19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u = (a; b; c)

1. Phương pháp giải

Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(xo; yo; zo) và vecto chỉ phương u ( a; b; c) thì

+ Phương trình tham số của đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d ( với a.b.c ≠ 0 ) là:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

* Chú ý:

+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α) thì vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vì d ⊥(α)

+ Nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng d nhận vecto ud = uΔ làm vecto chỉ phương .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua A (2 ; 1 ; 5) và có vectơ chỉ phương u=(1;1;2). Tìm mệnh đề đúng

A. Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

B. Phương trình tham số của đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

C. Phương trình tham số của đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Trong đó t là tham số

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng?

A. Vậy phương trình tham số của ∆ là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

B. Phương trình chính tắc của ∆ là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

C. Vậy phương trình tham số của ∆ là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

D. Phương trình chính tắc của ∆ là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên vectơ chỉ phương của ∆ là:

u = nα = (2; -1;1)

Vậy phương trình tham số của ∆ là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Phương trình chính tắc của ∆ là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (1; 2; 3) và song song với (d’): 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Tìm mệnh đề sai

A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là u ( -4; 4; 2)

B. Vậy phương trình tham số của d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

C. Phương trình chính tắc của d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: ud = ud' = ( 2; -2; -1)

Vậy phương trình tham số của d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Phương trình chính tắc của d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d biết d đi qua A (0; 2; -1) và song song với (d’): 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Tìm mệnh đề sai ?

A. Điểm M(2; 8; - 3) thuộc đường thẳng d.

B. Phương trình tham số của đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

C. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) : x+ 3y- z+ 10= 0

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: ud = ud' = ( 1; 3; -1)

Vậy phương trình tham số của d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Cho t= 2 ta được điểm M ( 2; 8; -3) thuộc đường thẳng d

Phương trình chính tắc của d là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Mặt phẳng (P): x+ 3y – z+ 10= 0 có vecto pháp tuyến n( 1; 3; -1)

=> Vecto chỉ phương của đường thẳng d là vecto pháp tuyến của măt phẳng (P)

=> đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

=> C sai

Chọn C.

Dạng 2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) hoặc đường thẳng d đi qua M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).

1. Phương pháp giải

Cách 1:

+ Cả hai trường hợp đều suy ra udnPudnQ

Mà (P) và (Q) cắt nhau nên VTCP của d là ud⊥ [nP; nQ]

+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.

+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto ud⊥ [nP; nQ] làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cách 2:

Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) thì với mỗi điểm

M ( x; y;z) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:

phương trình (P) và Phương trình (Q) (*)

Đặt x= t ( hoặc y = t hoặc z = t) thay vào hệ (*) rồi rút y; z theo t

Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x- 3y + z = 0 và (α’): x+y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

* Cách 1: Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Đặt y = t, ta có

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Vậy phương trình tham số của d là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Cách 2: Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Vậy điểm Mo( -2; 0; 2) thuộc đường thẳng d.

Do uα ( 1;-3; 1); n'α( 1; 1; -1)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u(1;1;2)

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u(1; 1;2)

Vậy phương trình tham số của d là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giảiChọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1; 1;2)

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0

Điểm M (x; y; z)∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Đặt z= t ta được: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải là phương trình đường thẳng d

Chọn A.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; - 1) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (α):x+ y - z + 3= 0 và (α’): 2x – y+ 5z – 4= 0

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là: nα(1; 1; -1); nα'(2; -1; 5)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Vậy phương trình đường thẳng d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): 2x+ y + 1= 0 và (β): x- y + z – 1 = 0

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng nα(2; 1; 0) và nβ(1; -1; 1)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Vậy điểm Mo (0; -1; 0) thuộc đường thẳng d.

Vậy phương trình đường thẳng d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x - 2y – z + 10= 0 và (β): 2x+2y – 3z – 40= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3; 1) và song song với đường thẳng ∆ là

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến nα(1; -2; -1)

Mặt phẳng (β) có vec tơ pháp tuyến nβ(2; 2; -3)

Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là ud = [nα;nα] =( 8;1; 6)

Vậy phương trình của d là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn D.

