Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
Bài viết Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học (4 dạng) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học (4 dạng).
Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Dạng 1. Cộng, trừ hai vecto. Tìm tọa độ của điểm, vecto thỏa mãn điều kiện T.
1. Phương pháp giải
Tính chất: Cho
M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0
Tính chất: Cho A(xA; yA; zA); B(xB; yB; zB)
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A( 1; 2; 3); B( -1; 2; 0) và C(3; 2; -3) và G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P= a+ b+ c?
A. P = 0 B. P = 3 C. P = 2 D. P = 9
Hướng dẫn giải:
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên
=> G( 1; 2; 0)
Vậy P= 1+ 2+ 0= 3.
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ . Tính tọa độ vectơ
A. (0; -1; -5) B. (2; -1; 1) C. (2; 3; 1) D. (0; -1; 1)
Hướng dẫn giải:
Do nên tọa độ b(1; 1; -2)
Suy ra: = (1+1; 2+ 1; 3+ (-2)) = (2; 3; 1)
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a→ (1; 5; 2); ON→ (3; 7; -4). Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.
A. P( 5; 9; 10). B. P(5; 9; -10) C. P(1; 2; - 4) D. P( -2; 1;1)
Hướng dẫn giải:
Ta có OM→ (1;5;2) nên tọa độ điểm M( 1; 5; 2); ON→ (3; 7; - 4) nên tọa độ điểm N(3; 7; -4).
Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được
Chọn B.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(1;0;1); B’(2;1;2); D’(1; -1;1) ; C(4 ; 5 ; -5). Gọi tọa độ của đỉnh A’(a ; b ;c). Khi đó P = abc bằng
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Hướng dẫn giải:
Ta có
Theo quy tắc hình hộp, ta có:
Vậy P= abc = 0
Chọn B.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 3); B(-2; 4; 1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. BA→ (4;4;2) B. M(0; 2; 2) C. AB = 6 D. AB→ (-4;4;-2)
Hướng dẫn giải:
Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
Độ dài đoạn thẳng AB là:
Tọa độ vecto AB→ (-4; 4; -2)
Chọn A
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho AM = √5 . Tọa độ của điểm M là
A. M(0; 0; 3) B. M(0; 0; 2) C.M( 0; 0; -3) D. M(0; 0; 2)
Hướng dẫn giải:
Do điểm M thuộc trục Oz nên tọa độ điểm M có dạng M(0; 0; m)
Theo giả thiết AM = √5 nên ta có:
⇔ 5+ (z – 3)2 = 5 ⇔ (z – 3)2 = 0
⇔ z= 3
Do đó, tọa độ điểm M cần tìm là M(0; 0; 3)
Chọn A.
Dạng 2. Hai vecto cùng phương. Sự đồng phẳng của ba vecto
1. Phương pháp giải
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho a→(a1; a2; a3), b→(b1; b2; b3); k ∈ R. Khi đó:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto u→ (m; -2; m+1) và v→(3; -2m – 4; 6). Tìm tất cả các giá trị của m để hai vecto u→, v→ cùng phương.
A. m = 0 B. m = 2 C. m = 1 D. m = -1
Hướng dẫn giải:
* Trường hợp 1. Nếu m = -2. Khi đó,
* Trường hợp 2: Nếu m ≠ -2 thì để hai vecto đã cho cùng phương khi và chỉ khi:
Chọn C.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; -1); B( 5;4; 3). Gọi điểm M thuộc tia đối của tia BA sao cho AM/MB = 2. Tọa độ của điểm M là
A. (3; 4; 4) B. (-2; 1; 3) C. (7;6; 7) D. (11; -1; 9)
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x; y; z). Do điểm M thuộc tia đối của BA và
Ta có:
Do đó, có hệ phương trình:
Vậy tọa độ điểm M( 7; 6; 7)
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); M(x; y; 1). Với giá trị nào của x và y thì ba điểm A,B, M thẳng hàng?
A. x = 4 và y= 7. B. x= -4 và y= - 7. C. x= 4 và y= - 7 D. x= - 4 và y= 7
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Ba điểm A,B, M thẳng hàng khi AM→, AB→ cùng phương
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho a→(1;-3;2); b→(m+1;m-2;1-m); c→(0;m-2;2) . Tìm m để ba vectơ đó đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Ta có: [a→, b→] = (m+1; 3m+1; 4m+1)
Ba vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng khi [a→, b→]c→ = 0
⇔ 0(m+ 1) + (m- 2).(3m+ 1) + 2(4m+ 1) = 0
⇔ 0+ 3m2 + m- 6m – 2 + 8m + 2= 0
⇔ 3m2 + 3m = 0
Chọn C.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -3; 4); B(1; y; -1); C(x; 4; 3). Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng giá trị P = 5x - y là:
A. - 41. B. - 40. C. - 23. D. -36
Hướng dẫn giải:
Có AB→(-1;y+3;-5); AC→(x-2;7;-1)
Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì AB→ cùng phương AC→
* Trường hợp 1. Nếu x= 2 thì AC→ (0; 7; -1).
Ta thấy: không cùng phương trong trường hợp này.
* Trường hợp 2. Nếu x ≠ 2 => x - 2 ≠ 0.
Điều kiện để 2 vecto AB→;AC→ cùng phương là:
=> P = 5x- y = - 23
Chọn C
Dạng 3. Tích vô hướng của hai vecto và góc giữa hai đường thẳng.
