Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Cách 1:

+ Cả hai trường hợp đều suy ra .

Mà (P) và (Q) cắt nhau

=>Véc tơ chỉ phương của d là

+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.

+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cách 2:

Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) thì với mỗi điểm

M ( x; y;z) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt x= t ( hoặc y= t hoặc z= t) thay vào hệ (*) rồi rút y; z theo t

Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α):x-3y+z=0 và (α^'):x+y-z+4=0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

* Cách 1: Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt y = t, ta có:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cách 2: Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ

Vậy điểm M₀(-2;0;2) thuộc đường thẳng d.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

là phương trình đường thẳng d

Chọn A.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; - 1) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (α):x+y-z+3=0 và (α^'):2x-y+5z-4=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn C.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α):2x+y+1=0 và (β):x-y+z-1=0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ

Vậy điểm M₀(0;-1;0) thuộc đường thẳng d.

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x- 2y – z+10= 0 và (β): 2x+2y – 3z – 40= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3; 1) và song song với đường thẳng Δ là

A.

B.

C.

D.

giải

Mặt phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến

Mặt phẳng (β ) có vec tơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình của d là:

Chọn D.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 9= 0 và (Q): 3x- 5y – 2z + 9= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-2; -3; 5) và song song với hai mặt phẳng (P) và ( Q) là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm M( -2; -3;5) và có vectơ chỉ phương là:

Vậy phương trình của d là

Chọn A

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz) cho mặt phẳng (P): 2x- y+ 2z- 3= 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; -3; -1 ), song song với hai mặt phẳng ( P) và ( Oyz) là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0 nên có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; -3; -1) và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình của d là

Chọn B.

Ví dụ 8. Trong không gian với hệ trục oxyz; cho đường thẳng d đi qua A(1; 0; -3) và song song với hai mặt phẳng ( Oxy) và ( Oxz). Viết phương trình của đường thẳng d?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z= 0 nên có vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y= 0 nên có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm A(1;0;-3) và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Chọn C.

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P):2x+ y+z-4=0 và (Q):x+2y-z-5=0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) thỏa mãn hệ phương trình:

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ

Vậy điểm M₀(0;3;1) thuộc đường thẳng d.

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn D

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): 2x- z+ 2 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oxy).

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Điểm M( x; y;z) thuộc giao tuyến d của 2 mặt phẳng (P) và (Oxy) thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy điểm M(-1;y;0) chọn y= 0 ta được điểm M’( -1; 0; 0) thuộc đường thẳng d.

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn A.

Câu 3:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (-2; -3; 1) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) :x-2z+3=0 và (Q):2x-3y-4=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn C.

Câu 4:

Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P):x+2z=0 và (Q): 3x+ y-2z-8=0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ

Vậy điểm M₀ (2;0; -1) thuộc đường thẳng d.

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn B.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x +10= 0 và (β): x+2y – z – 0= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M( 1; 2; 3) và song song với đường thẳng Δ là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Mặt phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến

Mặt phẳng (β ) có vec tơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình của d là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x- y+ 2z- 9= 0 và (Q) đi qua ba điểm A(1; 0; 0) ; B(0; -1; 0) và C( 0;0; 1). Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M( 2; 1; 8) và song song với hai mặt phẳng (P) và ( Q) là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (Q):

⇔ (Q) : x- y + z – 1= 0

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm M( 2; 1; 8) và có vectơ chỉ phương là:

Vậy phương trình của d là

Chọn A

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz); cho mặt phẳng (P): x+ 2y- z-10 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và đi qua gốc tọa độ. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A( 1; 0; 1) và song song với hai mặt phẳng ( Q) và (Oyz)?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng ( P): x+ 2y – z- 10= 0 nên phương trình mặt phẳng ( Q) có dạng: x+ 2y – z+ D = 0

Mà mặt phẳng (Q) đi qua điểm O(0; 0;0) nên thay tọa độ điểm O vào phương trình (Q) ta được: 0+ 2.0 – z+ D= 0 ⇔ D=0

Vậy phương trình mặt phẳng (Q): x+ 2y- z= 0

+ Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0 nên có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d đi qua điểm A( 1;0; 1) và có vectơ chỉ phương là

chọn vecto (0; 1;2)

=> Đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Chọn D.

Câu 8:

Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A(1; -1; 0) và song song với hai mặt phẳng ( Oyz) và ( Oxz). Viết phương trình của đường thẳng d?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0 nên có vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y= 0 nên có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; -1; 0) và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình của d là:

Chọn B.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng

(P): 2x + y - z - 3 = 0 và (Q): x + y + z - 1 = 0.

Bài 2. Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng

(P): x + y - z - 2 = 0 và (Q): 2x + 3y - z = 0.

Bài 3. Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng 

(α): x + 2y + z – 1 = 0 và (β): x – y – z + 2 = 0.

Viết phương trình đường thẳng Δ.

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng d biết d là giao tuyến của hai mặt phẳng

x – y + z – 4 = 0 và 3x – y + z – 1 = 0.

Bài 5. Viết phương trình đường thẳng d biết d là giao tuyến của hai mặt phẳng

3x – y + z – 2 = 0 và x + 4y – 5 = 0.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Các công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gian
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng

---