(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Bài viết Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp môn Toán với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Hệ tọa độ trong không gian.

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Dạng 1. Cộng, trừ hai vecto. Tìm tọa độ của điểm, vecto thỏa mãn điều kiện T.

1. Phương pháp giải

Quảng cáo

Tính chất: Cho

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0

Tính chất: Cho A(xA; yA; zA); B(xB; yB; zB)

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A( 1; 2; 3); B( -1; 2; 0) và C(3; 2; -3) và G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P= a+ b+ c?

A. P = 0    B. P = 3    C. P = 2    D. P = 9

Hướng dẫn giải:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

=> G( 1; 2; 0)

Vậy P= 1+ 2+ 0= 3.

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp . Tính tọa độ vectơ (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

A. (0; -1; -5)    B. (2; -1; 1)    C. (2; 3; 1)    D. (0; -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Do (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp nên tọa độ b(1; 1; -2)

Suy ra: (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp = (1+1; 2+ 1; 3+ (-2)) = (2; 3; 1)

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a (1; 5; 2); ON (3; 7; -4). Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.

A. P( 5; 9; 10).    B. P(5; 9; -10)    C. P(1; 2; - 4)    D. P( -2; 1;1)

Hướng dẫn giải:

Ta có OM (1;5;2) nên tọa độ điểm M( 1; 5; 2); ON (3; 7; - 4) nên tọa độ điểm N(3; 7; -4).

Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(1;0;1); B’(2;1;2); D’(1; -1;1) ; C(4 ; 5 ; -5). Gọi tọa độ của đỉnh A’(a ; b ;c). Khi đó P = abc bằng

A. 1    B. 0    C. 2    D. 3

Hướng dẫn giải:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Ta có

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Theo quy tắc hình hộp, ta có:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Vậy P= abc = 0

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 3); B(-2; 4; 1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. BA (4;4;2)    B. M(0; 2; 2)    C. AB = 6    D. AB (-4;4;-2)

Hướng dẫn giải:

Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Độ dài đoạn thẳng AB là:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Tọa độ vecto AB (-4; 4; -2)

Chọn A

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho AM = √5 . Tọa độ của điểm M là

A. M(0; 0; 3)    B. M(0; 0; 2)    C.M( 0; 0; -3)    D. M(0; 0; 2)

Hướng dẫn giải:

Do điểm M thuộc trục Oz nên tọa độ điểm M có dạng M(0; 0; m)

Theo giả thiết AM = √5 nên ta có:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

⇔ 5+ (z – 3)2 = 5 ⇔ (z – 3)2 = 0

⇔ z= 3

Do đó, tọa độ điểm M cần tìm là M(0; 0; 3)

Chọn A.

Dạng 2. Hai vecto cùng phương. Sự đồng phẳng của ba vecto

1. Phương pháp giải

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3); k ∈ R. Khi đó:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto u (m; -2; m+1) và v(3; -2m – 4; 6). Tìm tất cả các giá trị của m để hai vecto u, v cùng phương.

A. m = 0    B. m = 2    C. m = 1    D. m = -1

Hướng dẫn giải:

* Trường hợp 1. Nếu m = -2. Khi đó,

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

* Trường hợp 2: Nếu m ≠ -2 thì để hai vecto đã cho cùng phương khi và chỉ khi:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; -1); B( 5;4; 3). Gọi điểm M thuộc tia đối của tia BA sao cho AM/MB = 2. Tọa độ của điểm M là

A. (3; 4; 4)    B. (-2; 1; 3)    C. (7;6; 7)    D. (11; -1; 9)

Hướng dẫn giải:

Gọi M(x; y; z). Do điểm M thuộc tia đối của BA và (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Ta có: (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Do đó, có hệ phương trình:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Vậy tọa độ điểm M( 7; 6; 7)

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); M(x; y; 1). Với giá trị nào của x và y thì ba điểm A,B, M thẳng hàng?

A. x = 4 và y= 7.    B. x= -4 và y= - 7.    C. x= 4 và y= - 7    D. x= - 4 và y= 7

Hướng dẫn giải:

Ta có: (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Ba điểm A,B, M thẳng hàng khi AM, AB cùng phương

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho a(1;-3;2); b(m+1;m-2;1-m); c(0;m-2;2) . Tìm m để ba vectơ đó đồng phẳng.

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Hướng dẫn giải:

Ta có: [a, b] = (m+1; 3m+1; 4m+1)

Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi [a, b]c = 0

⇔ 0(m+ 1) + (m- 2).(3m+ 1) + 2(4m+ 1) = 0

⇔ 0+ 3m2 + m- 6m – 2 + 8m + 2= 0

⇔ 3m2 + 3m = 0

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -3; 4); B(1; y; -1); C(x; 4; 3). Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng giá trị P = 5x - y là:

A. - 41.    B. - 40.    C. - 23.    D. -36

Hướng dẫn giải:

AB(-1;y+3;-5); AC(x-2;7;-1)

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì AB cùng phương AC

* Trường hợp 1. Nếu x= 2 thì AC (0; 7; -1).

Ta thấy: (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp không cùng phương trong trường hợp này.

* Trường hợp 2. Nếu x ≠ 2 => x - 2 ≠ 0.

Điều kiện để 2 vecto AB;AC cùng phương là:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

=> P = 5x- y = - 23

Chọn C

Dạng 3. Tích vô hướng của hai vecto và góc giữa hai đường thẳng.