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ (d’ không vuông góc với (P)).

1. Phương pháp giải

Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên

Suy ra udnPudud'

Mà d’ không vuông góc với (P)

Nên VTCP của d là ud = [nP;ud']

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( đã biết) và nhận vecto ud làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là nP(1; 1; -1)

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: ud'(1; 3; 2)

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u = [nP; ud'] =( 5; -3; 2)

d đi qua điểm M (1; 2; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1; 2), song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là nOxy(0; 0; 1)

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là ud'(1; -2; 1)

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u = [ud';nOxy] = ( 2; 1; 0)

d đi qua điểm M (0; 1; 2)

Vậy phương trình đường thẳng d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng (P) : y- 2z- 1= 0 và đường thẳng ∆ : 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Phương trình chính tắc đường thẳng d đi qua điểm B( 2 ; 2 ; - 2) song song với (P) và vuông góc với ∆ là

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Dường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u(2 ; 1 ;1)

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP(0 ; 1 ; - 2).

Gọi ud là vectơ chỉ phương của d.

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: ud= [nP; uΔ] = ( 3;-4; -2)

Vậy phương trình chính tắc của d là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 5= 0 và hai điểm A(0; 0; 1); B( 1; -1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm

+ Gọi mặt phẳng (Q) qua A( -3; 0;1) và song song với (P).

Khi đó: (Q) có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ( Q) ta được : -3- 2.0+ 2.1+ D= 0

=> D = 1

Vậy phương trình ( Q): x- 2y + 2z +1= 0

+ Gọi K; H lần lượt là hình chiếu của B lên d; (Q).

Ta có: d( B; d) = BK ≥BH

Do đó AH là đường thẳng cần tìm.

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến nQ(1; -2; 2)

BH qua B và có vectơ chỉ phương uBH = nQ(1; -2; 2)

=> Phương trình đường thẳng BH là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Do H ∈ BH nên H( 1+ t; - 1- 2t; 3+ 2t). Do H thuộc mp (P) nên

1+ t – 2(- 1- 2t) + 2( 3+ 2t ) – 5= 0 => t= -4/9

Do đó H(5/9; -1/9; 19/9)

+ Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 0; 1) và có vectơ chỉ phương

ud = AH = 1/9(5;-1;10)

Vậy phương trình của d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 5= 0; điểm A(2;1; 1); B( -1; 2; 3) . Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và đi qua A. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0; 0) đồng thời song song với (P) và vuông góc với đường thẳng OB?

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Mặt phẳng (Q) qua A(2; 1;1) và song song với (P).

Khi đó (Q) có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ( Q) ta đưọc: 2- 2.1 + 2.1+ D= 0

=> D = - 2

Vậy phương trình ( Q): x- 2y +2z - 2= 0

Mặt phẳng ( Q) có vecto pháp tuyến n(1; -2; 2)

+ Đường thẳng OB có vecto chỉ phương là OB( -1; 2; 3)

+ Đường thẳng d đi qua điểm M(1;0 ; 0) và có vectơ chỉ phương là :

u = [n; OB] = ( -10; 5; 0) = - 5( 2; -1; 0)

Vậy phương trình của d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C.

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M; nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ (hoặc song song với mặt phẳng (Q) ).

1. Phương pháp giải

+ Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng ∆: u

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q): nP; nQ

+ Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

u = [u; nP] hoặc [nP; nQ]

+ Khi đó; đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u

=> phương trình đường thẳng d:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải và mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z+ 10 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 1; -1; 1); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆?

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u( 1; 2; -1)

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến n( 1; -2; 3).

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

u = [u; n] = ( 4; - 4; - 4) chọn ( 1; -1; -1) .

