Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và vecto chỉ phương thì

+ Phương trình tham số của đường thẳng d:

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d ( với a.b.c ≠ 0) là:

Như vậy để xác định được phương trình đường thẳng d ta cần xác định được một điểm thuộc đường thẳng và vecto chỉ phương của đường thẳng đó

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng Δ biết Δ đi qua A (2 ; 1 ; 5) và có vectơ chỉ phương u→ =(1;1;2). Tìm mệnh đề đúng

A. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

B. Phương trình tham số của đường thẳng d:

C. Phương trình tham số của đường thẳng d:

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:

Trong đó t là tham số

Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ là:

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số:

Tìm mệnh đề sai ?

A. Đường thằng d đi qua điểm A( 4; - 2; - 1) .

B. Đường thẳng d nhận vecto u→ ( - 6; 4; -2) làm vecto chỉ phương

C. Đường thẳng d có phương trình chính tắc là:

D. Đường thẳng d có vecto pháp tuyến là: n→  ( 3; -2; 1)

Lời giải:

+ Từ phương trình tham số => d đi qua điểm M (1; 0; -2) và vectơ chỉ phương

u→ =(3;-2;1)

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

+ Cho t= 1 ta được điểm A( 4; -2; -1) thuộc đường thẳng d.

+ Do hai vecto u→ =(3;-2;1) và u'→  ⃗=( -6;4;-2) cùng phương mà vecto u→ =(3;-2;1) là vecto chỉ phương của đường thẳng d nên vecto u'→ =( -6;4;-2) cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d.

=> A; B; C đúng và D sai

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d có phương trình chính tắc:

Tìm mệnh đề sai?

A. Đường thẳng d đi qua A( -5; 1; 0)

B. Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→  ( 2; -1; 3)

C. Phương trình tham số của đường thẳng d:

D. Đường thẳng d đi qua điểm H( 9; - 3; 6)

Lời giải:

Từ phương trình chính tắc => d đi qua điểm M (5; -1; 0) và vectơ chỉ phương u→ =(2;-1;3)

=> Phương trình tham số của của đường thẳng d là:

+ Cho t= 2 ta được điểm H( 9; - 3; 6) thuộc đường thẳng d.

=> B; C và D d đúng ; A sai

Chọn A .

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua

A( 1; -2; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương . Tìm mệnh đề sai?

A. Vecto là vecto chỉ phương của đường thẳng d.

B. Phương trình tham số của đường thẳng d :

C. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

D. Phương trình tham số của đường thẳng d :

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 1; -2; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên Phương trình tham số của đường thẳng d:

Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

+ Hai vecto và cùng phương nên vecto u→ cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d.

=> A; B và C đúng ; D sai

Chọn D.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng . Trong các vecto sau; vecto nào không là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; 6; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Ta có: u₂→= u→; u₃→= 2u→ và u₄→=-3 u→

=> Ba vecto u₂→; u₃→; u₄→ cùng phương và là vecto chỉ phương của đường thẳng d

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng d đi qua điểm M( -2; 3; 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương. Tìm mệnh đề đúng ?

A. Phương trình tham số của đường thẳng

B. PHương trình chính tắc của đường thẳng

C. Phương trình tham số của đường thẳng

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 3; 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương có

+ Phương trình tham số của đường thẳng

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng

Chọn D.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ có phương trình chính tắc . Phương trình tham số của đường thẳng Δ là?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng Δ qua điểm A(3; -1; 0) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của Δ là

Chọn A.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u→có tọa độ là:

A. M(2; -1; 3) ;

B. M (- 2; 1; 3);

C. M( 2; -1; 3);

D. M( -2; 1; 3);

Hướng dẫn giải>

Đường thẳng d đi qua điểm M( -2; 1; 3) và có vectơ chỉ phương

Chọn D.

Ví dụ 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Biết đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương. Tìm m?

