Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực lớp 12 (hay, chi tiết)



Bài viết Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực lớp 12 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực.

Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài giảng: Bài 4 : Phương trình bậc hai với hệ số thực - Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)

A. Tóm tắt lý thuyết

Quảng cáo

1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của w .

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

    Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R; a ≠ 0). Xét Δ = b2 - 4ac, ta có

    • Δ = 0: phương trình có nghiệm thực x = -b/2a .

    • Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    • Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    ** Chú ý.

    - Mọi phương trình bậc n: A0zn + A1zn-1 + ... + An-1z + An = 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

    - Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức

    • Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực

        + a < 0, a có các căn bậc hai là ±i√|a| .

        + a = 0, a có đúng một căn bậc hai là 0.

        + a > 0 , a có hai căn bậc hai là ±√a.

Quảng cáo

Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và -i. Hai căn bậc hai của -a2 (a là số thực khác 0) là ai và -ai.

    • Trường hợp w = a + bi (a,b ∈ R, b ≠ 0)

    Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi z2 = w, tức là

    (x + yi)2 = a + bi ⇔ x2 - y2 + 2xyi = a +bi ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x + yi của số phức w = a + bi.

Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của w = -5 + 12i.

Lời giải:

    Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) là một căn bậc hai của số phức w = -5 _ 12i.

    Ta có z2 = w ⇔ (x + yi)2 = -5 + 12i ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Vậy w = -5 + 12i có hai căn bậc hai là 2 + 3i và -2 - 3i.

2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan

    • Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: z2 - z + 1 = 0

Lời giải:

    Ta có ± = b2 -4ac = -3 < 0

    Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    • Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

    Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

    – Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.

        + Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.

        + Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x = -1.

Quảng cáo

    Định lý Bơdu:

    Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a

    Tức là f(x) = (x - a)g(x) - f(a)

    Hệ quả: Nếu f(a) = 0 thì f(x)⋮ (x - a)

    Nếu f(x)⋮(x - a) thì f(a) = 0 hay f(x) = 0 có một nghiệm x = a

    – Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

    Với đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 chia cho x - a có thương là g(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + ... + b1x + b0 dư r

an an-1 an-2 a2 a1 a0
a bn-1 = an bn-2 = abn-1 bn-3 = abn-2 b1 = ab2 b0 = ab1 + a1 r = ab0 + b0

    – Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm

    Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:

    – Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.

    – Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

    – Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.

    – Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.

B. Kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi

    1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.

    Nhập số thuần ảo i: Phím ENG

    2. Tìm các căn bậc hai của một số phức

Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z = -3-4i có kết quả:

Quảng cáo

Lời giải:

    Cách 1:

    – Mode 2 (CMPLX)

    – Nhập hàm X2

    – Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng z thì ta nhận.

    Cách 2:

    – Mode 1 (COMP)

    – Nhấn Shift + (Pol), ta nhập Pol(-3;4)

    – Nhấn Shift – (Rec), ta nhập Rec(√X,Y:2), ta thu được kết quả X = 1; Y = 2.

    – Vậy 2 số phức cần tìm là 1 + 2i và -1 - 2i.

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết Toán lớp 12 khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official


so-phuc.jsp


Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên