4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để một phương trình là phương trình một mặt cầu.

1. Phương pháp giải

● Xét phương trình (S): (x- a)2 + ( y- b)2 + ( z- c)2 = R2.

Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b;c), bán kính R

● Xét phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Điểu kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu là: a2 + b2 + c2 – d > 0

Khi đó mặt cầu có 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Mặt cầu (S): 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 12y + 2 = 0 có bán kính bằng:

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Ta có (S): 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x +12y +2 = 0

⇔ x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2/3 = 0

Đây là phương trình đường tròn có tâm I( 1; -2; 0), bán kính 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải .

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 +z2 + 2x - 4y + 6z – 2= 0 . Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

A.Tâm I( -1; 2; -3) và bán kính R=4.    B. Tâm I( 1; -2; 3) và bán kính R = 4.

C.Tâm I(-1; 2; 3) và bán kính R= 4.    D. Tâm I(1; -2; 3) và bán kính R= 16.

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y + 6z – 2 = 0 có:

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho phương trình (S): x2 + y2 + z2 + 2( 3 – m)x – 2( m+ 1)y – 2mz + 2m2 + 7 = 0 . Tìm tất cả giá trị của m để ( S) là một phương trình mặt cầu.

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Ta có: a= m - 3 ; b = m + 1; c = m và d= 2m2 + 7

Điều kiện để ( S) là mặt cầu là a2 + b2 + c2 - d > 0

⇔ ( m- 3)2 + ( m+1)2 + m2 – 2m2 - 7 > 0 hay m2 – 4m + 3 > 0

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 – (2m - 2) x + 3my + ( 6m – 2)z – 7= 0 . Gọi R là bán kính của (S) , giá trị nhỏ nhất của R bằng:

A. 7    B. √377/7    C. √377    D. √377/4

Hướng dẫn giải:

Ta có (S): x2 + y2 + z2 - ( 2m – 2)x + 3my + ( 6m -2) z – 7 = 0

hay 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Suy ra bán kính

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính .

1. Phương pháp giải

+ Mặt cầu có đường kính AB: Tâm I là trung điểm của AB và bán kính R = AB/2 .

Lập phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Cách 1:

+ Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by - 2cz + d = 0 ( *)

(với a2 + b2 + c2 – d > 0 )

+ Bước 2: Thay tọa độ bốn điểm A, B, C, D vào phương trình (*), ta được hệ 4 phương trình.

+ Bước 3: Giải hệ trên tìm được a, b, c, d( chú ý đối chiếu điều kiện a2 + b2 + c2 – d > 0 ).

Thay a, b, c, d vào (*) ta được phương trình mặt cầu cần lập.

Cách 2:

+ Bước 1: Gọi I(a, b, c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

Suy ra: 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

+ Bước 2: Giải hệ trên để tìm a, b, c.

+ Bước 3: Tìm bán kính R = IA.

Từ đó, viết phương trình mặt cầu cần tìm có dạng (x- a)2 + ( y – b)2 + ( z - c)2 = R2

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai điểm A( -2; 1; 0) và B( 2;3 ; -2). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. (x + 2)2 + ( y -1)2 + ( z+ 1)2 = 8    B. x2 +( y +2)2 + ( z- 1)2 = 10

C. x2 + ( y - 2)2 + ( z+ 1)2 = 6    D. (x – 2)2 + (y +1)2 + (z -1)2 = 8

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm của AB, tọa độ điểm M là :

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Độ dài MA là : 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Mặt cầu cần tìm nhận M(0; 2; -1) làm tâm và có bán kính là R= MA = √6.

Ta có phương trình mặt cầu là : (x - 0)2 + ( y - 2)2 + ( z+ 1)2 = 6

Hay x2 + ( y -2)2 + (z +1)2 = 6

Chọn C.

Ví dụ 2: Nếu mặt cầu (S) đi qua bốn điểm M(2; 2;2); N( 4; 0; 2); P( 4; 2; 0) và Q(4;2;2) thì tâm I của (S) có toạ độ là:

A. (-1;-1; 0)    B. (3; 1; 1)    C. (1; 1; 1)    D. (1; 2;1)

Hướng dẫn giải:

Gọi phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2ax – 2by – 2cz + d= 0 ( a2 + b2 + c2 - d > 0) .