1. Phương pháp giải
Cho a→(a1; a2; a3) ; b→(b1; b2; b3); k ∈ R
• Tích vô hướng của hai vecto là:
a→. b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
• Cosin góc tạo bởi hai vecto được xác định bởi:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A( -1; 2; 4); B(-1; 1; 4) và C(0; 0; 4). Tìm số đo của ∠ABC .
A. 135o B. 45o C. 60o D. 120o
Hướng dẫn giải:
Ta có:
=> ∠ABC = 1350
Chọn A.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 1; 1); B(1; 2; 1); C(0; 0; 1); D(-2; 1; -1). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
A. 45o B. 60o C.90o D. 135o
Hướng dẫn giải:
Gọi φ là góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.
Ta có: AB→(-1;1;0); CD→(-2;1;-2)
Khi đó, cosin góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD là:
=> φ = 45o
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 45o
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(-4; 9; -9); B( 2; 12; -2); C( -m- 2; 1- m; m+ 5). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.
A. m = 3 B. m = -3 C. m= 4 D. m = - 4
Hướng dẫn giải:
Ta có: BA→(-6;-3;-7); BC→(-m-4;-m-11;m+7)
Để tam giác ABC vuông tại B khi và chỉ khi: BA→ ⊥ BC→
⇔ BA→ . BC→ = 0 hay - 6( - m - 4) - 3( - m-11) – 7.(m+ 7) = 0
⇔ 6m+ 24 + 3m + 33 – 7m - 49 =0
Hay 2m + 8 = 0 ⇔ m = -4
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho hai vectơ a→(1;1;-2); b→(1;0;m). Tìm m để góc giữa hai vecto đó bằng 450
A. m = 2 +√6 B. m = 2 - √6 C. m = 2 ±√6 D. m = 26
Hướng dẫn giải:
Ta cosin góc tạo bởi hai vecto đã cho là:
Để góc giữa hai vecto a→; b→ có số đo 45o thì
Chọn B .
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ giác ABCD có A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); C(11; -1; 6) và D( 5; 7; 2). Tứ giác ABCD là hình gì?
A. Hình thang vuông. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.
Hướng dẫn giải:
+ Ta có: AB→(3;-4;2); BC→(6;4;-1);CD→(-6;8;-4)
Suy ra CD→ = -2AB→
+ Do đó,hai đường thẳng AB và CD song song với nhau.
=> tứ giác ABCD là hình thang.
+ Lại có:
AB→.BC→ = 3.6 + 4.(-4) + 2.(-1) = 0
=> AB ⊥ CD
=> ABCD là hình thang vuông.
Chọn A.
Dạng 4. Tích có hướng của hai vecto và ứng dụng
1. Phương pháp giải
Định nghĩa: Cho a→(a1; a2; a3); b→(b1; b2; b3) . Ta có:
Tính chất:
Ứng dụng:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;1); B(2;1;3); C(3;2;2). Diện tích tam giác ABC bằng
A. √11/2 . B. √3 . C. √13/2 . D. √14/2.
Hướng dẫn giải:
+ Ta có:
+ Diện tích tam giác ABC là:
Chọn D.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2; 2; 1); B(-1; 2; 1) và C(-2;1; 2). Tính chiều cao AH của tam giác?
A. √2 B. √3 C. 2√2 D. √6
Hướng dẫn giải:
+ Diện tích tam giác ABC là:
Lại có:
Chọn D.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;2;1); B( 2;1; 3); C(3; 2;2) và D(1; 1; 1). Tính chiều cao DH của tứ diện
Hướng dẫn giải:
+ Ta có:
+ Diện tích tam giác ABC là:
Chọn A
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1;1;1); B(2;1;2); E(-1; 2; -2) và D(3; 1; 2). Khoảng cách từ A đến mp (DCGH) bằng
A. √3 B. √3/3 C. 2√3 D. 1/3
Hướng dẫn giải:
Thể tích của hình hộp ABCD.EFGH là:
+ Lại có:
+ Mặt khác
Chọn B
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxyz, cho A( 2;1; -1); B(3;0;1); C( 2; -1; 3), điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là:
A. (0; -7; 0) B. (0; -7; 0) hoặc (0; 8; 0)
C.(0; 8; 0) D. (0; 7; 0) hoặc (0; - 8; 0)
Hướng dẫn giải:
Do điểm D thuộc trục Oy nên tọa độ điểm D( 0; y; 0).
Ta có: AB→(1;-1;2), AC→(0;-2;4); AD→(-2;y-1;1)
[AB→,AC→] = (0; -4; -2); [AB→,AC→]AD→ = 0.(-2)+ (- 4). (y - 1)+ (-2).1= 2- 4y
Do thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 nên ta có :
Vậy có 2 điểm D thỏa mãn là D1 (0; -7; 0) và D2(0; 8; 0)
Chọn B.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác MNP có ba đỉnh M(1; 2; 3); N(-1; 2; 0) và P(3; 2; -3) và G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P = abc?
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 3); B(-1; 4; -1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Tìm tọa độ điểm M?
Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2; -1; 5); N(5; -5; 7); E(x; y; 1). Với giá trị nào của x và y thì ba điểm E, M, N thẳng hàng?
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi P(a,b,c) là điểm đối xứng với M(1;5;2) qua N. Biết . Tìm P?
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm M(2; 1; 1); N(1; 2; 1); P(0; 0; 1); Q(-2; 1; -1). Tính góc giữa hai đường thẳng MN và PQ.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- 21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải
- 21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải (Phần 2)
- 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải
- 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (phần 2)
- 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12