4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1. Cộng, trừ hai vecto. Tìm tọa độ của điểm, vecto thỏa mãn điều kiện T.

1. Phương pháp giải

Tính chất: Cho

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0

Tính chất: Cho A(xA; yA; zA); B(xB; yB; zB)

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A( 1; 2; 3); B( -1; 2; 0) và C(3; 2; -3) và G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P= a+ b+ c?

A. P = 0    B. P = 3    C. P = 2    D. P = 9

Hướng dẫn giải:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

=> G( 1; 2; 0)

Vậy P= 1+ 2+ 0= 3.

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải . Tính tọa độ vectơ 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

A. (0; -1; -5)    B. (2; -1; 1)    C. (2; 3; 1)    D. (0; -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Do 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải nên tọa độ b(1; 1; -2)

Suy ra: 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải = (1+1; 2+ 1; 3+ (-2)) = (2; 3; 1)

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a (1; 5; 2); ON (3; 7; -4). Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.

A. P( 5; 9; 10).    B. P(5; 9; -10)    C. P(1; 2; - 4)    D. P( -2; 1;1)

Hướng dẫn giải:

Ta có OM (1;5;2) nên tọa độ điểm M( 1; 5; 2); ON (3; 7; - 4) nên tọa độ điểm N(3; 7; -4).

Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(1;0;1); B’(2;1;2); D’(1; -1;1) ; C(4 ; 5 ; -5). Gọi tọa độ của đỉnh A’(a ; b ;c). Khi đó P = abc bằng

A. 1    B. 0    C. 2    D. 3

Hướng dẫn giải:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Ta có

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Theo quy tắc hình hộp, ta có:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Vậy P= abc = 0

Chọn B.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 3); B(-2; 4; 1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. BA (4;4;2)    B. M(0; 2; 2)    C. AB = 6    D. AB (-4;4;-2)

Hướng dẫn giải:

Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Độ dài đoạn thẳng AB là:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Tọa độ vecto AB (-4; 4; -2)

Chọn A

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho AM = √5 . Tọa độ của điểm M là

A. M(0; 0; 3)    B. M(0; 0; 2)    C.M( 0; 0; -3)    D. M(0; 0; 2)

Hướng dẫn giải:

Do điểm M thuộc trục Oz nên tọa độ điểm M có dạng M(0; 0; m)

Theo giả thiết AM = √5 nên ta có:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

⇔ 5+ (z – 3)2 = 5 ⇔ (z – 3)2 = 0

⇔ z= 3

Do đó, tọa độ điểm M cần tìm là M(0; 0; 3)

Chọn A.

Dạng 2. Hai vecto cùng phương. Sự đồng phẳng của ba vecto

1. Phương pháp giải

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3); k ∈ R. Khi đó:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto u (m; -2; m+1) và v(3; -2m – 4; 6). Tìm tất cả các giá trị của m để hai vecto u, v cùng phương.

A. m = 0    B. m = 2    C. m = 1    D. m = -1

Hướng dẫn giải:

* Trường hợp 1. Nếu m = -2. Khi đó,

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

* Trường hợp 2: Nếu m ≠ -2 thì để hai vecto đã cho cùng phương khi và chỉ khi:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; -1); B( 5;4; 3). Gọi điểm M thuộc tia đối của tia BA sao cho AM/MB = 2. Tọa độ của điểm M là

A. (3; 4; 4)    B. (-2; 1; 3)    C. (7;6; 7)    D. (11; -1; 9)

Hướng dẫn giải:

Gọi M(x; y; z). Do điểm M thuộc tia đối của BA và 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Ta có: 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Do đó, có hệ phương trình:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Vậy tọa độ điểm M( 7; 6; 7)

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); M(x; y; 1). Với giá trị nào của x và y thì ba điểm A,B, M thẳng hàng?

A. x = 4 và y= 7.    B. x= -4 và y= - 7.    C. x= 4 và y= - 7    D. x= - 4 và y= 7

Hướng dẫn giải:

Ta có: 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Ba điểm A,B, M thẳng hàng khi AM, AB cùng phương

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho a(1;-3;2); b(m+1;m-2;1-m); c(0;m-2;2) . Tìm m để ba vectơ đó đồng phẳng.

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Ta có: [a, b] = (m+1; 3m+1; 4m+1)

Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi [a, b]c = 0

⇔ 0(m+ 1) + (m- 2).(3m+ 1) + 2(4m+ 1) = 0

⇔ 0+ 3m2 + m- 6m – 2 + 8m + 2= 0

⇔ 3m2 + 3m = 0

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -3; 4); B(1; y; -1); C(x; 4; 3). Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng giá trị P = 5x - y là:

A. - 41.    B. - 40.    C. - 23.    D. -36

Hướng dẫn giải:

AB(-1;y+3;-5); AC(x-2;7;-1)

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì AB cùng phương AC

* Trường hợp 1. Nếu x= 2 thì AC (0; 7; -1).