Do M(2;2;2) ∈ (S) 22 + 22 + 22 – 2.2a- 2.2b – 2.2c + d = 0 hay – 4a – 4b – 4c + d= -12 (1)

Do N( 4; 0; 2) ∈ (S) nên 42 + 02 + 22 - 2.4a- 2.0b - 2.2c + d = 0 hay – 8a – 4c + d= - 20 (2)

Do P(4; 2; 0) ∈ (S) nên 42 + 22 + 02 – 2.4a - 2.2b - 2.0.c + d = 0 hay – 8a – 4b + d = -20 (3)

Do Q(4; 2; 2) ∈ (S) nên 42 + 22 + 22 - 2.4 a -2.2b – 2.2c + d = 0 hay – 8a – 4b – 4c + d = -24 (4)

Từ (1); (2); (3) và (4) ta có hệ phương trình:

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Suy ra, mặt cầu (S) thỏa mãn có tâm I(1; 2; 1)

Chọn A.

Ví dụ 3: Mặt cầu (S) tâm I( -1; 2; -3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+ 2y + 2z + 6 = 0có phương trình:

A. (x- 1)2 +( y+2)2 + (z- 3)2 = 2    B. (x+ 1)2 + ( y – 2)2 + (z + 3)2 = 4

C. (x+ 1)2 + (y -2)2 + (z + 3)2 =1    D. (x+1)2 + ( y - 2)2 +(z + 3)2 = 25

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên d( I; (P)) = R = 1

Suy ra, phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x+1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 1

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho các điểm A(-2; 4; 1); B(2; 0; 3) và đường thẳng 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải . Gọi (S) là mặt cầu đi qua A; B và có tâm thuộc đường thẳng d. Bán kính mặt cầu (S) bằng:

A. 3√3    B. √6    C.3.    D.2√3

Hướng dẫn giải:

Tâm I ∈d => I(1+t;1+2t;-2+t) .

=> AI(3+t;-3+2t;-3+t); BI(-1+t;1+2t;-5+t)

Vì (S) đi qua A và B nên ta có IA = IB => IA2 = IB2

⇔ (3+ t)2 + (-3+ 2t)2 + ( -3+ t)2 = ( -1+ t)2 + (1+ 2t)2 + (- 5+ t)2

⇔ 9+ 6t + t2 + 9 – 12t + 4t2 + 9 – 6t + t2 = 1- 2t+ t2 + 1+ 4t + 4t2 + 25 - 10t + t2

⇔ 6t2 - 12t + 27 = 6t2 – 8t + 27

⇔ -4t = 0 nên t = 0

=> AI(3 ; -3 ; -3) nên AI = 3√3

Vậy bán kính mặt cầu (S) là R = AI = 3√3

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải và hai mặt phẳng (P): x+ 2y + 2z+3 = 0, (Q): x+ 2y + 2z + 7 = 0. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình

A. (x+ 3)2 + (y+1)2 + (z - 3)2 = 4/9 .    B. (x- 3)2 +(y - 1)2 + (z+ 3)2 = 4/9 .

C. (x+3)2 +(y+ 1)2 +(z+3)2 = 4/9 .     D. (x-3)2 +( y+1)2 + (z+ 3)2 = 4/9 .

Hướng dẫn giải:

Do tâm I ∈ d nên I(t; -1; - t)

Mà mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có:

R= d(I; (P)) = d(I; (Q))

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

⇔ | -t+ 1| = | -t + 5|

⇔ t2 – 2t +1= t2 – 10t + 25

⇔8t = 24 nên t = 3.

Với t= 3,ta có tâm I (3; -1; -3) và bán kính R= d( I; (P))= 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Phương trình mặt cầu là (x-3)2 + ( y+1)2 + (z+ 3)2 = 4/9

Chọn D.

Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu biết tâm I, một đường thẳng ( mặt phẳng) cắt mặt cầu thỏa mãn điều kiện T.

1. Phương pháp giải

* Phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và cắt đường thẳng d theo dây cung AB

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d

• Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB. Suy ra độ dài AH (với H là trung điểm AB)

• Bước 3: Tính IA theo định lý Pitago cho tam giác vuông AIH. Suy ra bán kính R= IA.

* Phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo đường tròn giao tuyến (C)

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)

• Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròn giao tuyến. Suy ra bán kính mặt cầu 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải tại hai điểm A, B với AB = 16.

A.( x- 2)2 + ( y- 3)2 +(z + 1)2 = 76 .    B. (x-2)2 + (y - 3)2 + (z+ 1)2 = 46 .

C. (x- 2)2 +( y - 3)2 + (z+ 1)2 = 56.    D. ( x- 2)2 +( y – 3)2 + (z+1)2 = 66

Hướng dẫn giải:

Chọn M(-1; 1; 0) ∈ Δ => IM(-3; -2; 1) . Đường thẳng Δ có một VTCP là u(1; -4; 1).