=> Phương trình đường thẳng d cần tìm 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ : 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải và mặt (P): x+ 2y – 3z+ 4= 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P) , cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Tìm giao điểm M của ∆ và mặt phẳng ( P):

Điểm M( - 2+ t; 2+ t;- t) thuộc ∆.

Thay tọa độ M vào phương trình (P) ta được:

- 2+ t+ 2(2+ t) – 3( - t) + 4= 0 ⇔ - 2+ t + 4 + 2t + 3t + 4= 0

⇔ 6t+ 6= 0 nên t= -1 => M ( - 3; 1; 1)

+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến uP( 1; 2;-3)

+ Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u( 1; 1; -1)

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u=[nP;u] = (1; -2; -1)

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( -3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u = (1; -2; -1)

Vậy phương trình tham số của d là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải và mặt phẳng (P): 2x+ y- 2z + 9= 0. Gọi A là giao điểm của d và (P). Phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong (P), đi qua điểm A và vuông góc với d là

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Điểm A là giao điểm của đường thẳng d và (P).

=> Tọa độ A( 1- t; - 3+ 2t; 3+ t)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) ta được :

2( 1- t) + ( -3+ 2t) – 2( 3+ t) + 9= 0

⇔ 2- 2t- 3+ 2t – 6 – 2t + 9= 0 ⇔ - 2t+ 2= 0

⇔ t= 1 nên A(0; -1; 4)

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến nP( 2; 1; - 2)

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ud( -1;2; 1)

+ Do đường thẳng ∆ nằm trong (P) và vuông góc với d nên một vecto chỉ phương của ∆ là:

u = [nP;ud] = (5; 0; 5) chọn ( 1; 0;1)

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0; - 1; 4) và có vectơ chỉ phương là ( 1; 0;1)

Vậy phương trình tham số của ∆ 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -1; -1; -1) và B(1;2;0). Mặt phẳng (P): 3x- 2y+ z- 10= 0 . Đường thẳng d đi qua M( -1; 2;2) nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng AB. Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào song song với đường thẳng d?

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương AB( 2; 3; 1)

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n(3; -2; 1) .

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng AB nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là [AB; n] = (5; 1; -13)

=> Phương trình đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

=> Đường thẳng d’: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải song song với đường thẳng d( có cùng vecto chỉ phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’) .

Chọn A.

Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A; cắt d và song song với mặt phẳng (P)

1. Phương pháp giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là M

=> Tọa độ của M( ..) ( theo tham số t; dựa vào phương trình đường thẳng d) .

=> Đường thẳng ∆ nhận vecto AM( ....) làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n

+ Do đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) nên ta có; n.u = 0 => Phương trình ẩn t

=> t=...=> tọa độ điểm M

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 2; -1) và đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt d và song song với mặt phẳng (Q): x+ y- z+ 3= 0 là:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm

+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và ∆ là B .

Do B thuộc d nên B( 3+ t; 3+ 3t; 2t) => AB( 2+ t;1+ 3t; 2t+ 1)

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến nQ( 1; 1; -1)

+ Do đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (Q) nên ABnQ

=> AB. nQ ⇔ 1( 2+ t)+ 1( 1+ 3t)- 1( 2t+ 1) = 0

⇔ 2+ t+1+ 3t – 2t- 1= 0 ⇔ 2t + 2= 0

⇔ t= - 1

+ Đường thẳng ∆ đi qua A( 1; 2; -1) và nhận vecto AB(1; - 2; - 1) làm vecto chỉ phương nên phương trình của ∆ là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 1;1;0) và B( 2; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0;0) cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng (P): 2x+ y+ z- 1= 0.

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1;0); nhận vectơ AB(1; -2; 2) làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H(1+ t; 1-2t;2t)

+ đường thẳng d nhận vecto MH( t; 1- 2t; 2t ) làm vecto chỉ phương .