A. m = -2

B. m= 3

C. m= 6

D. m= -1

Lời giải:

+ đường thẳng đi qua A(1; 3; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Lại có vecto là vecto chỉ phương của đường thẳng d nên hai vecto u→ và v→ cùng phương

=>

⇔ 12= 4m ⇔ m = 3

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng.Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u→ có tọa độ là:

A. M( -2; 1; - 3);

B. M( -2; -1;3) ;

C. M( -2; -1; 3) ;

D. M(-2; -1; 3);

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua M( -2; 1; -3) và có vectơ chỉ phương

Chọn A.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm M( -1; 2; 2) và có vectơ chỉ phương

?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm M( -1; 2; 2) và có vectơ chỉ phương là:

Chọn B.

Câu 3:

Cho đường thẳng

. Tìm m để vecto cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. m= 3

B.m= 4

C. m= 5

D. m= 6

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua điểm A( -2; 3; -2) và có vecto chỉ phương .

Để vecto cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì hai vecto u→;v→ cùng phương. Suy ra:

⇔ m+ 1= 6 nên m= 5

Câu 4:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng .

Biết đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương. Tìm m?

A. m = -2

B. m= 3

C. m= 6

D. m= -1

Lời giải:

+ Đường thẳng đi qua A(2; 0; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương./

+ Lại có vecto là vecto chỉ phương của đường thẳng d nên hai vecto u ⃗ và v ⃗ cùng phương

=>

⇔ 6= -3m ⇔ m = -2

Chọn A.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Biết rằng đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương . Viết phương trình đường thẳng d dạng chính tắc

A. )

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua M(0; 2; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Lại có; vecto là vecto chỉ phương của đường thẳng d nên hai vecto u→,   và v→ cùng phương

=>

=> 2. 12= - 6m ⇔ m = - 4

Vậy đường thẳng d đi qua điểm M(0; 2; 2) và có vecto chỉ phương nên có phương trình dạng chính tắc là:

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A( 2; -1; 3) và có vecto chỉ phương với m ≠ 0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Với m ≠ 0 ta có hai vecto và cùng phương

=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương và đi qua A( 2; -1; 3) nên có phương trình là :

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz; cho đường thẳng d có phương trình chính tắc:

Tìm mệnh đề sai?

A. Đường thẳng d đi qua A(- 2; 0; - 10)

B. Đường thẳng d có vecto chỉ phương

C. Phương trình tham số của đường thẳng

D. Đường thẳng d đi qua điểm H( 1; -3; -9)

Lời giải:

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d ta suy ra: d đi qua điểm M ( - 2; 0; -10) và vectơ chỉ phương

=> Phương trình tham số của của đường thẳng d là:

+Hai vecto và cùng phương nên vecto cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d.

+ Cho t= 1 ta được điểm H(1; - 3; - 9) thuộc đường thẳng d.

=> A; B và D đúng ; C sai

Chọn C .

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua

A( 1; 2; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương . Tìm mệnh đề sai?

A. Vecto là vecto chỉ phương của đường thẳng d.

B. Phương trình tham số của đường thẳng

C. Phương trình chính tắc của đường thẳng

D. Đường thẳng d đi qua điểm H( 0; 4; 0)

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;2; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên

Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng

+ Cho t= 1 vào phương trình tham số ta được điểm H(0; 4; 0) thuộc đường thẳng d.

=> B; C và D đúng ; A sai

Chọn A.

Câu 9:

Cho đường thẳng . Trong các điểm sau; điểm nào không thuộc đường thẳng d?

A. A (2; 2; 5)

B. B( 0; 2; -1)

C. C( 4; 2; 11)

D. D( 3; 2; 4)

Lời giải:

+ Cho t= 1 ta được điểm A( 2; 2; 5) thuộc đường thẳng d.

+ Cho t= - 1 ta được điểm B( 0; 2; -1) thuộc đường thẳng d.

+ Cho t= 3 ta được điểm C ( 4; 2; 11) thuộc đường thẳng d

=> Điểm D( 3; 2; 4) không thuộc đường thẳng d

Chọn D.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Các công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gian
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

---