Ta có: [IM; u] = (2; 4; 14)

Từ đó, khoảng cách từ I đến Δ là :

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Gọi H là trung điểm của AB ta có: AH= HB= AB/2 = 8

Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Khi đó 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Do đó, phương trình mặt cầu là: ( x- 2)2 +( y – 3)2 + (z+ 1)2 = 76

(S): ( x- 2)2 +( y – 3)2 + (z+ 1)2 = 76 .

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z - 6 = 0; (Q): 2x - y+ z +7 = 0 và đường thẳng 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và Δ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20π .

A.( x-1)2 + y2 +( z+1)2 = 110/3 .    B. (x- 1)2 + y2 + (z -1)2 = 110/3

C.(x- 1)2 + y2 +( z- 1)2 = 110/3 .    D. (x- 1)2 + y2 + (z - 1)2 = 110.

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆: 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Do tâm I là giao điểm của đường thẳng ∆ và (P) nên tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5(1+7t) – 4. 3t + (1 – 2t) – 6 =0

⇔ 21t = 0 ⇔ t= 0

Khi đó, tọa độ điểm I(1 ; 0 ; 1).

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (Q) là :

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:

20π = πr2 ⇔ r = 2√5

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Vậy phương trình mặt cầu ( S) cần tìm là: (x- 1)2 + y2+ (z-1)2 = 110/3

Chọn B.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1/2;√3/2;0) và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 8. Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB.

A. S = √7    B. S= 4 C.    S = 2√7    D. S = 2√2

Hướng dẫn giải:

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 2√2 .

Vì OM= 1 < R nên M thuộc miền trong của mặt cầu (S).

Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu. Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB.

Đặt x= OH, ta có , đồng thời 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Vậy diện tích tam giác OAB là :

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Khảo sát hàm số f(x) = x√(8-x2) trên (0 ; 1] , ta được max f(x) = f(1) = √7 .

Vậy giá trị lớn nhất của SOAB = √7 , đạt được khi x= 1 hay H≡M , nói cách khác là d⊥OM

.

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; -1; 0); B(1; 1; -1) và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 2z – 3 = 0. Mặt phẳng (P) đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là

A. x- 2y + 3z – 2 = 0.    B. x - 2y – 3z – 2= 0.

C. x+ 2y – 3z - 6 = 0    D. 2x- y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Để (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì (P) phải qua tâm I(1; -2; 1)của (S).

Ta có AI(1; -1; 1); BI(0; -3; 2)

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

n = [AI; BI] = (1; -2; -3).

Mặt phẳng (P) đi qua A( 0; -1;0) và nhận vecto n(1; -2; -3) làm VTPT nên có phương trình:

1( x- 0) – 2( y+1) – 3( z- 0) = 0 hay x- 2y - 3z – 2= 0

Chọn B.

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 1), mặt phẳng ( α): x+ y + z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 6y – 8z+ 18 = 0. Phương trình đường thẳng Δ đi qua M và nằm trong (α) cắt mặt cầu (S) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là:

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Mặt cầu (S) có tâm I(3; 3;4) và bán kính R= 4.

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (α) là: 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Suy ra mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (α) theo một đường tròn.

Ta có điểm M ∈ (α) < ; IM = √14 < R nên điểm M nằm trong mặt cầu (S).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) => H(1; 1;2)

Để đường thẳng Δ đi qua M và nằm trong (α) cắt mặt cầu (S) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất thì Δ ⊥MH .

Từ đó suy ra Δ có véctơ chỉ phương là: u = [nα; MH] = (1; -2; 1)

Vậy phương trình 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B.

Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng, mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện T

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z + 24= 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt cầu (S) có diện tích và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

A. (x- 8)2 + ( y- 8)2 + (z+ 1)2 = 196    B. (x + 82 +(y+ 8)2 + (z - 1)2 = 196

C. (x + 16)2 + ( y+4)2 + (z- 7)2 = 196    D.(x- 16)2+ ( y- 4)2 +(z+ 7)2 = 196

Hướng dẫn giải:

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Suy ra, một VTCP của d là:

ud = nP( 6; 3; -2)

Phương trình đường thẳng d là 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) nên H= d ∩ (P) .

Vì H ∈ d nên H( 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t.

Mặt khác, H ∈ (P) nên ta có:

6(2+ 6t) + 3(5+ 3t) – 2( 1- 2t) + 24 = 0

⇔ t= - 1

Do đó, H( -4; 2; 3).

Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784π , suy ra 4πR2 ⇔ R = 14 .

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên IH⊥ (P) => I ∈ d .

Do đó tọa độ điểm I có dạng I( 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t), với t ≠ -1 .

Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Do đó: I(8; 8; -1).

Vậy phương trình mặt cầu (S): (x- 8)2 +( y – 8)2 + (z+1)2 = 196.