+ Mặt phẳng (P) nhận vecto n( 2; 1;1) làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên MH.n = 0 ⇔ 2t + 1( 1- 2t) + 1.2t= 0

⇔ 2t+ 1= 0 ⇔ t= 1/2 => H(3/2;0;1)

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 0;0) và nhận vecto MH(1/2;0;1) làm vecto chỉ phương; chọn vecto ( 1; 0; 2)

=> Phương trình đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải ba điểm A(1;1;1); B( -2; 1; -1) và C( 1; 0;2). Viết phương trình đường thẳng ∆ qua O cắt d và song song với mặt phẳng (ABC)

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB(-3; 0; -2); BC(3; -1; 3)

Mặt phẳng (ABC) nhận vecto n[AB;BC] = ( -2; 3;3) làm vecto pháp tuyến.

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là M( 1-t; 2t; 2+ t)

Đường thẳng ∆ nhận vecto OM( 1-t; 2t; 2+t) làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABC) nên: n. OM = 0

⇔ -2(1- t) + 3.2t + 3.( 2+ t) = 0 ⇔ - 2+ 2t+ 6t+ 6+ 3t = 0

⇔ 11t+ 4= 0 ⇔ t = -4/11

+ Đường thẳng OM: qua O nhận vecto OM(15/11; -8/11; 18/11) làm VTCP chọn n(15; - 8;18)

=> Phương trình OM: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B.

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải và mặt phẳng (P): 2x- 3y- 1= 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M( -2; 1; 3) cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P).

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n(2; -3; 0).

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là A( 1+2t; - 2+ t;1- t).

+ Đường thẳng ∆ nhận vecto MA( 3+ 2t; - 3+ t; -2- t) làm vecto chỉ phương.

Do đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) nên MA.n = 0

⇔ 2( 3+ 2t) – 3( - 3+ t) + 0( - 2- t) = 0

⇔ 6+ 4t+ 9 – 3t = 0 ⇔t= -15

+ Đường thẳng ∆: đi qua M( -2; 1; 3) và nhận vecto MA(- 27; -18; 13) làm vecto chỉ phương nên phương trình 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 : 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải và song song với d2:19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Đường thẳng d có phương trình: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải. Gọi đường thẳng ∆ đi qua M( 0; -1; 1); cắt d và song song với (P). Tìm giao điểm của đường thẳng d và ∆?

A. ( - 4; 2; -6)    B. (1; 2; - 1)     C. ( 0; 2; - 2)    D. (6; 2; 4)

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương u1(-1; 2; 2) và đi qua A(-1; 2; 2)

+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương u2(1; -1; 1)

=> Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n= [u1; u2] = ( 4; 3; -1).

+ Gọi giao điểm của d và ∆ là H( 3- t; 2; 1- t )

Đường thẳng ∆ nhận vecto MH(3- t; 3; - t ) làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng ∆ song song với (P) nên: n. MH = 0

⇔ 4(3- t)+ 3. 3 – 1( -t) = 0

⇔ 12- 4t +9 + t= 0 ⇔ 21- 3t= 0 ⇔t= 7

=> Giao điểm của đường thẳng d và ∆ là H( - 4; 2; - 6)

Chọn A.

Dạng 6. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 (d1 và d2 là hai đường thẳng chéo nhau).

1. Phương pháp giải

+ Gọi ud; ud1; ud2 lần lượt là vecto chỉ phương của đườg thẳng d; d1 và d2

+ Do đường thẳng d vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2 nên udud1; udud2

+ Mà d1 và d2 chéo nhau

=> Vecto chỉ phương của d là ud = [ud1; ud2]

Sau đó, áp dụng định nghĩa phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (2; -1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là u1(-1; 1; -2) và u2(1; -2; 0)

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u1; u2 nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u= [u1; u2] = (-4; -2; 1)

d đi qua điểm A (2; -1; 1)

Vậy phương trình đường thẳng d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; 3) và vuông góc với hai đường thẳng

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d1; d2 lần lượt là u1( 2; -1; 1) và u2(-1; 2; 1)

+ Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u1; u2

Nên 1 VTCP của đường thẳng d là ud = [u1; u2] = (- 3; -3; 3), chọn VTCP (-1; -1; 1)

Mà d đi qua điểm A (1; 2; 3) nên phương trình đường thẳng d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho hai điểm A(1 ;-1 ;1) ; B(-1 ; 2 ; 3) và đường thẳng ∆ : 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳn AB và ∆ là

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB( -2; 3; 2).

