Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian (cực hay)

Bài viết Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian.

Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian (cực hay)

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

I. Phương trình đường thẳng

+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham số là :

+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm và nhận vectơ sao cho a.b.c ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là :

II. Góc

1. Góc giữa hai đường thẳng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d₁; d₂. Trong đó:

· Đường thẳng d₁ vectơ chỉ phương u₁→

· Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương u₂→

· Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ được xác định bởi:

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Trong đó:

· Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→

· Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n→

· Gọi φ là góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó ,ta có:

III. Khoảng cách:

1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua điểm M₀( x₀; y₀; z₀) và có vecto chỉ phương u→.

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂. Trong đó:

·Đường thẳng d1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u₁→

· Đường thẳng d2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương u₂→

·Khoảng cách hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u^→ = (a; b; c)

1. Phương pháp giải

Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x_o; y_o; z_o) và vecto chỉ phương u→ ( a; b; c) thì

+ Phương trình tham số của đường thẳng d:

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d ( với a.b.c ≠ 0 ) là:

* Chú ý:

+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α) thì vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vì d ⊥(α)

+ Nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng d nhận vecto u_d^→ = u_Δ^→ làm vecto chỉ phương .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua A (2 ; 1 ; 5) và có vectơ chỉ phương u→=(1;1;2). Tìm mệnh đề đúng

A. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

B. Phương trình tham số của đường thẳng d:

C. Phương trình tham số của đường thẳng d:

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:

Trong đó t là tham số

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là:

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng?

A. Vậy phương trình tham số của ∆ là

B. Phương trình chính tắc của ∆ là

C. Vậy phương trình tham số của ∆ là:

D. Phương trình chính tắc của ∆ là

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên vectơ chỉ phương của ∆ là:

u_∆→ = n_α→ = (2; -1;1)

Vậy phương trình tham số của ∆ là

Phương trình chính tắc của ∆ là

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (1; 2; 3) và song song với (d’): . Tìm mệnh đề sai

A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→ ( -4; 4; 2)

B. Vậy phương trình tham số của d là

C. Phương trình chính tắc của d là

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: u_d→ = u_d'→ = ( 2; -2; -1)

Vậy phương trình tham số của d là

Phương trình chính tắc của d là

Chọn D.

Dạng 2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) hoặc đường thẳng d đi qua M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).

1. Phương pháp giải

Cách 1:

+ Cả hai trường hợp đều suy ra u_d→⊥n_P→ và u_d→⊥n_Q→

Mà (P) và (Q) cắt nhau nên VTCP của d là u_d→⊥ [n_P→; n_Q→]

+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.

+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto u_d→⊥ [n_P→; n_Q→] làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cách 2:

Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) thì với mỗi điểm

M ( x; y;z) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:

phương trình (P) và Phương trình (Q) (*)

Đặt x= t ( hoặc y = t hoặc z = t) thay vào hệ (*) rồi rút y; z theo t

Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x- 3y + z = 0 và (α’): x+y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d

Hướng dẫn giải:

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ

Vậy điểm M_o( -2; 0; 2) thuộc đường thẳng d.

Do u_α→ ( 1;-3; 1); n'_α→( 1; 1; -1)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1;1;2)

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1; 1;2)

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1; 1;2)

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0

Điểm M (x; y; z)∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z= t ta được: là phương trình đường thẳng d

Chọn A.

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ (d’ không vuông góc với (P)).

1. Phương pháp giải

Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên

Suy ra u_d→⊥n_P→ và u_d→⊥ u_d'→

Mà d’ không vuông góc với (P)

Nên VTCP của d là u_d→ = [n_P→;u_d'→]

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( đã biết) và nhận vecto u_d→ làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’:

Hướng dẫn giải:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n_P→(1; 1; -1)

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: u_d'→(1; 3; 2)

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u^→ = [n_P^→; u_d'^→] =( 5; -3; 2)

d đi qua điểm M (1; 2; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn B.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1; 2), song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là n_Oxy→(0; 0; 1)

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là u_d'→(1; -2; 1)

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u^→ = [u_d'^→;n_Oxy^→] = ( 2; 1; 0)

d đi qua điểm M (0; 1; 2)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn C.

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M; nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ (hoặc song song với mặt phẳng (Q) ).

1. Phương pháp giải

+ Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng ∆: u_∆→

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q): n_P→; n_Q→

+ Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

u→ = [u_∆→; n_P→] hoặc [n_P→; n_Q→]

+ Khi đó; đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u→

=> phương trình đường thẳng d:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆: và mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z+ 10 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 1; -1; 1); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆?

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u_∆→( 1; 2; -1)

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến n→( 1; -2; 3).

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

u→ = [u_∆→; n→] = ( 4; - 4; - 4) chọn ( 1; -1; -1) .

=> Phương trình đường thẳng d cần tìm

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ : và mặt (P): x+ 2y – 3z+ 4= 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P) , cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là:

Hướng dẫn giải:

+ Tìm giao điểm M của ∆ và mặt phẳng ( P):

Điểm M( - 2+ t; 2+ t;- t) thuộc ∆.

Thay tọa độ M vào phương trình (P) ta được:

- 2+ t+ 2(2+ t) – 3( - t) + 4= 0 ⇔ - 2+ t + 4 + 2t + 3t + 4= 0

⇔ 6t+ 6= 0 nên t= -1 => M ( - 3; 1; 1)

+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến u_P→( 1; 2;-3)

+ Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u_∆→( 1; 1; -1)

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u^→=[n_P^→;u_∆^→] = (1; -2; -1)

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( -3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u→ = (1; -2; -1)

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn B.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường thẳng d biết d đi qua M(5; -3; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;1;-3\right)$. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Bài 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua A(0;1;0) và d song song với đường thẳng d': $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+t\\ z=-3+2t\end{array}\right.$.

Bài 3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua M(2; 1; 3) và N(3; -2; 5).

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua A(-2; 0; 3) và B(1; 3; 2). Viết phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng d.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua M(-2; 1; -4) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-3;2;-1\right)$.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

---