Ta thấy: 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải không cùng phương trong trường hợp này.

* Trường hợp 2. Nếu x ≠ 2 => x - 2 ≠ 0.

Điều kiện để 2 vecto AB;AC cùng phương là:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

=> P = 5x- y = - 23

Chọn C

Dạng 3. Tích vô hướng của hai vecto và góc giữa hai đường thẳng.

1. Phương pháp giải

Cho a(a1; a2; a3) ; b(b1; b2; b3); k ∈ R

• Tích vô hướng của hai vecto là:

a. b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

• Cosin góc tạo bởi hai vecto được xác định bởi:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A( -1; 2; 4); B(-1; 1; 4) và C(0; 0; 4). Tìm số đo của ∠ABC .

A. 135o    B. 45o    C. 60o    D. 120o

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

=> ∠ABC = 1350

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 1; 1); B(1; 2; 1); C(0; 0; 1); D(-2; 1; -1). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

A. 45o    B. 60o    C.90o    D. 135o

Hướng dẫn giải:

Gọi φ là góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.

Ta có: AB(-1;1;0); CD(-2;1;-2)

Khi đó, cosin góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD là:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

=> φ = 45o

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 45o

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(-4; 9; -9); B( 2; 12; -2); C( -m- 2; 1- m; m+ 5). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

A. m = 3    B. m = -3    C. m= 4    D. m = - 4

Hướng dẫn giải:

Ta có: BA(-6;-3;-7); BC(-m-4;-m-11;m+7)

Để tam giác ABC vuông tại B khi và chỉ khi: BABC

BA . BC = 0 hay - 6( - m - 4) - 3( - m-11) – 7.(m+ 7) = 0

⇔ 6m+ 24 + 3m + 33 – 7m - 49 =0

Hay 2m + 8 = 0 ⇔ m = -4

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hai vectơ a(1;1;-2); b(1;0;m). Tìm m để góc giữa hai vecto đó bằng 450

A. m = 2 +√6    B. m = 2 - √6    C. m = 2 ±√6    D. m = 26

Hướng dẫn giải:

Ta cosin góc tạo bởi hai vecto đã cho là:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Để góc giữa hai vecto a; b có số đo 45o thì

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B .

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ giác ABCD có A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); C(11; -1; 6) và D( 5; 7; 2). Tứ giác ABCD là hình gì?

A. Hình thang vuông.    B. Hình thoi.    C. Hình bình hành.    D. Hình vuông.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB(3;-4;2); BC(6;4;-1);CD(-6;8;-4)

Suy ra CD = -2AB

+ Do đó,hai đường thẳng AB và CD song song với nhau.

=> tứ giác ABCD là hình thang.

+ Lại có:

AB.BC = 3.6 + 4.(-4) + 2.(-1) = 0

=> AB ⊥ CD

=> ABCD là hình thang vuông.

Chọn A.

Dạng 4. Tích có hướng của hai vecto và ứng dụng

1. Phương pháp giải

Định nghĩa: Cho a(a1; a2; a3); b(b1; b2; b3) . Ta có:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Tính chất:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Ứng dụng:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;1); B(2;1;3); C(3;2;2). Diện tích tam giác ABC bằng

A. √11/2 .    B. √3 .    C. √13/2 .    D. √14/2.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

+ Diện tích tam giác ABC là: 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2; 2; 1); B(-1; 2; 1) và C(-2;1; 2). Tính chiều cao AH của tam giác?

A. √2     B. √3     C. 2√2     D. √6

Hướng dẫn giải:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

+ Diện tích tam giác ABC là: 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Lại có: 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;2;1); B( 2;1; 3); C(3; 2;2) và D(1; 1; 1). Tính chiều cao DH của tứ diện

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

+ Diện tích tam giác ABC là:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1;1;1); B(2;1;2); E(-1; 2; -2) và D(3; 1; 2). Khoảng cách từ A đến mp (DCGH) bằng

A. √3    B. √3/3    C. 2√3    D. 1/3

Hướng dẫn giải:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Thể tích của hình hộp ABCD.EFGH là:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

+ Lại có:

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

+ Mặt khác

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxyz, cho A( 2;1; -1); B(3;0;1); C( 2; -1; 3), điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là:

A. (0; -7; 0)    B. (0; -7; 0) hoặc (0; 8; 0)

C.(0; 8; 0)    D. (0; 7; 0) hoặc (0; - 8; 0)

Hướng dẫn giải:

Do điểm D thuộc trục Oy nên tọa độ điểm D( 0; y; 0).

Ta có: AB(1;-1;2), AC(0;-2;4); AD(-2;y-1;1)

[AB,AC] = (0; -4; -2); [AB,AC]AD = 0.(-2)+ (- 4). (y - 1)+ (-2).1= 2- 4y

Do thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 nên ta có :

4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Vậy có 2 điểm D thỏa mãn là D1 (0; -7; 0) và D2(0; 8; 0)

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12