Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng - Toán lớp 12

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

Quảng cáo

A. Phương pháp giải

Cách 1:

+ Cả hai trường hợp đều suy ra Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12 .

Mà (P) và (Q) cắt nhau

=>Véc tơ chỉ phương của d là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.

+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cách 2:

Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) thì với mỗi điểm

M ( x; y;z) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Đặt x= t ( hoặc y= t hoặc z= t) thay vào hệ (*) rồi rút y; z theo t

Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α):x-3y+z=0 và (α'):x+y-z+4=0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

* Cách 1: Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Đặt y = t, ta có:Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình tham số của d là:

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Cách 2: Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy điểm M0(-2;0;2) thuộc đường thẳng d.

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình tham số của d là: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12 là phương trình đường thẳng d

Chọn A.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; - 1) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (α):x+y-z+3=0 và (α'):2x-y+5z-4=0

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình đường thẳng d là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α):2x+y+1=0 và (β):x-y+z-1=0

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy điểm M0(0;-1;0) thuộc đường thẳng d.

Vậy phương trình đường thẳng d là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x- 2y – z+10= 0 và (β): 2x+2y – 3z – 40= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3; 1) và song song với đường thẳng Δ là

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

giải

Mặt phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Mặt phẳng (β ) có vec tơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình của d là:Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn D.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 9= 0 và (Q): 3x- 5y – 2z + 9= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-2; -3; 5) và song song với hai mặt phẳng (P) và ( Q) là

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Đường thẳng d đi qua điểm M( -2; -3;5) và có vectơ chỉ phương là:

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình của d là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn A

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz) cho mặt phẳng (P): 2x- y+ 2z- 3= 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; -3; -1 ), song song với hai mặt phẳng ( P) và ( Oyz) là.

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0 nên có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; -3; -1) và có vectơ chỉ phương là

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình của d là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 8. Trong không gian với hệ trục oxyz; cho đường thẳng d đi qua A(1; 0; -3) và song song với hai mặt phẳng ( Oxy) và ( Oxz). Viết phương trình của đường thẳng d?

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z= 0 nên có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y= 0 nên có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Đường thẳng d đi qua điểm A(1;0;-3) và có vectơ chỉ phương là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình của d là:Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn A.

Quảng cáo

C. Bài tập vận dụng

Chọn C.

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P):2x+ y+z-4=0 và (Q):x+2y-z-5=0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) thỏa mãn hệ phương trình:

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy điểm M0(0;3;1) thuộc đường thẳng d.

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình tham số của d là:Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn D

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): 2x- z+ 2 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oxy).

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Điểm M( x; y;z) thuộc giao tuyến d của 2 mặt phẳng (P) và (Oxy) thỏa mãn hệ phương trình:

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy điểm M(-1;y;0) chọn y= 0 ta được điểm M’( -1; 0; 0) thuộc đường thẳng d.

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình tham số của d là:Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 3:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (-2; -3; 1) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) :x-2z+3=0 và (Q):2x-3y-4=0

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là:Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình đường thẳng d là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 4:

Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P):x+2z=0 và (Q): 3x+ y-2z-8=0

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D. Đáp án khác

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy điểm M0 (2;0; -1) thuộc đường thẳng d.

Vậy phương trình đường thẳng d là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x +10= 0 và (β): x+2y – z – 0= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M( 1; 2; 3) và song song với đường thẳng Δ là

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D. Đáp án khác

Mặt phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Mặt phẳng (β ) có vec tơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình của d là: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x- y+ 2z- 9= 0 và (Q) đi qua ba điểm A(1; 0; 0) ; B(0; -1; 0) và C( 0;0; 1). Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M( 2; 1; 8) và song song với hai mặt phẳng (P) và ( Q) là

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (Q):Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

⇔ (Q) : x- y + z – 1= 0

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Đường thẳng d đi qua điểm M( 2; 1; 8) và có vectơ chỉ phương là:

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình của d là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn A

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz); cho mặt phẳng (P): x+ 2y- z-10 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và đi qua gốc tọa độ. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A( 1; 0; 1) và song song với hai mặt phẳng ( Q) và (Oyz)?

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D. Đáp án khác

+ Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng ( P): x+ 2y – z- 10= 0 nên phương trình mặt phẳng ( Q) có dạng: x+ 2y – z+ D = 0

Mà mặt phẳng (Q) đi qua điểm O(0; 0;0) nên thay tọa độ điểm O vào phương trình (Q) ta được: 0+ 2.0 – z+ D= 0 ⇔ D=0

Vậy phương trình mặt phẳng (Q): x+ 2y- z= 0

+ Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0 nên có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Đường thẳng d đi qua điểm A( 1;0; 1) và có vectơ chỉ phương là

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12 chọn vecto (0; 1;2)

=> Đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Chọn D.

Câu 8:

Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A(1; -1; 0) và song song với hai mặt phẳng ( Oyz) và ( Oxz). Viết phương trình của đường thẳng d?

A.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

B. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

C.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

D.Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0 nên có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y= 0 nên có vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; -1; 0) và có vectơ chỉ phương là Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Vậy phương trình của d là:Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn B.

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12