Lý thuyết: Hệ tọa độ trong không gian - Toán lớp 12



Lý thuyết: Hệ tọa độ trong không gian

A. Tóm tắt lý thuyết

Quảng cáo

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

    Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

    Chú ý: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Tọa độ của vectơ

    a) Định nghĩa: u = (x; y; z) ⇔ k = xi + yj + zk

    b) Tính chất: Cho a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), k ∈ R

    • a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3; )

    • ka = (ka1; ka2; ka3)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    • 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1)

    • a cùng phương b (b0) ⇔ a = kb (k ∈ R)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    • a.b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

    • ab ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Quảng cáo

3. Tọa độ của điểm

    a) Định nghĩa: M(x; y; z) ⇔ OM = x.i + y.j + z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

    Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

    • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .

    b) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)

    • AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    • Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    • Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    • Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

4. Tích có hướng của hai vectơ

    a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ ab kí hiệu là [a, b], được xác định bởi

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

    b) Tính chất:

    • [a, b] ⊥ a; [a, b] ⊥ b

    • [a, b] = -[b, a]

    • [i, j] = k; [j, k] = i; [k, i] = j

    • |[a, b]| = |a|.|b|.sin(a, b) (Chương trình nâng cao)

    • a, b cùng phương ⇔ [a, b] = 0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

    c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

    • Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, bc đồng phẳng ⇔ [a, b].c = 0

    • Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB], AD|

    • Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB], AC|

    • Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D' : VABCD.A'B'C'D' = |[AB, AD].AA'|

    • Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB, AC].AD|

Quảng cáo

    Chú ý:

    – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

    – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

5. Phương trình mặt cầu

    a) Định nghĩa:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

    Kí hiệu: S(I; R) ⇔ S(I; R) = {M|IM = R}

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    b) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

    c) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    * Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

        + Xác định: d(I; Δ) = IH

        + Lúc đó:Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

    * Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng .

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    (S): x2 + y2 + z2 - 2ax -2by - 2cz + d = 0

    (α): Ax + By + Cz + D = 0

    * Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).

        + Tâm I' = d ∩ (α) .

    Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(α)

        + Bán kính Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    d) Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

        + Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R

        + Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I;(α)) = R

    * Lưu ý: Tìm tiếp điểm Mo(xo; yo; zo) .

    Sử dụng tính chất :Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Kĩ năng giải bài tập

Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

    Phương pháp:

    * Cách 1: Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c) .

    Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

    Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.

    (S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

    * Cách 2: Gọi phương trình (S): x2 + y2 + z2 -2ax - 2by - 2cz + d = 0

    Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. (a2 + b2 + c2 - d > 0)

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

    a) (S) có tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3 .

    b) (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1).

    c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1), B(-2; 0; 1).

Hướng dẫn:

    a) Mặt cầu tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3, có phương trình:

    (S): (x - 2)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 9

    b) Ta có: IP = (1; -4; 1) ⇒ IP = 3√2.

    Mặt cầu tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = IP = 3√2 , có phương trình:

    (S): (x - 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 18

    c) Ta có: AB = (-3; -3; 0) ⇒ AB = 3√2.

    Gọi I là trung điểm AB ⇒ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Mặt cầu tâm Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án và bán kính Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án, có phương trình:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2:Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

    a) (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Õ.

    b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (α): 16x - 15y - 12z + 75 = 0.

    c) (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

    a) Gọi I(a; 0; 0) ∈ Ox. Ta có : IA = (3-a; 1; 0), IB = (5-a; 5; 0).

    Do (S) đi qua A, B ⇔ IA = IB Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

    ⇒ I(10; 0; 0) và IA = 5√2.

    Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính R = 5√2, có phương trình (S) : (x - 10)2 + y2 + z2 = 50

    b) Do (S) tiếp xúc với (α) ⇔ d(O,(α)) = R ⇔ R = 75/25 = 3

    Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3, có phương trình (S) : x2 + y2 + z2 = 9

    c) Chọn A(-1; 1; 0) ∈ Δ ⇒ IA = (0; -1; 0).

    Đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là uΔ = (-1; 1; -3) . Ta có: [IA, uΔ] = (3; 0; -1) .

    Do (S) tiếp xúc với Δ ⇔ d(I, Δ) = R Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

    Mặt cầu tâm I(-1; 2; 0) và bán kính R = &raidc;10/11 , có phương trình (S) : Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC

    Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:

        + Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R

        + Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I; (α)) = R

    * Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

Bài 1: Cho đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án và và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4z + 1 = 0 . Số điểm chung của (Δ) và (S) là :

    A. 0.         B.1.         C.2.         D.3.

Quảng cáo

Hướng dẫn:

    Đường thẳng (Δ) đi qua M(0; 1; 2) và có một vectơ chỉ phương là u = (2; 1; -1)

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; -2) và bán kính R = 2

    Ta có MI = (1; -1; -4) và [u, MI] = (-5; 7; -3) ⇒ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Vì d(I,Δ) > R nên (Δ) không cắt mặt cầu (S)

Bài 2: Cho điểm I(1; -2; 3). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

    A. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = √10

    B. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 10

    C. (x + 1)2 + (y 2 2)2 + (z + 3)2 = 10

    D. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 9

Hướng dẫn:

    Gọi M là hình chiếu của I(1; -2; 3) lên Oy, ta có : M(0; -2; 0).

    IM (-1; 0; -3) ⇒ R = d(I,Oy) = IM = √10 là bán kính mặt cầu cần tìm.

    Phương trình mặt cầu là : (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 10

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết Toán lớp 12 khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12