1. Phương pháp giải

Cho a(a1; a2; a3) ; b(b1; b2; b3); k ∈ R

• Tích vô hướng của hai vecto là:

a. b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

• Cosin góc tạo bởi hai vecto được xác định bởi:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A( -1; 2; 4); B(-1; 1; 4) và C(0; 0; 4). Tìm số đo của ∠ABC .

A. 135o    B. 45o    C. 60o    D. 120o

Hướng dẫn giải:

Ta có:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

=> ∠ABC = 1350

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 1; 1); B(1; 2; 1); C(0; 0; 1); D(-2; 1; -1). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

A. 45o    B. 60o    C.90o    D. 135o

Hướng dẫn giải:

Gọi φ là góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.

Ta có: AB(-1;1;0); CD(-2;1;-2)

Khi đó, cosin góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD là:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

=> φ = 45o

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 45o

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(-4; 9; -9); B( 2; 12; -2); C( -m- 2; 1- m; m+ 5). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

A. m = 3    B. m = -3    C. m= 4    D. m = - 4

Hướng dẫn giải:

Ta có: BA(-6;-3;-7); BC(-m-4;-m-11;m+7)

Để tam giác ABC vuông tại B khi và chỉ khi: BABC

BA . BC = 0 hay - 6( - m - 4) - 3( - m-11) – 7.(m+ 7) = 0

⇔ 6m+ 24 + 3m + 33 – 7m - 49 =0

Hay 2m + 8 = 0 ⇔ m = -4

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hai vectơ a(1;1;-2); b(1;0;m). Tìm m để góc giữa hai vecto đó bằng 450

A. m = 2 +√6    B. m = 2 - √6    C. m = 2 ±√6    D. m = 26

Hướng dẫn giải:

Ta cosin góc tạo bởi hai vecto đã cho là:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Để góc giữa hai vecto a; b có số đo 45o thì

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Chọn B .

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ giác ABCD có A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); C(11; -1; 6) và D( 5; 7; 2). Tứ giác ABCD là hình gì?

A. Hình thang vuông.    B. Hình thoi.    C. Hình bình hành.    D. Hình vuông.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB(3;-4;2); BC(6;4;-1);CD(-6;8;-4)

Suy ra CD = -2AB

+ Do đó,hai đường thẳng AB và CD song song với nhau.

=> tứ giác ABCD là hình thang.

+ Lại có:

AB.BC = 3.6 + 4.(-4) + 2.(-1) = 0

=> AB ⊥ CD

=> ABCD là hình thang vuông.

Chọn A.

Dạng 4. Tích có hướng của hai vecto và ứng dụng

1. Phương pháp giải

Định nghĩa: Cho a(a1; a2; a3); b(b1; b2; b3) . Ta có:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Tính chất:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Ứng dụng:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;1); B(2;1;3); C(3;2;2). Diện tích tam giác ABC bằng

A. √11/2 .    B. √3 .    C. √13/2 .    D. √14/2.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

+ Diện tích tam giác ABC là: (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2; 2; 1); B(-1; 2; 1) và C(-2;1; 2). Tính chiều cao AH của tam giác?

A. √2     B. √3     C. 2√2     D. √6

Hướng dẫn giải:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

+ Diện tích tam giác ABC là: (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Lại có: (4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;2;1); B( 2;1; 3); C(3; 2;2) và D(1; 1; 1). Tính chiều cao DH của tứ diện

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

+ Diện tích tam giác ABC là:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1;1;1); B(2;1;2); E(-1; 2; -2) và D(3; 1; 2). Khoảng cách từ A đến mp (DCGH) bằng

A. √3    B. √3/3    C. 2√3    D. 1/3

Hướng dẫn giải:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Thể tích của hình hộp ABCD.EFGH là:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

+ Lại có:

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

+ Mặt khác

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Chọn B

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxyz, cho A( 2;1; -1); B(3;0;1); C( 2; -1; 3), điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là:

A. (0; -7; 0)    B. (0; -7; 0) hoặc (0; 8; 0)

C.(0; 8; 0)    D. (0; 7; 0) hoặc (0; - 8; 0)

Hướng dẫn giải:

Do điểm D thuộc trục Oy nên tọa độ điểm D( 0; y; 0).

Ta có: AB(1;-1;2), AC(0;-2;4); AD(-2;y-1;1)

[AB,AC] = (0; -4; -2); [AB,AC]AD = 0.(-2)+ (- 4). (y - 1)+ (-2).1= 2- 4y

Do thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 nên ta có :

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

Vậy có 2 điểm D thỏa mãn là D1 (0; -7; 0) và D2(0; 8; 0)

Chọn B.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác MNP có ba đỉnh M(1; 2; 3); N(-1; 2; 0) và P(3; 2; -3) và G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P = abc?

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 3); B(-1; 4; -1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Tìm tọa độ điểm M?

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2; -1; 5); N(5; -5; 7); E(x; y; 1). Với giá trị nào của x và y thì ba điểm E, M, N thẳng hàng?

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi P(a,b,c) là điểm đối xứng với M(1;5;2) qua N. Biết ON=2;5;4. Tìm P?

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm M(2; 1; 1); N(1; 2; 1); P(0; 0; 1); Q(-2; 1; -1). Tính góc giữa hai đường thẳng MN và PQ.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học