Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay

Bài viết Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm.

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

+ Tính , đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương ( có thể chọn một vecto cùng phương với làm vecto chỉ phương.

+ Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ đi qua A (1; 1; 3) và B (2; 0; 5). Tìm mệnh đề sai?

A. phương trình tham số của Δ là:

B. Phương trình chính tắc của Δ là:

C. Đường thẳng Δ đi qua điểm H( 0; 2; 1)

D. Đường thẳng Δ đi qua điểm K( - 4; - 6; - 7)

Lời giải:

Ta có:

Δ đi qua A và B nên vectơ chỉ phương của Δ là u→ =

Vậy phương trình tham số của Δ là:

Phương trình chính tắc của Δ là:

Cho t= - 1 ta được điểm H( 0;2; 1) thuộc đường thẳng Δ.

Cho t= -5 ta được điểm M( - 4; 6; - 7) thuộc đường thẳng Δ

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; -2; 5), B(3; -1; 4), C(4; 1; -3). Chọn mệnh đề sai về phương trình đường trung tuyến AM

A. phương trình tham số của AM là:

B. Phương trình chính tắc của AM là:

C. Phương trình tham số của AM là:

D. Phương trình chính tắc của AM là:

Lời giải:

Trung điểm M của BC là

=>vectơ chỉ phương của AM là

Vậy phương trình tham số của AM là:

Phương trình chính tắc của AM là:

Do vecto là vecto chỉ phương của đường thẳng AM nên vecto cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng AM.

=> Đường thẳng AM cũng có phương trình chính tắc là:

Chọn C.

Ví dụ 3:Viết phương trình chính tắc của đường thẳng Δ biết Δ đi qua A (2; 1; 3) và B (1; -2; 1)?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Vì đường thẳng Δđi qua 2 điểm A (2; 1; 3) và B (1; -2; 1) nên có véc tơ chỉ phương là u→= =(1;3;2)

Đồng thời đường thẳng Δ đi qua điểm A (2; 1; 3) nên có phương trình là

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A( 3; 3; -1) và B( 6;4; 0)?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình chính tắc của AB là:

Chọn D.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( 1; 2; 3) ; B( 0; -2; 1) và C( 2; 0; 2). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng AG là.

A.

B.

C.

D.Không có phương trình chính tắc

Lời giải:

G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ điểm G:

Đường thẳng AG đi qua điểm G( 1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương

=> Đường thẳng AG không có phương trình chính tắc.

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng và . Gọi I là giao điểm của d₁; d₂. Phương trình đường thẳng OI là (O là góc toạ độ )

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có I∈d₁⇒ và I∈d₂⇒

Khi đó

⇒ là vecto chỉ phương của đường thẳng OI

Suy ra phương trình OI là:

Chọn D.

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A(1; 2; -1); B( 3; 2; 3) và C( -3; 0; 3). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng MN?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là: .

+ Tương tự do N là trung điểm của AC nên tọa độ N ( -1; 1; 1)

+ Đường thẳng MN đi qua M( 2; 2; 1) và có vecto chỉ phương làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A ( -2; 0; 3) và B (1; 1; 5). Tìm mệnh đề sai?

A. Phương trình tham số của d là:

B. Phương trình chính tắc của d là:

C. Đường thẳng d đi qua điểm H( - 5; -1; 1)

D. Đường thẳng d đi qua điểm K( -11; -3; -3)

Lời giải:

Ta có:

Đường thẳng d đi qua A và B nên vectơ chỉ phương của d là u→=

Vậy phương trình tham số của d là:

Phương trình chính tắc của d là:

Cho t= - 1 ta được điểm H( -5; -1; 1) thuộc đường thẳng d.

Cho t= -3 ta được điểm M( -11;- 3; - 3) thuộc đường thẳng d

Chọn A.

Câu 2:

Cho tam giác ABC có A(2; -1; 3), B(0; 5; 3), C(2; 1; 4). Chọn mệnh đề sai về phương trình đường trung tuyến CN

A. phương trình tham số của CN là:

B. Phương trình chính tắc của CN là:

C. Phương trình tham số của CN là:

D. Phương trình chính tắc của CN là:

Lời giải:

Trung điểm A của AB là N(1;2 ;3)

=>vectơ chỉ phương của CN là u→  =(1; -1;1)

Vậy phương trình tham số của CN là:

Phương trình chính tắc của CN là:

Do vecto u→   (-1;1; -1)là vecto chỉ phương của đường thẳng CN nên vecto v→    (-1; 1; -1) cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng CN.

=> Đường thẳng CN cũng có phương trình chính tắc là:

Chọn D.

Câu 3:

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; 0) và B( -2;3; 4). Trong các vecto sau vecto nào là vecto chỉ phương của đường thẳng d

A. ( -3; 1; - 4)

B. ( 6; -2; -8)

C.( 3; -1; -4)

D. (9; -3; -12)

Lời giải:

Ta có: là một vecto chỉ phương của đường thẳng AB.

Mà vecto cùng phương với các vecto ; và nên ba vecto uX→; v→; t→ cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d

Chọn A.

Câu 4:

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng Δ biết Δ đi qua A (2; 1; 5) và B (4; -2; 6)?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Vì đường thẳng Δ đi qua 2 điểm A (2; 1; 5) và B (4; - 2; 6) nên có véc tơ chỉ phương là u→= =(2; -3 ;1)

Đồng thời đường thẳng Δ đi qua điểm A (2; 1; 5) nên có phương trình là

Chọn B.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0;0) và A(-1; 2; -4)?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

Đường thẳng OA đi qua hai điểm O và A nên có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình chính tắc của AB là:

Chọn B.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( -2; 3; 4) ; B( 2; 1; 3) và C(0;2; 2). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng AG là.

A.

B.

C.

D.Không có phương trình chính tắc

Lời giải:

G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ điểm G:

=> G( 0;2; 3)

Đường thẳng AG đi qua điểm G( 0; 2; 3) và có vectơ chỉ phương

=> Đường thẳng AG có phương trình chính tắc:

Chọn C.

Câu 7:

Cho hai đường thẳng d1:và d2:Gọi I là giao điểm của d₁; d₂. Phương trình đường thẳng OI là (O là góc toạ độ )

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có I∈d₁⇒ và I∈d₂ ⇒

Khi đó

⇒ =2(1;1;1) là vecto chỉ phương của đường thẳng OI

Suy ra phương trình OI là:

Chọn B.

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A(2; 3; 5); B( 0; -1; -3) và C( 4; -1; -3). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng MN?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

=> M( 1; 1; 1).

+ Tương tự do N là trung điểm của AC nên tọa độ N ( 3; 1; 1)

+ Đường thẳng MN đi qua M(1; 1; 1) và có vecto chỉ phương làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.

Chọn A.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC có A(0; -2; 3), B(3; -1; 4), C(4; 1; -3). Viết phương trình tham số của đường trung tuyến AM biết M là trung điểm của BC.

Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ biết Δ đi qua A (2; 1; 3) và B (1; -2; 1)?

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 0; -1) và B(2; 2; -1).

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác MNP có M(1; 2; 3) ; N( 0; -2; 1) và P(2; 0; 2). Gọi G là trọng tâm tam giác MNP. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng MG.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A(0; 2; -1); B(2; -2; -3) và C(-3; 0; 3). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng EF?

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Các công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gian
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

---