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u( -2; 1; 3)

Do đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u = [u; AB] = ( -7;-2; -4) chọn vecto ( 7;2; 4)

Vậy phương trình chính tắc của d là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;2; 0) và vuông góc với hai đường thẳng d1; d2

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương u1( 2; 1; 4)

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương u2(1;0; 2)

Do đường thẳng ∆ vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 nên một vecto chỉ phương của đường thẳng ∆ là: u = [u1; u2] = ( 2;0;-1)

Vậy phương trình tham số của ∆ là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C.

Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2

1. Phương pháp giải

Cách 1:

• Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng α đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1

• Bước 2: Tìm giao điểm A = α ∩ d2

• Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, A

Cách 2:

• Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1

• Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d2

• Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = α ∩ β

Cách 3:

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d1, d và d2

Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng

=> MA; MB cùng phương nên MA = k.MB

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0; 2; -4) và cắt hai đường thẳng d1 và d2

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d1

Đường thẳng d1 qua B( 2 ; 1 ; -1) và có vecto chỉ phương ud1(2 ;-2 ; 4)

Ta có AB(2 ; -1 ;3)

Mặt phẳng (P) có một vecto phap tuyến là [ud1; MA] = (-2 ; 2 ; 2)

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d2

Đường thẳng d2 qua C(-1; 3; -2) và có vecto chỉ phương ud2(-2; 3;-1)

Ta có: AC(- 1; 1;2)

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là [ud2; AC] = ( 7; 5; 1)

+ Khi đó đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

=> Một vecto chỉ phương của đường thẳng ∆ là [nP; nQ] = (-8; 16; -24) = -8( 1; -2; 3)

Do vậy phương trình ∆ là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua và cắt cả hai đường thẳng 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải là :

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Chọn D

+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm A.

Đường thẳng d đi qua điểm B( 1;0 ;3) và có vecto chỉ phương u1( 2 ; 1 ; -1)

Ta có AB(0 ;1 ; 2)

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là n1 = [u1; AB] = ( 3 ; -4 ; 2).

+ Gọi (Q) =là mặt phẳng đi qua A và chứa d’

Đường thẳng d’ qua C( 0; -1; 2) và có vecto chỉ phương u2(1; -2; 1)

Ta có AC( -1; 0; 1)

Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là n2 = [u2; AC] = ( -2 ; -2 ; -2)

+ Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là [n1;n2] = (12; 2; -14) = 2( 6; 1; -7) và đi qua A nên có phương trình tham số là:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn D.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M (1; 1; 0) và cắt hai đường thẳng:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

- Một điểm thuộc d1 là : A (1; 0; 0)

=> MA(0; -1; 0)

Mặt phẳng α đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1 có VTPT là uα = [MA; ud1] = (0; 0; 1)

Phương trình mặt phẳng α là:

0.(x – 1) + 0. (y – 1) + 1. (z – 0) = 0 hay z = 0

- Giao điểm B = α ∩ d2 là (0; 0; 0)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là BM(1;1; 0)

Vậy phương trình đường thẳng d là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm A (1; 2; 3) và cắt hai đường thẳng

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

- Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương ud1(2; -2; 1). Một điểm M thuộc d1 là M (0; -1; 2)

=> MA(1; 3; 1)

Mặt phẳng α đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là:

nα = [MA; u1] = ( 5;1; -8)

- Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương u2(4; 0; 3). Một điểm thuộc d2 là N (0; -2; 0)

=> NA( 1; 4; 3)

Mặt phẳng β đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2 có VTPT là nβ = [NA; u2] =(12; 9; -16)

- Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β)

Vectơ chỉ phương của d là ud = [nα; nβ] = ( 56, -16, 33)

Vậy phương trình đường thẳng d là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B.

Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2.

1. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết PT mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1

- Tìm giao điểm B = (P) ∩ d2

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Cách 2:

- Viết PT mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1

- Viết PT mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa đường thẳng d2

- Đường thẳng d cần tìm là d = (P) ∩ (Q)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1; - 1; 3) và hai đường thẳng 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải.Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2.

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Gọi ( P) là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d1.

Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là ( 1; 4; -2) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n( 1; 4; -2)

=> Phương trình mặt phẳng (P) là: 1( x-1) + 4( y+1) – 2( z- 3) =0

Hay x+ 4y – 2z + 9= 0

+Gọi giao điểm của đường thẳng d2 và mặt phẳng ( P) là điểm B

Do B thuộc d2 nên tọa độ B( 2+ t; - 1- t; 1+ t) . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P) ta được : 2+ t + 4( - 1- t) – 2( 1+ t) + 9= 0

⇔ 2+ t- 4 – 4t- 2- 2t + 9= 0

⇔ - 5t+ 5= 0 ⇔ t= 1

=> B( 3; -2; 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A(1; -1;3) nhận vecto AB(2; -1;- 1)

=> Phương trình chính tắc của đường thẳng AB: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( 1; 2; -2) vuông góc với d1 và cắt d2 là:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Gọi giao điểm của của d và d2 là B.

Do B thuộc d2 nên tọa độ B( t; 1+ 2t; t) => AB( t- 1; 2t- 1; t+ 2) .

+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương u1 ( 2; 2; 1)

+ Do đường thẳng d vuông góc với d1 nên ABu1

AB . u1 = 0

⇔ 2( t-1) + 2( 2t- 1) + 1(t+ 2) = 0

⇔ 2t – 2 + 4t – 2+ t+ 2= 0

⇔ 7t- 2= 0 nên t = 2/7

+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 1; 2; - 2) và có vectơ chỉ phương AB(-5/7; -3/7; 16/7)

chọn vecto chỉ phương ( 5; 3; - 16)

Vậy phương trình của d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải ; và điểm A (1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A,vuông góc với d1và cắt d2.

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

- Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1 có VTPT là nP = ud1

=> nP = (2; -1; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

2.(x – 1) – 1 . (y – 2) + 1. (z – 3) = 0 hay 2x – y + z – 3 = 0

-Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng d2 là B

B thuộc d2 nên tọa độ B( 1- t; 1+ 2t; - 1+ t)

Thay tọa độ ( B) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

2( 1- t) – ( 1+ 2t) + ( - 1+ t) – 3= 0

⇔ 2- 2t- 1- 2t- 1+ t- 3= 0

⇔ -3t – 3= 0 nên t= -1

Suy ra: B (2; -1; -2)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là: AB(1; -3; -5)

Vậy phương trình đường thẳng d là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 2; 0); B( 2; 1;1) và C( 2; 3; 2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua G vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng ∆: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Viết phương trình đường thẳng d?

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ G( 1; 2;1) .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là: H( 1- t; - 2+ 2t; 2) => GH(- t; 2t- 4; 1)

Ta có vecto chỉ phương của trục tung là uOy(0; 1; 0) .Khi đó:

Do d⊥Oy ⇔ GH.uOy = 0 ⇔ 0. ( -t) + 1(2t- 4)+ 0.1= 0

⇔2t – 4 = 0 ⇔ t = 2 nên tọa độ H( -1; 2; 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng GH: đi qua G( 1; 2; 1) và VTCP GH(-2; 0; 1)

=> Phương trình đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn D.

Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d1.

1. Phương pháp giải

Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ B có dạng... ( theo tham số t).