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x+ 2y – 2z + 2= 0 và điểm A(2; -3; 0). Gọi B là điểm thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính bằng 2. Tọa độ điểm B là:

A. (0; 1; 0)    B.(0; -4; 0)    C.(0; 2; 0) hoặc (0; -4; 0)    D. (0; 2; 0)

Hướng dẫn giải:

Vì B thuộc tia Oy nên B(0; b; 0) (với b > 0)

Bán kính của mặt cầu tâm B, tiếp xúc với (P) là R= d(B; (P))= |2b+2|/3 .

Theo giả thiết R= 2 nên:

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Do b > 0 nên chọn b= 2.

Vậy tọa độ B(0; 2; 0).

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P): 2x+ 3y – z + 2 = 0; (Q): 2x - y – z +2 = 0. Phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A(1; -1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là:

A. (x+ 3)2 + (y+ 7)2 + (z – 3)2 = 56    B. (x-3)2 + ( y- 7)2 + (z+ 3)2 = 56

C. ( x+3)2 + ( y+ 7)2 +( z - 3)2 = 14    D. (x- 3)2 +( y- 7)2+ ( z+ 3)2 = 14

Hướng dẫn giải:

Gọi d đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Nên 1 VTCP của d là: ud = nP(2; 3; -1).

Ta có; phương trình đường thẳng d là: 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Tâm I ∈ d nên I( 1+ 2t; -1+ 3t; 1- t).

Do điểm I nằm trên mp (Q) nên ta có:

2( 1+ 2t) - ( -1+ 3t ) – (1 – t) + 2 = 0

⇔t = - 2 nên I ( -3; -7; 3)

Bán kính mặt cầu là R= IA = 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Phương trình mặt cầu (S): ( x+3)2 +(y+ 7)2 + (z- 3)2 = 56

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P);(Q) có phương trình (P): x- 2y + z - 1= 0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0 . Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ xM = 1 có phương trình là:

A.(x - 21)2 + ( y - 5)2 + ( z + 10)2 = 600    B. (x+19)2 + ( y+ 15)2 + (z - 10)2 = 600

C. (x- 21)2 + (y - 5)2 + (z + 10)2 = 100    D. (x+ 21)2 + ( y+ 5)2 + (z - 10)2 = 600

Hướng dẫn giải:

Vì M ∈ (Oxy) và có hoành độ bằng 1 nên M(1; y ; 0).

Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Q) nên M ∈ Q

=> 2.1 + y - 0+ 3 = 0 => y = -5

Tọa độ điểm M(1; -5; 0).

Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.

Ta có (S) tiếp xúc với mp (Q) tại M nên IM⊥(Q) .

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n(2; 1; -1).

Ta có: IM⊥(Q)

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Do I ∈ (P) nên 1+ 2t – 2( - 5+ t) - t – 1 = 0

⇔ t = 10 nên I(21; 5; -10)

Bán kính mặt cầu R= d(I; (Q)) = 10√6

Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x- 21)2 + ( y- 5)2 + ( z +10)2 = 600.

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho hai điểm M(1;0;4); N(1; 1; 2) và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 2= 0 . Mặt phẳng (P) qua M; N và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:

A. 4x + 2y + z - 8 = 0 hoặc 4x – 2y – z + 8= 0

B. 2x + 2y +z – 6= 0 hoặc 2x – 2y – z + 2= 0

C. 2 x+ 2y + z – 6 = 0

D. 2x – 2y – z + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

- Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 0) và bán kính R= 2; MN(0; 1; -2)

- Gọi n(A;B;C) với A2 + B2 + C2 > 0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

- Vì (P) qua M, N nên nMN => n.MN = 0

⇔ B - 2C = 0 (1)

- Mặt phẳng (P) qua M(1; 0; 4) và nhận ( A, B, C) là vectơ pháp tuyến nên có phương trình

A(x-1)+ B( y – 0) + C( z- 4) = 0 hay Ax + By +Cz – A - 4C =0.

- Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên d(I ; (P)) = R

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Từ (1) và (2) => A2 - 4C2 = 0 (*)

- Trong (*), nếu C = 0 thì A= 0, và từ (1) suy ra B = 0 (vô lí). Do vậy, C ≠ 0

Chọn C=1 => A = ±2

Với A=2 ; C = 1, ta có B = 2 . Khi đó; (P); 2x + 2y + z - 6 = 0 .

Với A= -2; C= 1, ta có B= 2. Khi đó, (P): 2x – 2y – z + 2 = 0 .

- Vậy phương trình mặt phẳng (P):2x + 2y + z – 6= 0 hoặc (P): 2x – 2y – z + 2 = 0 .

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12