Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) .

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vì d ⊥ (α)

+ Áp dụng cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm biết vecto chỉ phương của đường thẳng đó.

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

+ Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP là u_Δ→ = k→ = (0;0;1) .

+ Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP là u_Δ→ = j→ =(0;1;0) .

+Nếu Δvuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP là u_Δ→ = i→ =(1;0;0) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng?

A. Vậy phương trình tham số của Δ là:

B. Phương trình chính tắc của Δ là:

C. Vậy phương trình tham số của Δ là:

D. Phương trình chính tắc của Δ là:

Lời giải:

Vì đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) nên vectơ chỉ phương của Δ là:

Vậy phương trình tham số của Δ là:

Phương trình chính tắc của Δ là:

Chọn A.

Ví dụ 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua M (1; 3; -2) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm mệnh đề sai?

A. phương trình tham số của Δ là:

B. Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.

C. Điểm H( 1;3; 4) thuộc đường thẳng d

D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P): 2x+ 3y+ z= 0.

Lời giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z= 0 nên có vecto pháp tuyến là

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của Δ là: và đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Cho t= 6 ta được điểm H( 1;3; 4) thuộc đường thẳng d.

Mặt phẳng (P): 2x+ 3y + z= 0 có vecto pháp tuyến là :

Ta có:

=> Đường thẳng d và mặt phẳng ( P) không vuông góc với nhau.

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A(1;2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x +2y + z + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai?

A. Vậy phương trình tham số của d là:

B. Phương trình chính tắc của d là:

C. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

D. Điểm M( 3; 4; 4) thuộc đường thẳng d.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cho t= 1 ta được điểm M (3; 4; 4) thuộc đường thẳng d

Phương trình chính tắc của d là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y = 5z + 10 . Phương trình chính tắc của của đường thẳng d đi qua điểm M( -2; 1; 3) và vuông góc với (P) là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Phương trình mặt phẳng (P): x- 2y = 5z+ 10 hay x- 2y – 5z – 10= 0

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Vì d vuông góc với (P) nên d có vectơ chỉ phương u→=

Đường thẳng d đi qua điểm M( -2;1 ;3) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình chính tắc của d là:

Chọn A.

Ví dụ 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho mặt phẳng (P):2x- 3y+ 5z= 0. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P). Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua O và vuông góc với ( Q) là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Do mặt phẳng (Q) song song với (P) nên mặt phẳng (Q) có dạng: 2x- 3y +5z+ D= 0

Khi đó; mặt phẳng (Q) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

Vì d vuông góc với (Q) nên d có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của d là:

Chọn B.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A( 2;0; 0); B( 0; -2; 0) và C(0; 0; 3). Một đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) là: hay 3x- 3y+2z – 6= 0

Mặt phẳng ( P) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn A.

Ví dụ 7 . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 0; 0) và song song với đường thẳng . Một đường thẳng Δ đi qua M( -2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P)

Đường thẳng d đi qua điểm H( 1; -3; 1) và có vecto chỉ phương

Vecto

+ Do mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

+ Do đường thẳng Δ đi qua M ( -2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng(P) nên đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ là:

Chọn C.

Ví du 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và d2. Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (P). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

A.

B.

C.

D. Không có phương trình chính tắc

Lời giải:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P)

Đường thẳng d₁ đi qua A( 0; 2;0) và có vecto chỉ phương

Đường thẳng d₂ đi qua B( -2; 2; 0) và có vecto chỉ phương

=> và

=> Hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau

Mặt phẳng (P) đi qua A( 0; 2; 0) và có vecto pháp tuyến là: (0; 4; 1) nên có phương trình: 0( x- 0) + 4( y-2) + 1( z- 0) = 0 hay 4y+ z- 8= 0

+ Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

=> Đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình đường thẳng d đi qua điểm

A(2; -1; -4) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz) là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng ( Oxz) có phương trình là: y= 0 nên có vectơ pháp tuyến .

Vì d vuông góc với (Oxz) nên d có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; -1; -4) và có vectơ chỉ phương u→

Vậy phương trình tham số của d là

Chọn C.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( 0; 2; -1); B( 2; -3; 1) và C( 1; -2; 0). Phương trình tham số d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là:

Ta có:

Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng chọn

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn A.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(2;3;2) và B(-2; 3; 4). Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là:

Ta có;

Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là chọn

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( OAB) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho tam giác ABC có A(1;2; 1); B(0; -1; 2) và C( 2; 3; 0). Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng d.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có:

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng d có một vecto chỉ phương là :

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( -2 ; 1 ; 9) đồng thời vuông góc với giá của hai vectơ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Do đường thẳng d đồng thời vuông góc với giá của hai vecto

Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-1;0;1)và song song với đường thẳng . Một đường thẳng Δ đi qua M (2; 1; 3) vàvuông góc với mặt phẳng (P).Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P)

Đường thẳng d đi qua điểm H( 0; -3; 0) và có vecto chỉ phương Vecto

+ Do mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

+ Do đường thẳng Δ đi qua M (2;1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng(P) nên đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ là:

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d₁ và d₂. Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm mệnh đề sai?

A. Phương trình mặt phẳng (P): - 10x+ 8y+ 9z - 4= 0

B. Phương trình tham số của đường thẳng d:

C. PHương trình chính tăc của đường thẳng d:

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Lời giải:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P)

Đường thẳng d₁ đi qua A( 3;2; 2) và có vecto chỉ phương

Đường thẳng d₂ đi qua B( -2; - 2; 0) và có vecto chỉ phương

=>

=> Hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau

Mặt phẳng (P) đi qua A( 3; 2; 2) và có vecto pháp tuyến là: (-10; 8; 9 ) nên có phương trình: - 10( x- 3) + 8( y-2) + 9( z- 2) = 0 hay - 10x + 8y + 9z - 4= 0

+ Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

=> Đường thẳng d có phương trình chính tắc :

Đường thẳng d có phương trình tham số:

Chọn D.

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) chứa trục Ox và đi qua điểm A( 2; 3; 1). Gọi d là đường thẳng qua M( -2; 0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm mệnh đề sai

A. Phương trình tham số đường thẳng (d):

B. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là :

C. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là :

D. Phương trình mặt phẳng (P) là: - y+ 3z= 0

Lời giải:

+ Trục Ox đi qua điểm O (0; 0; 0)và nhận vecto làm vecto chỉ phương

Ta có:

=> Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

Mặt phẳng ( P) đi qua A( 2; 3; 1 ) và vecto pháp tuyến là:

=> Phương trình mặt phẳng (P) là: 0( x- 2) – 1( y- 3) + 3( z-1) = 0 hay – y+ 3z=0

+ Do đường thẳng d đi qua M(- 2; 0;1) và vuông góc với (P) nên nhận vecto (0; -1; 3) làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.

Chọn D.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 2; -2) và vuông góc với (P): x – 2y – z – 3 = 0.

Bài 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(2; 1; -2) và vuông góc với (Q): 2x – 3y = –z – 5.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;-3;2) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy).

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; viết phương trình đường thẳng Δ đi qua S(1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x - y + z + 9 = 0.

Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(-2; 1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y – 5z – 10 = 0.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Các công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gian
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

---