 và đường thẳng d: . Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt là:

A. m < 2 hoặc m > 5.    B. m > - 2 hoặc m - 5

C. m= 2 hoặc m = - 5    D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Hướng dẫn giải:

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :

Thay (1); (2) ; (3) vào (*) ta được:

2² + ( 1- t+ 1)² + ( mt- 1)² =4

⇔ 4+ 4 – 4t+ t²+ t + m²t² - 2mt+ 1- 4= 0

⇔ ( m²+ 1)t² – ( 3+ 2m)t+ 5=0 ( **)

Để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆ > 0 ⇔ ( 3+ 2m)² – 4. 5.( m² +1) > 0

⇔ 9+ 12m + 4m² – 20m² – 20 > 0

⇔ - 16m² + 12m- 11 > 0 ( vô lí - vì – 16m² + 12m- 11 < 0 với mọi m)

Chọn D.

Dạng 17. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng. Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng

1. Phương pháp giải

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d

- Tìm H là giao điểm của d và (P) => H là giao điểm của A trên d

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng (P)

- Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)

- Tìm H là giao điểm của d và (P) => H là giao điểm của A trên (P)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) trên đường thẳng d:

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d có vecto chi phương u→(1;2; -2).

+ Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:

1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) thỏa mãn :

(t-2) + 2(2t+1) – 2(-2t-1) – 3 = 0 ⇔ 9t – 1= 0 ⇔ t = 1/9

Vậy H là hình chiếu của A trên d và H(-17/9; 11/9; -11/9)

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)

A. ( 2; 1; 0)    B. ( - 2;0; 1)    C.(-1; 0; 0)    D. ( 0; 2; 1)

Hướng dẫn giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(2 ;- 1; 2).

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình của d là

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:

2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0

⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t = - 1 nên H ( - 1; 0; 0)

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng d: .Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

A. ( 1; 2; 1)     B.( 5; - 3; 4)     C. ( -2; 1;3)     D. ( 1;1;3)

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của d là:

Xét điểm H(1+2t; -t-1; 2t) thuộc d => MH→( 2t – 1; - t; 2t – 8)

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→( 2; -1; 2)

H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi MH→.u_d→ = 0

⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0

⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0

⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H(5; - 3; 4)

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

A.( 1; 0; - 2)     B. ( -2; 1; 1)    C. ( 1; 2; 3)    D. (- 1; 0; 6)

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua A(0; 0; 2) và có vecto chỉ phương u→( -1; 2; 1)

+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt phẳng (P):

-1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hay – x + 2y + z – 2= 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(- t; 2t; 2+ t). Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

- ( - t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0

=> Hình chiếu của M lên d là H ( 0; 0; 2)

+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.

=> Tọa độ điểm M’( - 1; 0; 6 )

Chọn D.

Dạng 18.Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

1. Phương pháp giải

- Muốn tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d: có 2 cách sau:

+ Cách 1. Tìm hình chiếu H của điểm đó đến d => MH là khoảng cách từ A đến d

+ Cách 2. Công thức (với u^→ là vectơ chỉ phương của d và M_o là một điểm thuộc d)

- Muốn tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d ( u→ là vectơ chỉ phương của d và d đi qua M_o) và d’ ( u'^→ là vectơ chỉ phương của d’ và d’ đi qua M'_o) ta làm như sau:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’

+ Khoảng cách giữa d và d’ chính là khoảng cách từ điểm M'_o đến mặt phẳng (P)

d( d,d’) = d(M'_o; (P))

+ Hoặc dùng công thức:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm khoảng cách của A(-2; 1; 3) đến đường thẳng

A. 4√5/3    B. 5√5/2    C. 3√5    D.2√5

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua B( 0; 1; -1) và có vectơ chỉ phương u→( 1; 2; -2)

Ta có: AB^→(2; 0; -4); [AB→;u→] = ( 8;0; 4)

Vậy

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng d: Tính khoảng cách giữa d và (P)

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n_P→( 3; -2; -1)

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→(2; 1; 4) và đi qua điểm M_o (1; 7; 3)

Ta có: n_P→. u_d→ = 3.2 -2.1 – 1. 4 = 0 và M_o ∉ (1; 7; 3) (P)

Vậy d // (P)

Chọn D.

Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là u_d→( 2; -1; 0)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là u'_d→( -1; 1; 1).

- Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d’. (P) nhận VTPT là n_P→ = [u_d→; u'_d→] = (-1;-2; 1)

Điểm M_o (1; -1; 1) thuộc d cũng thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

- 1(x-1) – 2(y+1) + 1(z-1) = 0 hay x + 2y – z + 2 = 0

- d’ đi qua M'_o (2; -2; 3)

Vậy

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho?

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;0; - 2) và có vecto chỉ phương u₁→( 2;-1; 1)

+ Đường thẳng d’ đi qua B( 2; -1; 2) và có vecto chỉ phương u₂→(0;1; 2)

=> AB→(1; -1; 4); [u₁→; u₂→] =( -3; -4; 2)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là:

Chọn B.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 0;2) và đường thẳng d: . Tìm m để khoảng cách từ A đến d là √2 ?

A. m= -1 hoặc m = -2/3    B. m= - 1 hoặc m = 1/7

C. m = 1 hoặc m= - 1    D. m = 1 hoặc m = 1/7

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 2) và có vecto chỉ phương u→(-1; m; 0)

+ Ta có: AM→(3; 1; 0) và [AM→; u→] = ( 0; 0; 3m+ 1)

+ Theo đầu bài ta có: d( A; d) = √2

Chọn B.

Dạng 19. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Phương pháp giải

- Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương u→(a; b; c) và u'→(a’; b’; c’)

Góc Φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:

- Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u^→(a,b,c) và mặt phẳng (P) có VTPT n→(A; B;C)

Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính góc giữa và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?

A. 30^o     B. 45^o     C. 60^o     D. 90^o

Hướng dẫn giải:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vecto pháp tuyến là n_P→(1; 2; -1) và n_Q→(2; 0; 3)

d' là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d’ là u_d'→ = ( 6; -5; -4)

Đường thẳng d có vecto chỉ phương n→(3; 2;2)

Cosin góc giữa d và d’ là:

Suy ra, góc giữa d và d’ bằng 90^o.

Chọn D.

Ví dụ 2: Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết d: và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?

A. √14/42     B. √14/22     C. √7/42    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→(2; 3; -1)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n_P→(2; -1; 2) nên sin góc giữa d và (P) là:

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương AB→(-2;2;0)

+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương CD→(1;2;1).

=> Cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho đường thẳng . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là √5/5

A. m = 2    B. m = - 4    C. m = -1/2    D. m = 1/4

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương u₁→(0; - 1; 2)

Đường thẳng d₂ có vecto chỉ phương u₂→(1; m; -1)

Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho là:

Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là

⇔ m² + 4m+ 4 = m² + 2 ⇔ 4m = - 2 ⇔ m =-1/2

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là 1/3√3 ?

A. m= ±1     B.m= ±2     C. m= 0     D. m = ±3

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→(-2; 1; - 2)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(1; m;-1)

Do đó, sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

Theo giả thiết ta có:

⇔ 3m²= m² + 2 ⇔ 2m² = 2 ⇔ m² = 1 ⇔ m= ±1

Chọn A.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải
• 21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải
• 21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải (Phần 2)
• 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải
• 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

---