=> Tọa độ AB

+ Xác định vecto chỉ phương của u1 đường thẳng d1.

+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d1 nên ABu1

=> AB.u1 = 0

=>Phương trình ẩn t ....=> t= ...

=> Tọa độ điểm B.

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d1 có phương trình tham số 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải và điểm A(0;1; 0). Phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d1 là:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là u1( 0; -1; 2)

Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ B có dạng B( -3; 1-t; 2t)

=> AB (-3; - t; 2t)

Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d1 nên ta có

AB.u1 = 0 ⇔ 0. (-3) – 1( - t) + 2.2t= 0

⇔ 5t = 0 ⇔ t = 0

Suy ra tọa độ B( - 3; 1; 0)

+ Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 0;1; 0) và có VTCP AB( -3;0; 0) chọn u(1; 0; 0).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho điểm A( -1; -2; 3) và đường thẳng d: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Đường thẳng ∆ đi qua cắt và vuông góc với đường thẳng d. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng ∆

A . (4; 4; 0)    B. (2; -2; 1)

C. ( 2;4; 1)    D. ( 3; -3;0)

Hướng dẫn giải:

Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là M

Khi đó M ∈ d => M( - 1+ 2t; 1+ 2t; - 4t) => AM(2t; 3+ 2t; - 4t – 3)

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là ud (1; 1; -2).

Khi đó; ∆⊥d => AMud => AM .ud = 0

⇔ 1. 2t+ 1( 3+ 2t) – 2( - 4t- 3) =0

⇔ 2t+ 3+ 2t+ 8t+ 6 = 0⇔ 12t + 9= 0

⇔ t = -3/4

Suy ra, AM(-3/2;3/2;0) là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho điểm A(1; 0;2) và đường thẳng d có phương trình 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc và cắt d

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Ta có ud(1; 1; 2) là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Gọi ∆ ∩ d = B=> B ∈ d => B(1+ t; t; -1+ 2t) => AB ( t; t; 2t – 3)

Do ∆⊥d => AB ⊥ d => AB. ud = 0

⇔ t+ t + 2(2t - 3) = 0 ⇔ 6t – 6= 0 nên t = 1

=> AB(1; 1; -1)

Đường thẳng ∆ đi qua A và nhận AB làm vectơ chỉ phương nên có phương trình

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn B.

Ví dụ 4: Cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải ; điểm A(-1;2; 0) . Đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng ∆ tại điểm có tọa độ là?

A. (-11/7; 5/7; -6/7)    B. (11/7; 5/7; -6/7)     C. (3/7; 5/7; 6/7)     D. (1/7; 5/7; -6/7)

Hướng dẫn giải:

+ Ta có đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u(3; -2;1)

Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ B có dạng B( 1+3t; -1-2t; t)

=> AB( 2+ 3t; - 3- 2t; t)

+ Do ∆⊥d => ∆⊥AB => AB.u = 0

⇔ 3( 2+ 3t) – 2( - 3 -2t) + 1. t= 0

⇔ 6+ 9t + 6 + 4t + t= 0

⇔ 14t+ 12= 0 ⇔ t = -6/7

=> Tọa độ giao điểm của d và ∆ là B(11/7; 5/7; -6/7)

Chọn A.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm M( 1;1;1) và đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2;0) và B(-1;3;3). Gọi ∆ là đưởng thẳng qua M vuông góc và cắt d. Biết rằng đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại N(-5/7;a/7;b/7) . Tính a+ b ?

A. 16    B. – 10     C. 18     D. -8

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A( 1;2;0) và B( -1; 3;3) nên đường thẳng này nhận vecto ( -2;1;3) làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

+ Gọi N là giao điểm của ∆ và d.

Do N thuộc đường thẳng d nên tọa độ N( 1- 2t; 2+ t; 3t)

=> MN( - 2t; 1+ t; 3t – 1)

+ Do ∆⊥d => ∆⊥MN => AB.MN = 0

⇔ - 2. (-2t) + 1. ( 1+ t) + 3( 3t-1) = 0

⇔ 4t+ 1+ t+ 9t – 3 = 0⇔ 14t - 2= 0 ⇔ t= 1/7

=> Tọa độ điểm N (-5/7; 15/7;3/7)

=> a= 15 và b = 3 nên a+ b= 18

Chon C.

Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.

1. Phương pháp giải

- Tìm giao điểm A = d1 ∩(P); B = d2 ∩ (P)

- d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x – y – 2z + 3 = 0 và cắt hai đường thẳng

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

- Giao điểm A của d1 và (P) có tọa độ ( 2t – 1; - t+ 1; t + 1)

Thay tọa độ A vào phương trình (P) có:

( 2t – 1) – ( - t+1) – 2(t+1)+ 3 = 0 ⇔ 2t – 1 + t- 1- 2t – 2 + 3 = 0

⇔ t - 1= 0 nên t=1 => A (1; 0; 2)

- Giao điểm B của d2 và (P) có tọa độ ( t+ 1; t+2; 2t – 1)

Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) có:

( t+ 1) – ( t+ 2) – 2 (2t – 1) + 3= 0 ⇔ - 4t + 4= 0 nên t = 1

=> B (2; 3; 1)

-Ta có AB(1; 3; -1)

Vậy phương trình của d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải. Đường thẳng d nằm trong (P): x+2y- 3z – 2= 0 và cắt hai đường thẳng d1; d2 lần lượt tại A và B. Tính AB?

A. 8    B. √35     C. √23     D. √59

Hướng dẫn giải:

+ Gọi A là giao điểm của d1 và (P)

Tọa độ A( 2- t; 1+ 3t; 1+ 2t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được:

2- t + 2( 1+ 3t) – 3( 1+ 2t) = 0

⇔ 2- t + 2+ 6t – 3 – 6t= 0

⇔ - t + 1= 0 ⇔ t= 1 nên A( 1; 4; 3)

+ Gọi B là giao điểm của d2 và( P)

Tọa độ B( 1-3t; - 2+ t; - 1- t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1- 3t + 2( - 2+ t) – 3( - 1- t) - 2 = 0

⇔ 1- 3t – 4 + 2t + 3+ 3t – 2= 0

⇔ 2t – 2= 0 ⇔ t = 1 nên B ( -2; - 1; -2)

=> Độ dài 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải ; và mặt phẳng (P): x- y - 2z + 3= 0. Biết đường thẳng ∆ nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1; d2 . Phương trình ∆ là

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

Gọi A; B lần lượt là giao điểm của ∆ với d1; d2

Do Δ⊂(P)⇒A,B cũng chính là giao điểm của (P) với

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Khi đó :

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Suy ra phương trình 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho các điểm A( 1; 1;1); B(0;1; 2); C( 2; 1; 2). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x+ y- 2z- 3= 0 đồng thời cắt hai đường thẳng AB và OC?

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Phương trình đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; 1) vecto chỉ phương AB( -1; 0; 1)

=> Phương trình AB: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

+ Gọi giao điểm của AB và mặt phẳng (P) là M( 1-t; 1; 1+ t) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

1- t + 1- 2( 1+ t) – 3= 0 ⇔ 1- t + 1- 2- 2t- 3= 0

⇔ - 3t – 3= 0 ⇔ t= -1

Suy ra M( 2; 1; 0).

+ Phương trình đường thẳng OC : đi qua O(0; 0;0) và có VTCP OC(2; 1; 2) nên phương trình OC là: 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

+ Gọi giao điểm của OC và (P) là N( 2t; t; 2t) thay vào phương trình (P) ta được :

2t + t – 2.2t – 3= 0 ⇔ - t- 3= 0

⇔ t= - 3 nên N( -6; -3; - 6)

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua M( 2; 1; 0) và nhận vecto NM( 8; 4; 6) = 2( 4; 2; 3) làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d là 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12